Система уравнений типа гиперболического

Для сплошного тела на оси симметрии Oz имеем = Это условие нередко предполагается справедливым всюду (см. работу Генки [ ]), что приводит к существенным математическим упрощениям и статически определимым задачам (при заданных на контуре напряжениях). При этом система уравнений будет гиперболического типа. На основе таких уравнений А. Ю. Ишлинский исследовал задачу о вдавливании жесткого шара в пластическую среду эта задача интересна, в частности, в связи с известным методом Бринеля испытания твердости материалов. [c.236]

Характеристическое уравнение имеет только действительные собственные значения. Следовательно, рассматриваемая система уравнений имеет гиперболический тип относительно переменной во всем диапазоне изменения числа Маха [12, 131, как и система упрощенных уравнений для внутренних течений. [c.37]

Решение краевой задачи. Введем произвольную характеристику первого семейства д1. В силу того, что при сверхзвуковых скоростях уравнения (1.6)-(1.9) имеют гиперболический тип, форма отрезка дЬ не влияет на обтекание отрезка ад. Поэтому, если контур аЬ обладает минимальным сопротивлением при заданной характеристике ае и определенных величинах Ф, Г, то и отрезок дЬ должен иметь минимальное сопротивление при фиксированной характеристике д1 и своих фиксированных величинах Ф, X. В противном случае уменьщение сопротивления отрезка дЬ привело бы к уменьщению сопротивления всего контура аЬ. На участке 1Ь выполняются уравнения (2.15), (2.28)-(2.30), а в точке Ь — граничное условие (2.24). Условия непрерывности функций а, 1 , в точке I и первое условие из (2.12) также удовлетворяются. Но если участок дЬ контура обладает минимальным сопротивлением, то в точке I должно выполняться и условие трансверсальности (2.34), записанное для 4/ Это условие в силу произвольности выбранной характеристики д1 должно выполняться на всей характеристике ЬН. Поэтому оно должно являться интегралом системы уравнений (2.11), (2.15), (2.28)-(2.30). [c.78]

Таким образом, система уравнений (39) и (41) при М>1, т. е. при сверхзвуковых скоростях, имеет два семейства (с+ и с ) действительных характеристик и относится к гиперболическому типу. При М = 1 имеем Р = О, что соответствует двум совпадающим семействам характеристик, и система имеет параболический тип. При М<1, т. е. при дозвуковых скоростях, система не имеет действительных характеристик и является эллиптической. [c.176]

V (х, у) нельзя однозначно определить Uy, Vy и, следовательно, J., Vx. В этом случае кривую Г называют характеристикой системы (7.13), соответствующей решению и (х, у), v (х, у). Уравнение Д = О назовем характеристическим. Это есть квадратное уравнение относительно величины у, которая определяет направление касательной к кривой Г. Если в фиксированной точке х, у при выбранном решении и (х, у), v х, у) характеристическое уравнение имеет два вещественных различных корня у = у = 2. то говорят, что в этой точке система (7.13) гиперболического типа. Если корни вещественны, но совпадают, то система относится к параболическому типу, если корни комплексные, система относится к эллиптическому типу. [c.234]

Пусть система (7.13) гиперболического типа, тогда уравнение Д = О имеет два вещественных решения X,i (х, у), ( , у). Это дает два дифференциальных уравнения [c.234]

Полученную систему уравнений при решении конкретных задач необходимо интегрировать с учетом конкретных граничных и начальных условий. Система уравнений Эйлера представляет собой систему квазилинейных уравнений первого порядка. В случае На, = О получим основную систему уравнений классической газодинамики. В курсе газовой динамики показано, что эта система гиперболического типа. Поскольку при решении уравнений Эйлера с соответствующими начальными и граничными условиями мы получаем с определенной степенью точности информацию о реальных течениях сжимаемых газовых сред, уместно ввести понятие о математической модели реального явления. [c.135]

Система уравнений (I) и (II) является системой нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа. Решение этой системы уравнений представляет значительные математические трудности. [c.372]

Выше отмечалось (см. гл. 4), что уравнения (5.8)—(5.10), позволяющие рассчитать основные характеристики несущей и дискретной фаз, являются квазилинейными уравнениями гиперболического типа. Соотношения (5.10), (5.11) отражают поведение потока вблизи границ и сформулированы на основе физических соображений с учетом характеристических свойств системы уравнений. Отметим, что взаимосвязь уравнений (5.8), (5.9) реализуется через правые части, не содержащие дифференциальных членов, что позволяет считать исходные уравнения независимыми при анализе их характеристических свойств [132]. [c.172]

Если напряжения известны, задача для скоростей является линейной. Эта система уравнений относится к гиперболическому типу и ее характеристики совпадают с линиями скольжения. В самом деле, пусть скорости Vy непрерывны и значения их заданы на некоторой линии Ц можно вычислить производные Vj , Vy по касательной к L, но тогда из системы (39.1), (39.2) можно всегда найти ) и производные по нормали к L, кроме случая совпадения L [c.156]

Уравнения для напряжений при условии текучести Треска — Сен-Венана. Трудности интегрирования можно уменьшить небольшим изменением кривой текучести. Так, если эллипс (фиг. 136) заменить, следуя предложению Мизеса двумя дугами параболы, то система уравнений для напряжений будет всюду гиперболического типа. [c.222]

Решение системы уравнений гиперболического типа тесно связано с характеристическими линиями, определяемыми дифференциальными уравнениями (4) и покрывающими плоскость х, у криволинейной сеткой. [c.313]

Формулы (2.16) задают начальные данные на линии фронта для уравнений (2.3) и (2.4) в плоскости i, 2, а формулы (2.17) — начальные данные для уравнения (2.2) в плоскости компонент скорости. Уравнение (2.2) и система уравнений (2.3), (2.4) для функций ui mu2 в окрестности линии и = F гиперболического типа в случае G = Gi и, вообще говоря, эллиптического типа в случае G = 02 Выбор знаков в формулах для щ и U2 фиксирует направление распространения фронта ударной волны. Форма фронта в начальный момент времени, определяемая видом функции /(ai), может быть задана произвольно. Отметим, что в случае конических течений (Ai = 1, А 2 = 2) форма фронта не произвольна, а может быть лишь или плоской, или цилиндрической. Это следует из уравнений (2,10)-(2.13). [c.52]

При Д > О система уравнений (1.1) гиперболического типа, при Д < О эллиптического. [c.74]

Основное содержание работы связано с изложением иной концепции построения сеток, развиваемой, главным образом, в работах российских ученых в течение 30 лет [1]. Главная особенность подхода связана со специальным способом формализации критерия (Р), приводящему к нелинейному вариационному функционалу, в который входят как первые, так и вторые частные производные функций, реализующих отображение. Этот непрерывный функционал появляется естественным образом после рассмотрения дискретного функционала, минимизирующего меру относительной погрешности неравномерной сетки по сравнению с равномерной. Такая формализация приводит к системе уравнений Э-0 четвертого порядка, гиперболической в широком смысле. Это позволило рассмотреть новые более широкие типы краевых условий, а также разработать эффективные алгоритмы и программы построения сеток для весьма сложных областей. Экономичные и эффективные процедуры расчета сеток связаны с применением итерационных процессов, использующих как специальную нестационарную модификацию уравнений Э 0, так и прямые геометрические способы минимизации дискретных функционалов, формализующих все три критерия оптимальности. [c.513]

Цилиндрическое условие текучести (см. гл. 1, с. 22). Если напряженное состояние соответствует поверхности цилиндра, то, как известно [36], система уравнений плоского течения относится к гиперболическому типу. На донышке Фт = 0. В этом случае имеем эллиптичность. [c.54]

Объединив это уравнение с соотношениями (7), (8), получим квазилинейную систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с независимыми переменными t, X. Нетрудно показать, что при выполнении определенных ограничений, наложенных на полиномиальные разложения в (7) и (8), эта система уравнений есть система гиперболического типа. [c.154]

Система уравнений (1), (2) гиперболического типа имеет два семейства действительных характеристик I, т]. [c.48]

Система уравнений для напряжений (4), а также система уравнений для скоростей (5) относятся к гиперболическому типу и имеют два семейства ортогональных характеристик. [c.99]

Система уравнений (4) принадлежит к гиперболическому типу, характеристики ее имеют вид [c.226]

Система уравнений (5) принадлежит к гиперболическому типу, уравнения ортогональных характеристик имеют вид [c.232]

Соотношения (1.12), (1.13) приводят к статически определимой системе уравнений гиперболического типа [6]. [c.8]

Присоединим к двум уравнениям (3.5) условие несжимаемости (1.19), переходя к компонентам скорости перемещений. Получим систему трех уравнений (1.19), (3.5) относительно трех переменных и, V, ш. Система уравнений (1.19), (3.5) принадлежит к гиперболическому типу, ее характеристические многообразия определяются согласно (2.18)-(2.22). [c.15]

Система уравнений (3.8) принадлежит к гиперболическому типу [c.24]

Уравнения (3.11) принадлежат к гиперболическому типу, уравнения характеристик совпадают с характеристиками системы уравнений для компонент напряжений (3.9), вдоль характеристик имеют место соотношения [c.25]

Система уравнений (1.8)-(1.10) относительно неизвестных скоростей перемещений и, V, т относится к гиперболическому типу с тремя характеристиками (1.4) и (1.6). Дифференциальные соотношения для ( и, (IV и (1гю вдоль характеристик находим из характеристического определителя системы в виде [c.53]

Система уравнений (3.3), согласно (2.6), с точностью до обозначений совпадает с уравнениями теории идеальной пластичности [7], принадлежит к гиперболическому типу, ее характеристики имеют вид [3 [c.349]

Уравнения (3.8) принадлежат к гиперболическому типу, характеристики системы уравнений (3.8) совпадают с характеристиками системы (3.3) и выражаются соотношениями (3.4). Соотношения вдоль характеристик имеют вид [c.350]

В динамике пластин метод степенных рядов применял И. Т. Селезов [2.50] (1960). Он исходил из краевой задачи динамической теории упругости в перемешениях и рассматривал систему рекуррентных соотношений типа (20.9) и (20.10) и уравнения типа (20.11), вытекающие из граничных условий, как общую бесконечную систему дифференциальных уравнений, эквивалентную исходной краевой задаче (это справедливо при условии равномерной сходимости рядов). В дальнейшем требуется введение каких-либо ограничений, что можно сделать различным путем. Поэтому методом степенных рядов можно получить бесконечное множество аппроксимаций. Цель состояла в построении гиперболических аппроксимаций. Было показано, что при усечении системы до какого-либо порядка получается замкнутая система уравнений, которая может быть приведена к нескольким или одному дифференциальным уравнениям более высокого порядка. Если при этом сохранить все пространственно-временные дифференциальные операторы до определенного порядка включительно [2.52] (1961), то полученная система уравнений будет гиперболической. Это условие является достаточным для построения гиперболических аппроксимаций. Приведем краткое изложение этих результатов. Рассмотрим упругое поле, характеризуемое пространственными ортогональными координатами Хи Х2, Хз и временной координатой t. Причем ось Охз является прямой, а криволинейные ортогональные координаты Х и Х2 отсчитываются в плоскости Хз = 0. Выделим слой —оо<х1<°о, —оэ<х2<оэ, —к<Хз<к и положим, что изменение поля в зависимости от координат и Х2 характеризуется некоторым параметром I, который значительно больше толщины слоя 2к [c.137]

Тип системы уравнений определяет особенности постановкп задачи, методы и свойства решения. В случае эллиптической задачи на решение в некоторой точке области оказывают влияние краевые условия, заданные на всей границе области. Прп решении гиперболической задачи возмущения сносятся только вниз по потоку. [c.176]

Если не учитывать излучения, то система уравнений аэротермохимии имеет смешанный тип — уравнение неразрывности для всей смеси в целом гиперболического типа, а остальные уравнения являются параболическими. [c.187]

В случае стационарного течения, т. е. при dhldt=0, система уравнений (1)—(3) никогда не относится к гиперболическому типу. [c.91]

Решение системы уравнений движения, удовлетворяющее граничным условиям (2,14)-(2,16), выпо.таено численным методом интегральных соотношений [90] в его гиперболическом варианте [91], Применялась дивергентная форма записи в переменных z,l,z = /w l), где г = 0 образ сильного разрыва, = w l) непротекаемая стенка. Аппроксимирующая система дифференциальных уравнений получена разбиением интервала ге[0,1] на пять полос и при.менением интерполяционных квадратур типа Ньютона-Котеса, Итоговая система обыкновенных дифференциальных урав- [c.47]

Излагаются методы эффективного построения этих решений и много внимания уделяется обстоятельствам, при которых решения существуют и единственны. Эти вопросы в безмоментной теории решаются нетривиально. Общая линейная краевая задача моментной теории оболочек единообразна она заключается в интегрировании эллиптической системы уравнений с выполнением в каждой точке края (или краев, если область многосвязна) четырех граничных условий. Она всегда имеет единственное решение. Однако при переходе к описанной выше безмоментной краевой задаче картина становится весьма пестрой, так как тип уравнений, подлежащих интегрированию, может оказаться любым (эллиптическим, гиперболическим и параболическим). Различными по своему характеру оказываются и краевые задачи безмоментной теории это могут быть задачи типа Дирихле, задачи типа Коши, а также задачи, не предусмотренные существующей классификацией. К тому же может существовать несоответствие между типом краевой задачи безмоментной теории и типом уравнений, для которых ее надо решать. Например, задачу Дирихле иногда приходится решать для гиперболического уравнения, а задачу Коши — для эллиптического. Все это приводит к тому, что теоремы существования и единственности для краевых задач безмоментной теории формулируются далеко не единообразно и в них вопрос не всегда решается положительно. Однако такая ситуация не свидетельствует о принципиальной порочности самой идеи выделения в самостоятельное рассмотрение краевой задачи безмоментной теории. Каждая из описанных выше странностей краевых задач безмоментной теории свидетельствует об определенных особенностях искомого напряженно-деформированного состояния оболочки. Для широкого класса задач это будет показано в части IV. [c.174]

Рассмотрение итерационных процессов выполнения граничных условий позволяет сделать и некоторые чисто математические заключения. В теории оболочек можно говорить о возмущенной и невозмущенной краевых задачах. Под первой подразумевается интегрирование неупрощенных уравнений с учетом всех (тангенциальных и нетангенциальных) граничных условий, а вторая заключается в интегрировании предельных (при = 0) уравнений с учетом одних тангенциальных условий. Возмущенная краевая задача в теории оболочек всегда представляет собой корректно поставленную задачу типа Дирихле. Однако вырожденная задача теории оболочек может оказаться в том или ином смысле некорректной. В ней может иметь место несовпадение числа граничных условий с порядком уравнений, несоответствие типа уравнений типу краевой задачи (может получиться, например, задача Дирихле для гиперболической системы или задача Коши для эллиптической системы) и т. д. Очевидно, что все такие неправильности невозмущенной задачи оказывают существенное влияние на характер напряженного состояния оболочки, и их полезно иметь в виду при разработке любых подходов к фактическому решению задачи (в том числе и непосредственного счета на ЭЦВМ). Если стать на путь приближенных подходов к решению краевых задач теории оболочек, то здесь результаты настоящего раздела находят непосредственное применение. Исходное приближение каждого из рассмотренных итерационных процессов можно рассматривать как приближенный метод решения соответствующей краевой задачи. Получаемые таким образом результаты при желании можно уточнять, увеличивая количество итераций. [c.272]

Можно показать, что система уравнений (1.3.17) гиперболического типа. Уравнения (1.3.17) могут быть решены численно. Эта система уравнений была решена Д.Д. Ивлевым [2] методом малого параметра, позволяющим получить для смещений приближенньге аналитические выражения [c.16]

Теорема 2.1. Если за фронтом пространственной криволинейной нормальной детонационной волны течение газа принадлежит классу потенциальных двойных волн, а поверхности фронта соответствует некоторая фиксированная кривая в пространстве годографа, то для системы уравнений, описывающих двойные волны, эта кривая является линией параболичности, а за поверхностью фронта детонации упомянутая система уравнений будет всегда гиперболического типа. [c.77]

Система уравнений (1.4) нелинейна, а теоремы существования и единственности решения задачи с начальными данными на линии параболичности, являющейся характеристикой, известны только для некоторых линейных систем как в гиперболическом, так и в эллиптическом случаях. Целью дальнейшего являются получение в рамках сделанных предположений приближенных представлений для функций Ф и г, получение упрощенного уравнения для X и исследование задач с начальными данными для этого уравнения. При помощи полученного уравнения прежде всего можно, решив его, найти приближенно функцию X. Кроме того, оно будет модельным при решении рассматриваемых задач для системы (1.4). В гиперболическом случае для него удается доказать существование решения. Тип системы (1.4) в окрестности г = О совпадает с типом уравнения для X, так как коэффициенты при вторых производных во всех уравнениях (1.4) одинаковы. [c.116]

Если в (1.2.15) положить р = Ха = О, оставив лишь функционал, отвечающий за близость сеток к ортогональным, то прямой анализ системы уравнений Э-0 [20 показывает, что эта система второго порядка смешанного эллиптико-гиперболического типа, так что краевая задача с данными (1.3.1) может быть некорректно поставленной. Таким образом, введение слагаемого с Ар / О играет важную регуляризующую роль. [c.521]

В предлагаемом подходе при любых положительных весовых коэффициентах тип системы уравнений Э-0 не меняется. Однако, так как при Ар = О, Ао 7 О система становится смешанного эллиптико-гиперболического типа, то и для устойчивости вы-числений при решении уравнений Э-0 весовые коэффициенты выбирались таким образом, чтобы вклад слагаемых, соответсвующих /о, /а, не превосходил /р. В противном случае в дискретной ситуации задача может оказаться неустойчивой. Подробные рекомендации для выбора весовых коэффициентов в вариационных методах, основанных на решении уравнений Э О, на примере уравнений Брекбилла-Зальцмана приведены в [10, 21]. Отметим, что численное решение уравнений Э-0 не единственный путь для реализации вариационных принципов. Более эффективными при построении сеток могут оказаться прямые методы минимизации дискретных функционалов [16, 23]. [c.521]

Таким образом, можно сказать, что система уравнений плоского тече- — ния относится к гиперболическому типу, если скорость формоизменения, характеризуемая интенсивностью скоростей деформаций сдвига, превосхо- [c.53]

Содержание книги составляют статьи автора, посвященные теории идеальной пластичности и ее приложениям. Статьи содержат изложение построения и исследование общих соотношений теории идеальной пластичности на основе статически определимой системы уравнений гиперболического типа, адекватно описывающих сдивиговый характер пластического деформирования. Излагаются обобщения теории на случай сжимаемых и анизотропных сред, приведены решения о вдавливании жестких штампов, внедрении жестких тел, о сжатии пластического слоя шероховатыми плитами и т.д. [c.2]

Известно [1], что система уравнений, определяюгцая функции сг, принадлежит к гиперболическому типу, причем уравнение, определяюгцее характеристическое многообразие Ф(ж, ,2 ), записывается в виде [c.16]

Теория плоской задачи идеальнопластического тела характеризуется статической определимостью два уравнения равновесия (2) и условие пластичности (3) образуют систему трех уравнений относительно трех компонент напряжений Ох, сту, %ху Система уравнений для компонент напряжений и скоростей перемещений принадлежит к гиперболическому типу с характеристиками, совпадающими с линиями действия максимальных касательных напряжений и являющимися линиями скольжения. Гиперболический тип уравнений позволяет определить зоны предельного состояния материала и границы областей пластического течения, характеризующиеся разрывом скоростей перемещений. [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...