Невырожденное представление

Нетрудно показать, что каждое невырожденное представление я Д (< с)-> 8 ( ) точно, поэтому множество я(До(< с)) унитарных операторов, действующих на Ж, удовлетворяет алгебраическим условиям, наложенным на представление Вейля. Поскольку II л (/ f) II = 1, то [c.305]

Поэтому представление л непрерывно на Д ( с) и допускает расщирение по непрерывности до представления банаховой алгебры с инволюцией Д] (< с). Итак, для каждого элемента R A (S ) справедливо неравенство (I л (Р) < РЦ] (которое, впрочем, тривиально, поскольку Д ( с) — банахова алгебра с инволюцией). Чтобы учесть условие непрерывности г , сосредоточим внимание на множестве Р (Ж с) всех невырожденных представлений алгебры Л1 (S ), для которой представление л непрерывно по А, е Р в слабой операторной топологии [c.305]

Поскольку всякое невырожденное представление алгебры с инволюцией есть прямая сумма циклических представлений, только что доказанная лемма позволяет свести вопрос о представлениях Вейля к рассмотрению циклических представлений Вейля. [c.307]

Предположим, например, что экситонное состояние при й = 0 преобразуется по невырожденному представлению Лр по которому преобразуется также и основное состояние системы. Тогда, используя (8.24) и (8.25), получаем [c.208]

Если определитель квадратной матрицы (Л,,1=0, то она называется вырожденной. Для любой невырожденной матрицы [Ац] существует обратная матрица [Ли]" такая, что [Л(5]Х[Л( ]- = [/], где [/]—единичная матрица. Последняя является матричным представлением символа Кронекера б /. [c.17]

Существует т. н. полярное разложение Л = = фи М. А в произведение эрмитовой М. а унитарной М. и. М. ( однозначно определяется условием = Л+Л, а М, и однозначно определяется в том и только в том случае, если Л — невырожденная М. (это разложение аналогично представлению комплексного числа в виде г — ге ). [c.68]

Фундаментальные характеристические свойства системы дифференциальных уравнений теории оболочек (например, ее тип или порядок) инвариантны относительно невырожденных преобразований координат на отсчетной поверхности Q. Однако аналитическое представление дифференциальных операторов этой теории существенно зависит от используемой координатной системы, и надлежащим выбором последней им можно придать наиболее удобную, каноническую" форму. Такую форму дифференциальные уравнения теории оболочек получают в ортогональной системе координат, связанной с линиями кривизн поверхности Q. В этой системе координат, обычно и используемой в механике тонкостенных систем, ниже формулируются уравнения неклассической теории оболочек. Итак, пусть х , — ортогональная система координат, координатные линии которой — линии кривизны поверхности Q. Пусть — [c.68]

Алгоритм, представленный на рис. 15.3, может быть применен к любой невырожденной линейной блочно-ленточной системе, в которой все ленточные блоки полностью заполнены. Для рассмотренных [c.422]

В зависимости от геометрии системы решения уравнения (5.32) можно представить в виде суммы плоских или цилиндрических волн. Если решения (5.32) записать в виде плоских волн, то они будут зависеть от 12 произвольных функций, а соотношения (5.33) и (5.34) и условия невырожденности преобразования накладывают на них пять дополнительных условий. Оставшимися функциями можно распоряжаться по своему усмотрению, например, так, чтобы свести задачу с краевыми условиями на движущихся границах к задаче с условиями на неподвижных границах. В общем виде из соотношений (5.32), (5.33) трудно усмотреть что-либо рациональное и нужно проводить отдельное рассмотрение в каждом конкретном случае. В частности, для одномерных систем мы приходим к результатам, представленным в 3.7. Другим, довольно распространенным случаем является ситуация, когда в двумерных системах структура поля по одной из координат известна из каких-либо соображений [5.7, 5.8]. Например, пусть [c.195]

В общем случае любая невырожденная собственная функция гамильтониана образует базис одномерного представления группы симметрии гамильтониана (как доказано в приложении 5.1 в конце этой главы), и поэтому можно классифицировать невырожденную собственную функцию в соответствии с одномерным представлением группы симметрии. Особое внимание следует обратить на действие Е говорят, что собственная функция, симметричная относительно этого оператора, имеет положительную четность, тогда как функция, антисимметричная относительно него, имеет отрицательную четность. [c.73]

Мы будем рассматривать случай, когда параметр мал. Для поиска периодических решений уравнения (1.1) можно воспользоваться методом малого параметра, разлагая эти решения в сходящиеся ряды по степеням . Представление уравнения (1.1) в виде гамильтоновой системы (1.2) позволяет воспользоваться теорией Пуанкаре рождения пар невырожденных периодических решений, развитой им в главах I и III знаменитых Новых методов небесной механики [9]. [c.235]

Из условия невырожденности со следует, что существует ненулевой вектор е для которого o f , О. Так как из представления [c.306]

Упражнение 1. Докажите свойства 2-4, не опираясь на матричное представление оператора В. Вместо свойства 1 докажите невырожденность симплектического преобразования В. [c.311]

Имеется лишь двадцать основных частот десять невырожденных и десять дважды вырожденных. Чтобы получить грубое представление о величине частот и форме нормаль- [c.390]

На основании изложенных представлений об эффекте Зеемана при электронных переходах между невырожденными синглетными состояниями спектр магнитного вращения наблюдаться не должен (за исключением чрезвычайно сильных нолей). При переходах же между вырожденным и невырожденным электронными состояниями (41 — 2, Е — А и т. д.) для линий с малыми значениями J должен наблюдаться интенсивный спектр магнитного вращения. Из-за ограничения малыми значениями J спектр магнитного вращения значительно проще, чем спектр поглощения. Такое упрощение спектра было обнаружено для некоторых двухатомных молекул (см. [22], стр. 306, русский перевод, стр. 226), однако для многоатомных молекул оно достаточно четко не наблюдалось. [c.273]

Каждый волновой вектор к в первой зоне Бриллюэна, при действии на него всех элементов симметрии точечной группы кристалла, преобразуется в некоторое число волновых векторов, которые вместе с исходным образуют звезду к-представления. Если конец вектора к не попадает в особые точки зоны Бриллюэна (оси симметрии, плоскости симметрии и граница зоны), то число векторов звезды равно числу элементов группы точечной симметрии. Така звезда называется невырожденной. Если конец [c.27]

Представлением алгебры Ли в линейном пространстве будем называть гомоморфное отображение F- t F) алгебры в множество линейных операторов в . При этом очевидно, что благодаря свойству гомоморфизма, [f, f ]- [/(f), t F )], тождество Якоби (1.6) удовлетворяется для i F) автоматически. Аналогичным образом определим представление (непрерывной) группы Ли G, g- T(g), geG, в линейном пространстве как непрерывную функцию T g) на G со значениями в группе невырожденных непрерывных линейных преобразований являющуюся решением функционального уравнения [c.55]

Для унитарности представления T g) необходимо наличие билинейной положительно определенной инвариантной эрмитовой формы. С этой целью введем невырожденное скалярное произведение (/], 2) в пространстве представления и наложим на него условия [c.55]

Полученные в предыдущем параграфе генераторы в асимптотической области, реализующие произвольное неприводимое представление с весом (р, / соответствующей алгебры, позволяют выполнить эту программу до конца. При этом предельный переход к бесконечно большим значениям некомпактных параметров фактически реализует каноническое преобразование в фазовом пространстве, обеспечивающее выбор наиболее удобной для вычислений системы координат, в которой операторы Казимира и их собственные значения можно довести до конкретных формул. Получаемые результаты справедливы вне зависимости от того, является ли представление вырожденным или невырожденным, конечно- или бесконечномерным. Они справедливы в соответствии с п. 2, П. 1 и для конечномерных унитарных представлений, в том числе вырожденных, компактных групп. [c.85]

Группа Л-вектора для центральной точки зоны Бриллюэна Г (Л = 0) есть полная пространственная группа. Соответствующая ей точечная группа имеет представления от до которые мы теперь обозначим от Г, до Г,. Термы Е (Г) будут классифицироваться этими возможными типами симметрии. Уровни от Г, до Г — невырожденные, Г5 и Г, —дважды вырожденные. [c.121]

Невырожденный электронный газ 35 Неприводимые представления Пб, 364 Непрямой переход при поглощении света 269 и д. [c.415]

Можно считать, что диаграмма описывает некоторую новую деформацию системы. Очевидно, что частота колебания, возбужденного этой деформацией, будет такой же, как и частота колебаний в случае деформации, представленной на фиг. 14. Если новая мода колебаний эквивалентна первоначальной, как это имеет место в данном случае (с точностью до изменения знака), то мы не узнаем ничего нового. Однако если новая мода отличается от исходной, то мы получим в результате некоторое новое нормальное колебание, частота которого равна частоте первого. Как и в квантовой механике, возникает вырождение, с необходимостью вытекающее из наличия симметрии. Таким образом, если все нормальные координаты не изменяются или переходят в эквивалентные координаты при операциях симметрии, то следует ожидать, что спектр колебаний невырожден. Если же некоторые нормальные координаты переходят при операциях симметрии друг в друга, то мы заключаем, что соответствующие нормальные колебания будут вырожденными. [c.49]

Это утверждение можно сформулировать несколько иначе. Допустим, что мы нашли унитарное преобразование от координат смещений к нормальным координатам (что эквивалентно полному реше> нию задачи). Нормальные координаты невырожденных мод при операциях симметрии не должны изменяться, или, иными словами, они должны принадлежать одномерным неприводимым представлениям. С другой стороны, координаты вырожденных мод могут пре- [c.49]

Напомним, что представление я Ш -> 33 называется невырожденным, если множество (я 1 е Г е 5 плотно в 5 , [c.222]

Электронные состояния, получающиеся для системы эквивалентных электронов. Согласно принципу Паули, на каждую орбиталь невырожденного уровня можно поместить только два электрона. Если это сделано, то возникает только одно полносимметричное синглетное состояние, так как два электрона должны иметь противоположные спины и так как любое невырожденное представление, будучи умножено само на себя, дает полносимметричное иредставление. По существу это все, что нужно сказать о состояниях, получающихся в тех случаях, когда эквивалентные электроны находятся на орбита,]1ях невырожденного уровня. [c.339]

Неассоцнативность симметризованного произведения 52 Невырожденное представление 222 Необходимое и достаточное условие полной Т)-абелевости 236 ----совместности двух высказываний 94 [c.417]

Если G — групна линейных преобразований (невырожденных операторов) в нек-ром линейном пространстве L, то гомоморфизм [/ G G наз. представлением группы G (точнее, линейным представлением). Т. о., линейное представлеипе каждому элементу g группы G ставит в соответствие невырожденный линейный оператор U g), причём произведению элементов Г. соответствует произведение операторов, [c.541]

Квантовые эффекты могут играть важную роль и в невырожденной плазме. Если классич, расстояние иакс. сближения 2е кТ меньше длины волны, ве Бройля Л , то представление о нём теряет смысл и в выражении кулоновского логарифма 2е-/кТ заменяется на Ае. Ь— 1п(го/Л ). Из неравепства 2е /кТ можно получить неравенство 2 Я кТ, где Я — энергия ионизации атома водорода (Ридберга постоянная). Последнее неравенство означает, что плазма полностью ионизована (рис. i, область V). [c.253]

Осн. характеристиками точечной группы (как н ПИ-группы) являются их неприводимые представления (см. Представление группы), наз. также типами симметрии, к-рые определяют свойства преобразования волновых ф-ций при операциях точечной группы. Типы симметрии обозначают буквами А, В, Е, F (или Т) с индексами 1,2,, ", g, и. Буквами А а В обозначают одномерные неприводимые представления, или невырожденные типы симметрии. Так, Аозначает, что волновая ф-ция типа Aig полноенмметричва относительно [c.516]

Примененный к векторамч трокам невырожденной матрицы А размера пХ т т> п) процесс ортогонализации Грама - Шмидта может быть рассмотрен как представление этой матрицы в виде произведения двух матриц [c.200]

Согласно приведенному выше доказательству [см. (8.193)], нормальные координаты Qr, имеющие невырожденные частоты кг, образуют базис для одномерных (и, следовательно, неприводимых) представлений группы симметрии гамильтониана. Набор I нормальных координат Q i, Qs2, , Qst, которые имеют одинаковую нормальную частоту образует базис для /-мерного представления группы. Такое /-мерное представление может быть приводимым или неприводимым. Это представление бывает приводимым лишь случайно при наличии случайных соотношений между силовыми постоянными и ядерными массами, что бывает редко. Если даже имеет место случайное вырождение, то тем не менее можно построить нормальные координаты, преобразую-ншеся по неприводимым представлениям. [c.216]

В обеих ситуациях при малых надкритичностях интервал неустойчивости по волновому числу узок, а инкремент нарастания мал, что позволяет применить метод многих масштабов и вывести а1УШЛитудное уравнение. При невырожденной неустойчивости основного движения аналогом представления (33.15) является I7 , где имеет тот же смысл, что и в п. 2 — собственная функция линейной задачи при /с = О, Gr = Gr - вещественные функции медленных переменных. [c.238]

Невырожденные гиперболические инвариантные торы гамильтоновых систем имеют асимптотические многообразия, сплошь заполненные траекториями, неограниченно приближающимися к условно-периодическим траекториям на гиперболическом торе при t — 00. В интегрируемых гамильтоновых системах эти поверхности, как правило, попарно совпадают. В неинтегрируе-мых случаях ситуация иная асимптотические поверхности могут трансверсально пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть. Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет однозначного интеграла... (А. Пуанкаре [146]). [c.252]

Распадение векового определителя на множители было доказано нами только для невырожденных типов симметрии однако тот же результат получается и для вырожденных типов симметрии (см., например, Розенталь и Мерфи [750]). Более того, оказывается, что если 5,- и 8ц, являются взаимно ортогональными вырожденными координатами симметрии определенного типа симметрии, то потенциальная энергия зависит совершенно одинаковым образом от координат Sla и 8ц, и в выражение потенциальной энергии не входит произведение этих координат. Аналогичный результат получается и для кинетической энергии. Поэтому в вековой определитель, представленный в виде произведения, будут входить два одинаковых множителя (два одинаковых заштрихованных [c.166]

Классификация электронных состояний, В уравнении Шредингера для движения электронов (1,5) величина Уе обозначает потенциальную энергию электронов в поле ядер (неподвижных). Как указано выше, в первом приближении (которое, как правило, является хорошим) мы можем рассматривать движение электронов при равновесном положении ядер. Поэтому функция Уе У 1меет ту же симметрию, что и молекул(а в определенном электронном состоя- ти. Таким образом, уравнение Шредингера, описывающее электронное ч движение, не изменяется под действием операции симметрии. Следовательно, 4 лектронная волновая функция невырожденного состояния может быть 4 олько симметричной или антисимметричной по отношению к каждой из оне-. Ч аций симметрии, допускаемых симметрией молекулы в равновесном ноло- ении, т. е. она либо остается неизменной, либо только меняет знак. В случае вырожденных состояний собственная функция может превращаться только в линейную комбинацию двух (или более) вырожденных волновых функций, так что квадрат волновой функции, представляющий собой электронную плотность, остается неизменным. Различные волновые функции могут вести себя по-разному по отношению к различным операциям симметрии данной точечной группы но, как правило, не все элементы симметрии точечной группы независимы друг от друга, поэтому возможны лишь определенные комбинации поведения волновых функций по отношению к операциям симметрии. Такие комбинации свойств симметрии называются типами симметрии (см. [23], стр. 118). На языке теории групп это неприводимые представления ])ассматриваемой точечной группы. Каждая электронная волновая функция, а следовательно, и каждое электронное состояние принадлежат к одному из возможных типов симметрии (представлений) точечной группы молекулы [c.17]

Невырожденные уровни и Г., не расщепляются в магнитном поле, кроме того, в первом приближении теории возмущений не расщепляется уровень Гз (немагнитный дублет). Элементарная теория возмущений показывает, что уровни, характеризуемые ненриводимыми представлениями Г , Тд, Гб и Г , в магнитном поле обнаруживают расщепление, величина которого не зависит от ориентации кристалла в магнитном поле. Расщепление зависит от ориентации кристалла в поле [40] для всех случаев, когда этот штарковский подуровень в кристалле происходит в результате расщепления атомных состояний с J /з- [c.102]

Хариш-Чандра, а также на основе дифференциальной формулы Березина, которые весьма сложны для практических применений. Вычисление собственных значений как функций весов неприводимых представлений допускает в ряде случаев привлечение упрощающих расчеты соображений типа традиционного-метода применения операторов Казимира к старшему вектору. Однако он применим лишь тогда, когда среди неприводимых представлений рассматриваемой группы содержится хотя бы одно конечномерное невырожденное нетривиальное (с простым спектром). [c.85]

Мы получили искомый результат. Теперь продвинемся несколько дальше и попытаемся найти еще и форму нормальных колебаний. Оказывается, что эта задача полностью решается для невырожденных нормальных колебаний, но в случае двукратно вырожденных мод, преобразующихся по одному и тому же неприводимому представлению, остается некоторая неопределенность. Для данной цели необходимо, конечно, знать явный вид неприводимых представлений, и мы используем неприводимые представления, полученные выше. Если бы мы воспользовались другими двумерными неприводимыми представлениями, эквивалентными перечисленным выше, то получили бы другие линейные комбинации вырожденных мод, отличные от тех, которые приводятся здесь. Эти комбинации также давали бы правильное решение задачи, которое фактически эквивалентно получаемому ниже. Обратимся теперь к решению этой задачи. [c.52]

Симплектическая структура на орбитах, инволю-тивность интегралов и полная интегрируемость системы Эйлера. Любой касательный к орбите Од в точке М вектор I представим в виде = [М, а] для некоторой кососимметрической матрицы ос. На 0 есть симплектическая структура, задаваемая невырожденной замкнутой два-фор-мой (0(11, у. Форма (0( 1, У = —1г(М-[а1, а ]), где = = [М, осу], и задаваемая ей симплектическая структура были впервые использованы Кирилловым в теории представлений нильпотентных групп Ли. На пространстве кососимметрических матриц 0 (п) определено невырожденное скаля рноеХпроизведение (а, Р) = —1г(ос-Р). Значение формы (0(11, У = ( М, К, а]) = (11, аа) = —(5а, 1), где у = [М, ау], не зависит от произвола в выборе а,- по заданным 5у. Так как [а , 2] = —[а , а,], то о)( ,, У =--= —(0( 2, 11). Форма (О невырождена, так как для любого О существует такое, что 2) О, и [c.309]

Интересные превращения претерпевают и квадрупольные экситонные состояния ). В частности, невырожденное экситонное состояние, имеющее симметрию представления группы 0/1, при наличии электрического поля, направленного вдоль оси г, имеет симметрию представления А группы и его волновая функция преобразуется так же, как г-я компонента полярного вектора в результате переходы в это состояние из основного состояния (симметрии А ) становятся разрещенными ) в дипольном приближении (см. табл. VI), и компонента 33 становится комплексной. Независимо от величины пространственной дисперсии, с ростом электрического поля интенсивность такого рода линий должна расти. Ясно, что в окрестности этих экситонных линий, когда без учета пространственной дисперсии кристалл ведет себя как одноосный, имеем (Взз + Д зз) [c.222]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...