Строго гиперболическая система

Строго гиперболическая система 118 Структура ударной волны с внутренним разрывом 81, 92, 343 [c.611]

Следует отметить, что ударение здесь делается на существование п независимых векторов и что не требуется, чтобы соответствующие направления были различны. Если все эти направления различны и существуют п различных семейств характеристик, то система называется строго гиперболической, но мы будем мало пользоваться этим термином. Как мы увидим ниже, возможны случаи, когда уравнение (5.6) имеет менее чем п различных решений, и тем не менее существуют п независимых векторов 1. [c.118]

В общем случае скорости Р, Q, К различны, причем Р С Q <1 < Н. Таким образом, система является гиперболической. Оба предела О и 5 1 дают особенность в том смысле, что две из скоростей становятся равными. Предельные уравнения не будут строго гиперболическими, но поскольку одно из них отщепляется, их все еще можно решать интегрированием вдоль характеристик. С этой ситуацией мы уже встречались ранее в линейной теории, соответствующей пределу 0. [c.547]

В этом приближении система не является строго гиперболической, но можно сначала интегрированием вдоль характеристик dx/dt = = 2ai найти а затем интегрированием вдоль этих же характеристик найти кх- Такая структура аналогична структуре, имевшей место в линейной теории. Однако на этот раз % остается постоянной на характеристиках, а к убывает как 1/i. [c.549]

Кажущееся незначительным ограничение, что производные по пространственным координатам в уравнениях (40) должны быть первого порядка, на самом деле оказывается весьма сильным. Так, из него следует, что система (40) должна быть гиперболического типа. В случае сжимаемой невязкой жидкости это выполняется, чего нельзя сказать, например, о несжимаемой невязкой жидкости или любой вязкой жидкости. Для того чтобы строго установить даже локальную корректность метода поиска симметричных решений, нужны дальнейшие исследования в теории уравнений в частных производных. [c.180]

Теория включает 24 теоремы-предложения, посвященные способам нахождения центра качания, и две теоремы, позволяющие определить единицу длины и ускорение свободного падения тел. Это есть первая попытка строгого геометрического изложения механики системы тел применительно к задаче о колебаниях. Здесь впервые используются (но не определяются) понятия связи, осевого момента инерции, доказывается теорема о моменте инерции относительно оси, параллельной данной, вычисляются осевые моменты инерции и центры качаний круга, прямоугольника, равнобедренного треугольника, параболы, кругового сектора, окружности, правильного многоугольника, пирамиды, конуса, шара, цилиндра, параболического и гиперболического коноидов, половины конуса, находится ускорение свободного падения . [c.84]

Появление гиперболических странных аттракторов в модельных системах является скорее исключением, чем правилом. Многочисленные исследования (как строгие математические, так и с использованием ЭВМ) показали, что в диссипативных системах со стохастическим поведением, наряду с нетривиальными гиперболическими множествами, обычно имеются еще и устойчивые периодические траектории. Тем самым, общая ситуация для таких систем, по-видимому, такая же, как и для гамильтоновых, т. е. динамика на типичном аттракторе похожа на динамику консервативной системы, имеющей и стохастические слои, и инвариантные торы KAM (см. гл. 6, 2). [c.204]

До появления ЭВМ основное внимание уделялось эллиптическим уравнениям. Первое строгое математическое доказательство сходимости и оценку погрешности итерационного метода Либмана для решения эллиптических уравнений дали Филлипс и Винер [1923]. В 1928 г. появилась классическая работа Куранта, Фридрихса и Леви. Эти авторы в основном интересовались использованием конечно-разностных методов как инструмента для исследований в чистой математике. Дискретизируя дифференциальные уравнения, доказывая сходимость дискретной системы к дифференциальной и, наконец, устанавливая существование решения дискретной системы алгебраическими методами, они доказывали теоремы существования и единственности для эллиптических, гиперболических и параболических систем дифференциальных уравнений 2). Эта работа определила направление практического получения конечно-разностных решений в последующие годы. [c.18]

Рассмотрим одни из возможных методов построения системы управления на гиперболических траекториях. Главная особенность описываемого метода построения СУС заключается в разделении основных задач управления на каждом характерном участке снижения СА с обязательным выполнением строго определенных требований. [c.427]

Отсюда следует, что первые два корня являются действителг>пы-ми, а третий и четвертый действительны только при сверхзвуковом обтекании частиц У] —У21>Со. Таким образом, в общем случае система уравнений (1) будет составного типа, а при условии 1 1 —У21>Со — строго гиперболического. Из второго уравнения (4) следует, что вдоль действительных характеристик с точностью 0(рц/р2г) справедливы соотношения [c.27]

Поскольку o = о, обе характеристические скорости (15.11) сводятся к со к). Система, как отмечалось вьше, не строго гиперболическая, поскольку имеется только одна дифференциальная форма А = 0, соответствующая соотношению (15.10). Однако после того, как к (ж, 1) найдено, переменная I находится интегрированием уравнения [c.495]

Если в отдельных частях областей типа А (или Б) число М (или Мда) все же принимать большим единицы, то в этих частях система становится гиперболической, и для нее, строго говоря, следует решать задачу Коши с параметпями газа, заданными в окрестности линии перехода, которая должна определяться в процессе расчета. Наличием указанных областей (и смешанным характером задачи в целом) в практической постановке задачи обычно возможно пренебречь. [c.302]

Уравнения (3.72), (3.76) и (3.84) образуют систему гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными, которыми являются осевая координата х и время Решение этой системы находится путем интегрирования. Функцию можно проинтегрировать на некотором интервале, если она непрерывна на этом интервале. Метод характеристик позволяет проинтегрировать известные непрерывные функции, вид которых типичен для рассматриваемой системы уравнений. Поэтому метод характеристик представляет собой, по существу, строгую математическую процедуру замены квазилинейных неоднородных уравнений в частных производных системой общих дифференциальных уравнений, обычно называемых совместными уравнениями, которые справедливы и интегрируемы на поверхностях, называемых характеристиками или характеристическими поверхностями. Мы дали в какой-то степени упрощенное описание этой процедуры более строгое математическое описание можно найти в классической монографии Куранта и Фридрихса [50] или в содержательной работе Цукроу и Хофмана [41]. [c.340]

В частности, здесь требуются дополнительные предположения о существовании решений, их единственности и должной зависимости их от параметров и управляющих функций (а также и предположения о некоторых специфических обстоятельствах, связанных с математическими конструкциями, например, о наличии внутренних точек у рассматриваемых по ходу дела множеств элементов функциональных пространств и т. д.). В общих случаях многие из таких предположений нелегко проверить эффективно. Таким образом, хотя формализм принципа максимума достаточно полно переносится на рассматриваемые системы (с соответствующими выкладочными изменениями, отвечающими особенностям нового аппарата), однако по содержанию общая проблема такого переноса все-тА ки представляется еш,е не исследованной до конца, тем более, что вопрос о классах допустимых управлений и ж о существовании в них оптимальных управлений и Ь) и движений х 1) в общем случае пока исследован также не полностью. К числу строгих результатов, относящихся к проблеме существования и единственности оптимального управления системами, описываемыми функциональными уравнениями, (22.1), отвечающим случаям параболических и гиперболических систем, относятся результаты Ю. В. Егорова (1962). При этом, в частности, была рассмотрена задача об управлении процессом теплопроводности, когда управляющие функции м входят в граничные условия и минимизируется квадратичный функционал, определенный распределением температуры, при заданном интервале времени или минимизируется время переходного процесса к желаемому распределению температуры при известных квадратичных ограничениях. [c.235]

Методы решения системы нелинейных с переменными коэффициентами дифференциальных уравнений (11.2) и (11.3) в частных производных гиперболического типа можно условно разделить на две группы. К первой группе относят строгие методы интегрирования уравнений Сен-Веиана, реализуемые в основном с помощью ЭВМ. Ко второй группе относят упрощенные методы, основанные на каких-либо допущениях, реализуемые на аналоговых вычислительных машинах или путем ручного счета. [c.283]

Световая гиперповерхность есть объединение алгебраических проективных гиперповерхностей, принадлежащих различным слоям расслоения контактных элементов базового пространства. Для системы и точки общего положения эти алгебраические гиперповерхности неособы (в зтом случае они строго гиперболичны). Но в некоторых точках базового многообразия эти гиперповерхности могут становиться особыми. Изучение этих особенностей для типичных вариационных гиперболических систем и есть главная цель настоящей главы. [c.279]

Доказательство этого утверждения требует достаточно сложной математической техники, и поэтому мы не будем приводить его в этой книге. Поясним лишь смысл понятия гиперболическое множество , не давая его строгого математического определения. Грубо говоря, гиперболическое множество - это странный аттрактор, т.е. некоторое замкнутое инвариантное по отношению к сдвигу по времени подмножество фазового пространства, не содержащее стационарных тгочек (положений равновесия). Изображающая точка, двигаясь по гиперболическому множеству, описывает траектории, которые могут быть названы стохастическими или хаотическими. Следовательно, если некоторая динамическая система обладает гиперболическим множеством, то у нее существуют 286 [c.286]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...