Гиперболическая область

Глава состоит из четырех параграфов. В 17 проводится рассмотрение окрестности состояния равновесия, к которому стремится хотя бы одна полутраектория. Устанавливается, что окрестность такого состояния равновесия может быть разделена на области трех различных типов правильные параболические, эллиптические и гиперболические области. Параболические, эллиптические и гиперболические области, а такн<е элементарный прямоугольник (см. 3) называются элементарными областями . 18 посвящен доказательству того, что между всякими двумя элементарными областями одинакового типа может быть установлено отображение, переводящее траектории в траектории (этот факт геометрически является совершенно наглядным). [c.316]

Лемма 11. Существует топологическое отображение правильных замкнутых гиперболических областей дс и дс друг на друга, переводящее траектории в траектории, при котором сохраняется заданное соответствие между точками дуг 1 и I, 8, 5 и точками полутраекторий Ь и 2 и / , [c.343]

Рассмотрим множество Н, состоящее из точек всех правильных параболических областей (выделенных в параболических секторах всех правильных гиперболических областей (выделенных в гиперболических секторах д) и всех эллиптических областей gaJ внутри петель, образованных траекториями всех полутраекторий ( ), за исключением точек Рк и, кроме того, из точки О. [c.351]

Мы будем получать различные канонические окрестности в зависимости от выбора траекторий эллиптических областей и от выбора правильных параболических и правильных гиперболических областей. [c.351]

В силу 1) II 2) очевидно, что между полутраекториями п ле /кит гиперболическая область (сектор), а между L и L , L и Lt и т. д.— [c.352]

Б) Если VI и VI — гиперболические области, то ги есть гиперболическая область. [c.388]

Теперь мы можем применить лемму 2. Для системы (18) выполняются условия второго утверждения этой леммы, поэтому каноническая окрестность состояния равновесия О системы (17) состоит из шести гиперболических областей, и следовательно, к точке О стремятся в точности шесть полутраекторий, четыре из них являются полуосями осей = О и г/ = 0. [c.397]

II. Если существует эллиптическая область, примыкающая к состоянию равновесия О, то к нему примыкает по крайней мере еще одна эллиптическая или гиперболическая область. [c.61]

Следствие 1. Все достаточно малые окрестности данного состояния равновесия разделяются на одно и то же число эллиптических, параболических и гиперболических областей. [c.62]

Предполагая, что искомые решения находятся в гиперболической области, теперь естественно перейти к нахождению характеристик линейной системы (17.90), или, что то же самое, линейного уравнения (17.91). Они являются интегральными кривыми дифференциального уравнения [c.589]

Область кристалла, непосредственно прилегающая к дислокации, называется ядром дислокации. В этой области смещения атомов и напряжения, возникающие в металле вследствие наличия дислокации, не подчиняются закону Гука. На рис. 12.37 показано распределение напряжений в окрестностях краевой дислокации. Поле напряжений от дислокации за пределами ядра имеет гиперболический характер, который изменяется по мере приближения к ядру. Напряжения в зоне, удаленной от ядра, можно вычислить по следующим формулам [c.471]

Когда начальная скорость ракеты в точке А (рис. 152) превышает значение, определяемое уравнением (11.21), то ракета движется не по эллиптической, а по гиперболической траектории, т. е. ракета уже не возвращается к Земле, а удаляется в бесконечность, практически — в области, в которых сила тяготения Солнца преобладает над силой тяготения Земли (предполагается, что при этом тело не приближается к какой-либо планете настолько, что сила тяготения этой планеты начинает играть существенную роль). Под действием силы тяготения Солнца тело движется по замкнутой орбите вокруг Солнца, т. е. превращается в искусственную планету. [c.330]

Метод конечных разностей применим для решения уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов. При этом расчетная область разбивается на счетные ячейки. Производные от функций заменяются конечными разностями с помощью тех или иных соотношений. Этим методом решаются стационарные и нестационарные задачи для дозвуковых, сверхзвуковых и смешанных течений. Предложено большое количество разностных схем для решения конкретных задач, применимых к уравнениям разного типа. [c.267]

Если система гиперболическая (параболическая, эллиптическая) в каждой точке некоторой области, то ее называют гиперболической (параболической, эллиптической) в этой области. [c.234]

Рис. 7.6. Область отыскания решения гиперболического уравнения теплопроводности

Убегающие траектории, которые получаются при соответствуют вращательным движениям маятника, возникающим при сообщении ему начального количества движения, которое обеспечивает проход через верхнее положение со скоростью, отличной от нуля. На фазовой плоскости это будет соответствовать выходу описывающей точки за пределы области, ограничиваемой кривыми С , С,. Эти кривые, проходящие через седла и служащие в окрестностях данных точек асимптотами гиперболических фазовых траекторий, являются сепаратрисами. Они разделяют топологически различные области на фазовой плоскости область траекторий, приходящих из —оо и уходящих в фоо, и область замкнутых траекторий. [c.24]

Нетрудно заметить, что при решении уравнений гиперболического типа методом сеток основное значение приобретает параметр а. Действительно, зная решение в узлах двух рядов на участке ограниченной протяженности, можно определить решение в третьем ряде в меньшем (на единицу с каждой стороны) числе узлов — таким образом удается заполнить узлы в треугольной области. С другой стороны, известно, что для волнового уравнения область влияния есть треугольник со сторонами, наклоненными к осям под углами л/4 (что соответствует а=1). Поэтому условие а 1 (называемое условием Куранта) есть необходимое условие сходимости последовательности (lim h, 1- 0) приближенных решений к точному. [c.181]

В заключение отметим, что в случае щтампа конечной ширины (0 < X < /) решение может быть получено с использованием суперпозиции решений для полубесконечных штампов. Этот результат основан на том факте, что уравнения динамической теории упругости имеют гиперболический характер и, следовательно, возмущения распространяются с конечной скоростью. Поэтому, пока волны дифракции от противоположного края не достигли рассматриваемой области, пригодно решение для полубесконечного штампа. [c.492]

С математической точки зрения плоские задачи о динамическом распространении трещин с переменной скоростью сводятся к решению гиперболической системы уравнений (4.2) со смешанными граничными условиями, задаваемыми на плоскости (причем одно условие — сквозное), когда граница, разделяющая области задания смешанных условий, движется с переменной скоростью. [c.492]

Существование простой волны связано с гиперболическим характером уравнений, описывающих этот класс течений. Напомним, что классическим гиперболическим уравнением является волновое уравнение. Дадим определение простой волны. Если течение безвихревое и одно из семейств характеристик — прямые линии с постоянными параметрами, то течение в этой области называется простой волной. Основным свойством простой волны является следующее к области движения с постоянными параметрами может примыкать только или еще одна такая область движения с постоянными параметрами, или простая волна. При этом оказывается, что для существования простой волны достаточно, чтобы одна из характеристик какого-либо семейства была прямолинейной с постоянными параметрами на ней. Указанные свойства простой волны нетрудно получить, рассмотрев в случае изоэнтропического течения уравнения совместности на характеристиках. Действительно, на С+-и С- характеристиках справедливы инварианты Римана 1+, -(см. 2.2). Пусть, например, прямолинейной характеристикой с постоянными параметрами является какая-либо из характеристик С+. Тогда все пересекающие ее характеристики С имеют одно и то же значение инварианта / = и—2а/(у—1), т. е. по всей области течения / — постоянная величина. Поскольку, с другой стороны, каждая из характеристик С+ имеет свое постоянное значение /+, то из постоянства двух величин /+ и / следует постоянство ы и а на каждой из характеристик С+ и, следовательно, их прямолинейность, так как уравнение характеристик имеет вид dx/dt = u + a. Подчеркнем, что параметры [c.57]

Разностная схема. Ошибка аппроксимации. Обычно при рассмотрении уравненнй эволюционного типа требуется определить решение в некоторой области G по условиям, заданным на определенных частях ее границы Г. Это могут быть начальные условия (задача Коши) или начальные и граничные условия (краевая задача). В процессе изложения будем формулировать различные краевые задачи как для уравнений (3.1), (3.2), так и для других простейших гиперболических и параболических уравнений. [c.75]

Дополнительные трудности возникают, когда угловые коэффициенты характеристических направлений меняют знак внутри расчетной области. Рассмотрим случай, когда по-прежнему и + + а 0, и—а<0, но и меняет знак внутри области при х—х, а именно и<0 при х<х, и>0 при х>х. В соответствии с правилом постановки краевой задачи для гиперболических уравнений внешних граничных условий будет на единицу меньше. Воспользоваться внутренним краевым условием для уравнения (3.78) нельзя, так как односторонняя прогонка для уравнения (3.81), очевидно, неустойчива либо на отрезке [хо, х ], либо на отрезке [х, Хм]. [c.104]

Обратная задача теории сопла состоит в определении параметров течения и линий тока в окрестности оси симметрии по заданному на оси симметрии (il) = 0) распределению скорости u = Uo x), которое.в общем случае задается в дозвуковой, трансзвуковой и сверхзвуковой областях сопла. Уравнения газовой динамики (2.31) — (2.35) имеют н этих областях эллиптический, параболический и гиперболический тип соответственно. [c.188]

Достоинством этого метода является тот факт, что решение задачи по единому алгоритму строится сразу в эллиптической дозвуковой), параболической (трансзвуковой) и гиперболической (сверхзвуковой) областях. [c.191]

В координатах v, р изотермический процесс изображается прямой линией, параллельной оси v, в области насыщения изотермический и изобарный процессы совпадают, в области перегретого пара изотермический процесс изображается гиперболической кривой для сравнения на рис. 9.3, а в области перегретого пара изображены изотермы [c.98]

С возрастанием г величина и убывает, при со = я/6 мы достигаем точки параболичности на изображаюш ем эллипсе, характеристики сливаются при г 2,07а. Если ширина полосы больше чем та, которая необходима для встречи гиперболических областей, идущих от противоположных вырезов. Хилл предложил соединять концы областей гиперболических характеристик прямой, соответствующей параболической точке эллипса Мизеса ф = я/6, для которой Оф = 2А , Ст = к (рис. 15.14.3). В наших опытах на титановом сплаве, поведение которого очень близко к поведению идеального упругопластического материала, мы никогда не [c.525]

Задача обтекания тел идеальной плазмой при наличии магнитного поля на бесконечности рассмотрена в работах М. Н. Когана (1959—1961). В отличие от обычной газодинамики МГД-уравнения идеальной плазмы обладают в общем случае четырьмя характеристиками. В соответствии с этим имеются гиперболические течения с четырьмя действительными характеристиками и эллиптико-гиперболические течения с двумя действительными и двумя мнимыми характеристиками. Если магнитное поле на бесконечности параллельно скорости набегающего потока, то во всем течении. В этом случае две характеристики сливаются с линией тока и имеются гиперболические и эллиптические области. Интересно отметить, что течение может быть гиперболическим при дозвуковых скоростях и эллиптическим при сверхзвуковых. Наиболее своеобразны течения в дозвуковых гиперболических областях. Здесь ударные волны и волны разрежения типа Прандтля — Майера могут уходить вверх по потоку от обтекаемого тела (М. Н. Коган, 1959, 1960) ). [c.439]

Мы будем называть область дс правильной гиперболической или седловой) областью между полутраекториями и опирающейся на дуги без контакта ( Л, РВ. Дуги без контакта М и РВ будем называть седловы.чи дугами. В дальнейшем мы будем также рассматривать замыкание такой области, т. е. замкнутую гиперболическую область g . [c.339]

Выдо.пим в каждом гиперболическом секторе g правильную гиперболическую область, опирающуюся на дугн без контакта и с концами в точках P II Pj + i, лежащих на сепаратрисах, ограничивающих сектор g . Обозначим через 5 i дугу траектории, входящую в границу этой правильной седловой области, концами которой являются концы дуг л и Ки -Назовем дугу Si+i гиперболической дугой, а дуги без контакта A , /4 + i — седловыми дугами без контакта . Как и раньше, ту из дуг 7 , ч + ь конец которой лежит на а-сепаратрисе, будем называть а-седловой дугой без контакта, а ту из дуг, конец которой лежит на сс-сепаратрисе, — а-ссдло-вой дугой без контакта. [c.350]

Пусть, как и выше, С/ (О) — Бо-окрестность состояния равновесия О, кроме О не содержащая целиком ни одной особой траектории. Криволинейные секторы gi, на которые сепаратрисы и полутраектории петель разделяют окрестность Ugg (О), подразделяются особыми полутраекториями, не являющимися сепаратрисами точки О, на более мелкие криво.линей-ные секторы. Принимая во внимание лемму 5 17, нетрудно убедиться в том, что между двумя последовате.льными в циклическом порядке особыми полутраекториями лежит а) со-параболическии ссктор, если обе эти полутраектории положительны, и а-параболический, если обе полутраектории отрицательны б) эллиптическая или гиперболическая область, если одна из этих полутраекторий положительна, а другая отрицательна. Как и выше, мы можем вместо того, чтобы рассматривать полутраектории, выделенные из петель, рассматривать все различные эллиптические об.ласти состояния равновесия. [c.357]

Б) Предположим теперь, что и V2 — правильные гиперболические области. В этом случае Ьу и Ьу являются отрицательными, а 2 и 2 — положительными полутраекториями (рис. 231). Покажем, что если го — достаточно малая окрзстность точки О, то часть ее ги (лежащая выше полутраекторий Ьу и г) есть гиперболическая область. Действительно, если через точку области го проходит полутраектория, стремящаяся к О, то, начиная с некоторого значения 1, она лежит целиком в криволинейном секторе Пу, или целиком в Иг- Соответствующая ей полутраектория на плоскости х, т ) стремится к точке О и, начиная с некоторого значения I, це.чиком лежит в секторе Ьу или гГг. Но это противоречит условию. [c.390]

С другой стороны, в общем случае в гиперболической области соотношение шагов в разностной схеме должно быть таково, чтобы область влияния аппроксимирующей системы не выходила за область влияния исходной системы дифференциальных уравнений, т. е. другими словами должно быть выполнено условие Куранта — Фридрикса — Леви. Однако в классе аналитических функций соотношение шагов в разностной схеме может быть произвольным, так как в силу аналитичности начальных данных нельзя изменить их на каком-либо участке, не изменив их во всей области аналитичности. [c.99]

Если построить зависимость между моментом инерции маховика и коэффициентом неравномерности движения б, то можно обнаружить, что эта зависимость имеет приближенно гиперболический характер (рис, 19.11). Таким обра 1М, с приближением б к нулю момент инерции маховика быстро возрастает, и, следовательно, для незначительного умешзшения б в этой области необходимо значительное увеличение момента инерции махе- [c.392]

Тип системы уравнений определяет особенности постановкп задачи, методы и свойства решения. В случае эллиптической задачи на решение в некоторой точке области оказывают влияние краевые условия, заданные на всей границе области. Прп решении гиперболической задачи возмущения сносятся только вниз по потоку. [c.176]

На практике приходится решать смешанные стационарные задачи, когда в поле течения имеются области как дозвукового, так и сверхзвукового потока. Такого рода задачи возникают при внешнем сверхзвуковом обтекании затупленных тел с отошедшей ударной волной, во внутреннем течении в сопле Лаваля и в других каналах. В этом случае математическая модель имеет наиболее сложный вид — течение газа описывается системой квазилинейных уравнений в частных производных, имеющей смешанный эллиптико-гиперболический тип. При этом положение поверхности перехода от дозвукового течения к сверхзвуковому заранее неизвестно. Расчет таких течений является затрудни- [c.267]

Если в некоторой точке М (х, у) величина б < О (б = О, б > 0), то уравнение относят в этой точке к эллиптическому (параболическому, гиперболическому) типу. Уравнение эллиптическое (параболическое, гиперболическое) в каждой точке некоторой облгсти называют эллиптическим (параболическим, гиперболическим) в этой области. [c.128]

Построение аналитических и даже числовых решений полной системы уравнений газовой динамики связано со значительными трудностями не только из-за сложности физико-химических процессов, но и потому, что в общем случае течение содержит дозвуковые, трансзвуковые и сверхзвуковые области, для описания которых требуется различный математический аппарат. При этом приходится иметь дело сразу с эллиптическими, параболическими и гиперболическими уравнениями в частных производных. В то же время построение некоторых аналитических решений, основанных на приближенных предпосылках, позволяет, значительно упростив методы решения, установить многие качественные закономерности. В настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые аналитические решения, позволяющие выявить ряд важных закономерностей движения газа и являющиеся необходимыми тестовыми примерами при численных расчетах. К числу таких решений относятся одномерная теория сопла, теория простой волны (течение Прандт-ля — Майера, волна Римана), обтекание клина, распад произвольного разрыва, точечный взрыв, решение методом источников и стоков, решение уравнения для потенциала. [c.54]

Уравнение (VIII.6) относится к уравнению гиперболического типа, и его решение может существовать лишь в области, ограниченной конусом возмущения. [c.186]

Изотермический процесс ( = 1с1ет). В р—V координатах (рис. 7.7) изотермический процесс в области насыщенного пара изображается отрезком горизонтальной линии, так как для насыщенного пара изотермический процесс одновременно и изобарный, а в области перегретого пара этот процесс изображается гиперболической кривой. Площадь под линией процесса характеризует термодинамическую работу 1 л. [c.92]

Произвольные формы. Кикукава разработал и применил методы решения задач для отверстий и закруглений заданной произвольной формы ). По этому методу последовательные улучшения начального конформного отображения производятся до тех пор, пока не будет достигнуто адекватное приближение к заданной форме области. Подробные результаты получены для задач о концентрации напряжений в растягиваемой пластинке со следующими возмущающими факторами 1) отверстие ромбовидной формы с круглыми закруглениями по углам, 2) двойной вырез в полосе, причем каждый из вырезов имеет две параллельные прямолинейные стороны, соединенные полуокружностью, что придает вырезу форму буквы U, 3) закругленная в виде че верти окружности галтель в месте перехода пластинки от конечной ширины до ширины бесконечной. Результаты для случая 2) очень близки к результатам Нейбера для двойного гиперболического выреза (см. 64). [c.213]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...