Гиперболические волны ударные

Кривизна ударной волны определяется из дополнительного условия на правой границе дозвуковой области (звуковой линии =1). Детерминант эволюционной матрицы при продольных градиентах и, к. Г, р, в уравнениях гиперболического вязкого ударного слоя, как и детерминант матрицы при градиентах и, и,Т, р к уравнениях полного вязкого ударного слоя, на звуковой линии равен нулю. Вследствие плохой обусловленности эволюционной матрицы интегральные кривые уравнений гиперболического вязкого ударного слоя, соответствующие различным значениям Л о, ветвятся в окрестности звуковой линии. Подобное поведение интегральных кривых имеет место и для уравнений, описывающих вязкое смешанное течение в сопле Лаваля [37, 38]. В случае внутренних течений аналогом величины К ) является величина расхода газа. Аналогично существованию единственного значения критического расхода [1] для уравнений гиперболического вязкого ударного слоя также существует некоторое "критическое" значение которому соответствует единственная (предельная) интегральная кривая, которая может быть гладко продолжена за звуковую линию. Эта интегральная кривая и есть искомое решение задачи. [c.38]

Для интегрирования системы нелинейных уравнений гиперболического типа широко используется метод характеристик. Решение рассчитывается с помощью характеристической сетки, выстраиваемой в процессе счета. Этот метод позволяет детально изучить физическую картину течения. Но его трудно применять при расчете сложных сверхзвуковых течений, когда внутри потока содержатся интерферирующие ударные волны, тангенциальные разрывы и другие особенности. [c.267]

Формулы (2.16) задают начальные данные на линии фронта для уравнений (2.3) и (2.4) в плоскости i, 2, а формулы (2.17) — начальные данные для уравнения (2.2) в плоскости компонент скорости. Уравнение (2.2) и система уравнений (2.3), (2.4) для функций ui mu2 в окрестности линии и = F гиперболического типа в случае G = Gi и, вообще говоря, эллиптического типа в случае G = 02 Выбор знаков в формулах для щ и U2 фиксирует направление распространения фронта ударной волны. Форма фронта в начальный момент времени, определяемая видом функции /(ai), может быть задана произвольно. Отметим, что в случае конических течений (Ai = 1, А 2 = 2) форма фронта не произвольна, а может быть лишь или плоской, или цилиндрической. Это следует из уравнений (2,10)-(2.13). [c.52]

Ниже исследуются течения за пространственными ударными волнами, причем предполагается, что образом поверхности разрыва является некоторая кривая в пространстве годографа, а течение за ударной волной принадлежит к классу двойных волн. Естественно, рассматриваются лишь ударные (детонационные) волны постоянной интенсивности, так как течение за фронтом волны предполагается изэнтропическим. Для системы уравнений, описывающей двойные волны, вдоль некоторых линий в плоскости независимых компонент скорости ставится задача Коши. Рассматриваемая система уравнений оказывается эллиптической за фронтом ударных волн и гиперболической за нормальными детонационными волнами. Показывается, что в стационарном случае за поверхностью сильного разрыва скорость звука как функция компонент скорости такая же, как и в случае конического автомодельного течения. Это дает возможность получить некоторые точные решения для установившегося пространственного обтекания некоторых тел специальной формы при наличии ударных фронтов. [c.71]

МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ СЛАБЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [c.314]

Ударные волны легко наблюдаются в виде четких линий на мгновенных фотографиях движения снарядов, таких, как снимок, изображенный на фронтисписе. В случае конусов и других остроконечных тел при достаточно больших числах Маха эти волны присоединены к вершине подобно характеристикам решений линейных гиперболических дифференциальных уравнений. В других же случаях они отходят от вершины и оказываются при этом впереди снаряда — там, где по линеаризованной теории не должно быть никакого возмущения. [c.37]

При =1 это обычные характер истики полной системы уравнений газовой динамики, и единственным упрощением является совпадение их формы в криволинейных и местных декартовых координатах. При М<1 система (6.3.13) имеет комплексные характеристики и будет, следовательно, эллиптической, а при М>1 — действительные характеристики и будет гиперболической. Поэтому математическая постановка и принципиальные особенности решения этой задачи не изменяются и не упрощаются при k—>-0. Решения, в том числе форма ударной волны, как и в точной постановке задачи, будут зависеть не от локальной формы тела, а от формы его во всей дозвуковой и трансзвуковой области течения. [c.169]

Из выражения для J следует, что в точке пересечения с линией ветвления меняют знак производные от р,/3 по направлению той характеристики, образ которой в плоскости р/З имеет точку возврата. Исключительным является случай, когда якобиан J или I меняет знак скачком. В этом случае линия ветвления может быть только ударной волной или характеристикой, несущей разрыв первых производных скорости. Нетрудно установить, на основании общих свойств характеристик гиперболических уравнений, что разрыв якобиана пропорционален разрыву первой производной Л или 3. [c.37]

Целью предлагаемой книги является последовательное изложение результатов теоретического исследования одномерных нелинейных волн и в первую очередь ударных волн в упругих средах. Главное внимание уделено квазипоперечным волнам. Продольные или квазипродольные волны были достаточно подробно изучены ранее. Результаты, составляющие содержание книги, получены в основном, в течение последних 15 лет и в связном последовательном виде ранее не публиковались. Кроме того, книга содержит подробное изложение общих математических методов изучения нелинейных гиперболических систем уравнений, выражающих законы сохранения. Эти вопросы рассматриваются в полном объеме, в виде, приспособленном для использования в механике сплошной среды. Математическая часть книги (Глава 1) может представлять самостоятельный интерес для читателей, работающих в других областях механики и физики. [c.7]

Значение У [ нетрудно подсчитать, если учесть, что в перевальных точка,> (т-- "= с ег ц.г/со, и разложить интегралы от гиперболических тангенсов по степеням т, ограничившись первым приближением. Тогда V = = (т/т ), где параметр т имеет смысл длительности фронта ударной волны и после приведения к безразмерному виду дает значение 1/е Re. [c.58]

Из настоящего курса студенты (а в моем случае и сам лектор) могут почерпнуть различные сведения из области гидродинамики. Поэтому его следует не рассматривать в отрыве от общего учебного плана, а, наоборот, использовать для введения (или по крайней мере закрепления) таких идей и понятий, как зарождение и перенос вихрей, уравнения в безразмерных переменных, контрольные объемы, конвективные и диффузионные процессы, достаточность граничных условий, диссипация, жесткие уравнения, эллиптичность уравнений, описывающих течения несжимаемой жидкости, ударные волны, линии Маха, область влияния гиперболических уравнений, математические аспекты уравнений Эйлера и уравнений пограничного слоя, существование и единственность решений, особые точки. [c.11]

Это гиперболическое уравнение с характеристическими скоростями Со, определяемыми волновым оператором второго порядка. Однако если т] мало, то в известном смысле хорошее приближение должно обеспечивать волновое уравнение низшего порядка ф( + + оФж = О, а оно предсказывает волны со скоростью Оказывается, что волны обоих типов играют важную роль и существуют важные эффекты взаимодействия между ними. Волны высшего порядка несут первый сигнал со скоростью Со, а основное возмущение передается волнами низшего порядка со скоростью Яо-В нелинейных аналогах уравнения (1.16) это существенно отражается на свойствах ударных волн и их структуре. Все эти вопросы разбираются в гл. 10. [c.15]

Интересно, что уравнения (8.59) — (8.61) оказываются гиперболическими и описывают волновое движение возмущений, распространяющихся вдоль фронта ударной волны. По небольшом размышлении становится ясно, что этого следовало ожидать. Течение в области за деформирующейся ударной волной содержит двумерные волны, распространяющиеся с локальной скоростью звука относительно локального течения, как показано на рис. 8.5. [c.275]

Наконец, в рамках гиперболических задач имеется вопрос об опрокидывании и образовании ударных волн. Зависимость характеристических скоростей от модулируемых переменных вводит обычное гиперболическое искажение, и модуляции типа сжатия в простой волне приводят к возникновению областей многозначности решения. Что происходит дальше, пока еще не ясно. [c.500]

Строго гиперболическая система 118 Структура ударной волны с внутренним разрывом 81, 92, 343 [c.611]

Если М << 1, то уравнение является эллиптическим и звуковые поля в среде, движущейся с дозвуковой скоростью, не отличаются качественно от полей в неподвижной среде. Если же М > 1, то уравнение становится гиперболическим. Решения таких уравнений рассматриваются в газодинамике больших скоростей. При больших скоростях в среде появляются скачки уплотнения и ударные волны, которые отсутствуют при дозвуковых скоростях. Изучение подобных проблем имеет смысл в аэродинамике, в гидроакустике же столь большие скорости не встречаются. [c.8]

Найдя решение этого уравнения при надлежащих граничных И.ЧИ начальных условиях, определяемых источником звука, естественно задаться рядом вопросов о связи полученного решения с исходными нелинейными уравнениями. Являются ли линейные результаты адекватными, хотя бы для малых возмущений, и не теряются ли при таком приближении какие-либо существенные качественные черты Если возмущения не являются малыми (как при взрыве или при движении сверхзвукового самолета и ракеты), то какие резу.чьтаты можно получить непосредственно из исходных нелинейных уравнений Какие изменения происходят при учете вязкости и теплопроводности Ответы на эти вопросы в газовой динамике приводят к основным идеям нелинейных гиперболических волн. Наиболее интересным явлением, которое описывается чин1ь нелинейной теорией, оказываются ударные волны, представляющие собой резкие скачки давления, плотности и скорости, например ударные волны при сильном взрыве и звуковые удары при движении высокоскоростных самолетов. Для их предсказания потребовалось развить весь сложный аппарат теории нелинейных гипербо.тических уравнений, а для по.пного понимания понадобились анализ эффектов вязкости и некоторые аспекты кинетической теории газов. [c.11]

Как было указано в гл. 1,. многие из основных идей теории гиперболических волн, в частности объяснение явления формирования ударной волны, обязаны своим происхождением газовой динамике. Настоящая г.иава посвящена обсуждению волн и ударных волн в газовой динамике. В ней даются естественные иллюстрации общих идей, развитых в предыдущей главе, и добавляется ряд усилений и обобщений, которые можно продемонстрировать только на конкретных задачах. Но, конечно, газовая динамика важна и интересна сама по себе, так что эта глава написана как законченное введение в предмет, а не только как иллюстрация математической теории. Более специальные вопросы рассматриваются в следующих главах, и в целом этот материал дает широкий обзор газовой динамики. Читатель, интересующийся лишь общей теорией волн, может ограничиться беглым просмотром этой г.тхавы. [c.144]

На практике приходится решать смешанные стационарные задачи, когда в поле течения имеются области как дозвукового, так и сверхзвукового потока. Такого рода задачи возникают при внешнем сверхзвуковом обтекании затупленных тел с отошедшей ударной волной, во внутреннем течении в сопле Лаваля и в других каналах. В этом случае математическая модель имеет наиболее сложный вид — течение газа описывается системой квазилинейных уравнений в частных производных, имеющей смешанный эллиптико-гиперболический тип. При этом положение поверхности перехода от дозвукового течения к сверхзвуковому заранее неизвестно. Расчет таких течений является затрудни- [c.267]

По публикациям А.Ф. Сидорова можно проследить процесс поиска адекватных форм изложения данного метода, который остался незавершенным. Исходным пунктом является обобщение на нелинейные уравнения характеристических разложений Куранта для решений задач примыкания. Непосредственными предшественниками здесь можно считать Р. Куранта, Г.Ф. Даффа, Д. Людвига, В.М. Бабича, А.А. Дородницына. Вдохновляющим импульсом были проблемы в области газовой динамики, поставленные Курантом и Дородницыным (в том числе задача аналитического описания тройной точки ударных волн, ножки Маха ). Развитый метод характеристиче ских рядов для гиперболических нелинейных уравнений позволил в дальнейшем решить ряд задач математической физики, не поддававшихся решению ранее. Затем были открыты логарифмические ряды. Было осознано, что характеристические разложения — частный случай конструкции рекуррентных рядов, которая требует наличия определенных свойств, формулируемых на языке, близком к языку дифференциальной алгебры. Эта конструкция [c.9]

Была установлена [11] общая теорема о локальной сходимости характеристических рядов для общих гиперболических систем, а также ряд нелокальных теорем сходимости 12, 13] для уравнений газовой динамики. Установлено было, в частности, что в окрест ности слабого разрыва при малых г ряды сходятся при неограниченном возрастании времени. Это явилось основанием для применения отрезков рядов при исследовании распространения и асимптотик затухания слабых ударных волн. [c.243]

Предлагается метод получения точных решений некоторых смешанных задач Коши для нелинейных уравнений второго порядка гиперболического типа. Подробное рассмотрение проводится на примере уравнения для потенциала скоростей, соответствующего нестационарным плоскопарал дельным течениям политропного газа, хотя метод применим к более широкому классу уравнений. Исследуются некоторые свойства построенных решений. В качестве приложения построена приближенная теория распространения криволинейных слабых ударных волн по однородному фону. В работе продолжено исследование, начатое в [1]. [c.314]

Подобное соотношение остается справедливым и для импульса в форме гиперболического секанса с той лишь разницей, что численный коэффициент 0,39 следует заменить на 0,43. Для пикосекундных импульсов с Го = 1 ПС и f o 1 Вт длина 100 км. Однако для фемтосекундных импульсов < 100 фс и Pq > 1 кВт г, обычно становится < 1 м. В результате значительное укручение волнового фронта импульса может иметь место уже на длине в несколько сантиметров. Оптическая ударная волна, соответствующая бесконечно резкому заднему фронту, никогда не формируется на практике из-за ДГС чем круче становится волновой фронт импульса, тем большее значение имеет дисперсионный член в уравнении (4.3.1), и его нельзя игнорировать. Влияние ДГС на укручение волнового фронта будет рассмотрено в этом разделе несколько ниже. На длину формирования Z, ударной волны также оказывают влияние и потери. В бездисперсионном случае потери световода а задерживают образование оптической ударной волны, а если az > 1, то ударная волна вообще не формируется [40]. [c.99]

Сближение различных разделов механики сплошной среды и даже стирание граней между ними привело к выработке общих методов решения задач (и, в свою очередь, стимулировалось этим процессом). Ярким примером служит теория распространения разрывов в сплошных средах, математические основы которой разрабатывал в начале XX в, Ж. Адамар. В настоящее время теория ударных волн охватывает многие модели сплошных сред (см., например, монографию Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера ). С. А. Христиановичем и другими была установлена близкая аналогия между задачами о плоском установившемся течении в газовой динамике, задачами о распространении упруго-пластических волн в стержнях, задачами о неустановившемся течении воды в каналах и реках, задачами о предельном равновесии идеально-пластической или сыпучей среды (во всех случаях приходится иметь дело с некоторыми системами квазилинейных уравнений гиперболического типа). Общими для всей механики становятся методы подобия и размерностей, асимптотические методы и методы линеаризаций. [c.279]

НЫ R х ) (задача Коши для гиперболических уравнений на не-характеристической кривой, см. 3.2 и 11.4). Для определения ударной волны в качестве замыкающего условия используем интегральное уравнение энергии (т. е. продольного импульса) (11.6.3а), которое учитывает не только влияние начальных при л = 0 условий, но и граничное условие на теле через работу расширения поршня (сопротивление тела). Это уравнение содержит лишь параметры /С, у и Moot, так как интегралы /к одинаковы для подобных в ударном слое течений. Что касается уравнения (11.6.36), то, если пренебречь в нем величиной /о (па причинам, изложенным в 11.5), оно будет следствием уравнений движения в ударном слое, так как высокоэнтропийный слой почти не дает вклада в поперечный импульс газа вследствие малой плотности в нем. [c.282]

Обстоятельное исследование метода характеристик для общ,его случая вихревых трехмерных течений было выполнено В. В. Русановым (1953) еш е до появления возможности использования быстродействуюш,их вычислительных машин. Русанов рассмотрел обш,ие квазилинейные гиперболические системы уравнений и применил полученные результаты к произвольным неустановившимся и установившимся пространственным течениям газа. В последнем случае характеристическая сетка в пространстве строится из элементарных тетраэдров, гранями которых являются характеристические плоскости, подобно тому как в двумерных задачах сетка строится из треугольников. Русанов изложил способ расчета элементарных тетраэдров при решении задачи Коши, при расчете течений около стенки, около свободной поверхности или около ударной волны, а также привел примеры расчета течений по предложенной им схеме. [c.170]

Задача обтекания тел идеальной плазмой при наличии магнитного поля на бесконечности рассмотрена в работах М. Н. Когана (1959—1961). В отличие от обычной газодинамики МГД-уравнения идеальной плазмы обладают в общем случае четырьмя характеристиками. В соответствии с этим имеются гиперболические течения с четырьмя действительными характеристиками и эллиптико-гиперболические течения с двумя действительными и двумя мнимыми характеристиками. Если магнитное поле на бесконечности параллельно скорости набегающего потока, то во всем течении. В этом случае две характеристики сливаются с линией тока и имеются гиперболические и эллиптические области. Интересно отметить, что течение может быть гиперболическим при дозвуковых скоростях и эллиптическим при сверхзвуковых. Наиболее своеобразны течения в дозвуковых гиперболических областях. Здесь ударные волны и волны разрежения типа Прандтля — Майера могут уходить вверх по потоку от обтекаемого тела (М. Н. Коган, 1959, 1960) ). [c.439]

Эллиптико-гиперболические течения обладают свойствами как эллиптических, так и гиперболических течений. В линейном случае решение представляется в виде суммы затухающего на бесконечности гладкого решения уравнения Лапласа и незатухающего разрывного (ударные волны) решения волнового уравнения (М. Н. Коган, 1960). Имеется несколько эллиптических областей течений. Лишь в одном из них течения качественно подобны дозвуковым течениям обычной газовой динамики. В других эллиптических течениях либо возмущенная скорость, либо воз--мущенное полное давление (гидродинамическое и магнитное) имеют знак, противоположный тому, который они имеют в дозвуковых течениях обычной газодинамики (М. Н. Коган, 1959). В соответствии с наличием большого числа различных областей течений имеется и большое число типов [c.439]

Прекрасное широкое обсуждение нелинейных численных методов можно найти в книгах Эймса [1965, 1969]. Для изучения математических аспектов численного исследования параболических и гиперболических систем, включая задачи, связанные с ударными волнами и диффузией нейтронов, можно рекомендовать книги Рихтмайера [1957], Рихтмайера и Мортона [1967]. Строгий математический курс Форсайта и Вазова [1960] рекомендуется для ознакомления с численными решениями эллиптических уравнений. В готовящейся к выходу в издательстве A ademi Press книге Моретти можно будет найти детальное изложение метода выделения скачков. [c.24]

Для численного решения гиперболических уравнений без ударных волн было разработано несколько нестационарных методов, например метод Бабенко и Воскресенского [1961] и метод Гурли и Морриса [1968]. [c.334]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...