Вырожденные типы симметрии

Для невырожденных типов симметрии легко убедиться в том, что различное поведение (различные характеры) по отношению к двум из плоскостей (или по отношению к двум из осей симметрии j, перпендикулярным оси симметрии Ср) привело бы к противоречию со свойством симметрии или антисимметрии колебаний или собственных функций по отношению к повороту вокруг оси симметрии Ср. Для дважды вырожденных типов симметрии на стр. 112 было показано, что отражения в плоскости или повороты вокруг осей симметрии j описываются преобразованием (2,76). Поэтому для этих типов симметрии характер = + равен нулю независимо от значений угла р. [c.123]

К инверсии. Поэтому характер дважды вырожденных типов симметрии относительно инверсии либо равен - р2 (когда обе составляющие являются симметричными), либо равен —2 (когда они антисимметричны) в случае трижды вырожденных типов симметрии характер равен либо - - 3, либо —- 3. Аналогично, при отражении в плоскости Од, перпендикулярной оси симметрии Ср (см. стр. 112), характер дважды вырожденного колебания равен либо либо —2. [c.124]

Те же типы симметрии и характеры, как и для точечной группы получаются и для точечной группы если только символ 5о в табл. И> заменить через ЪС . Типы симметрии и характеры для точечных групп и /), были бы такими же, как и для точечных групп Сз и с той разницей, что мы имели бы три вырожденных типа симметрии (/=1, 2, 3), которые следовало бы обозначить символами / 1, В , . [c.126]

Характеры, полученные таким образом для группы даны в табл. 18. Таблица также включает вырожденный тип симметрии Е, который является единственно возможным, так как I принимает одно лишь значение, равное [c.127]

В табл. 21 даны типы симметрии и характеры точечной группы Did- Так как в рассматриваемом случае имеется зеркально поворотная ось восьмого порядка то мы имеем три вырожденных типа симметрии. Приведенные в таблице характеры легко можно получить из уравнения (2,75). Изоморфные группы gv и Da имеют те же типы симметрии и характеры. [c.130]

В данном случае имеется бесконечное число вырожденных типов симметрии соответствующих значениям /=1, 2, 3,. .. Выбранные нами обозначения [c.133]

Точечные группы и О. Точечная группа кубической симметрии (к которой принадлежат молекулы, подобные СН4) имеет четыре оси симметрии третьего порядка. Невырожденные колебания или собственные функции могут быть по отношению к этим осям только симметричными (см. стр. 96), но могут являться симметричными или антисимметричными по отношению к шести плоскостям симметрии проходящим через оси симметрии Сд, и, следовательно, также по отношению к трем зеркально поворотным осям четвертого порядка 4. Таким образом, мы имеем два тта симметрии (Л1 и А< ) невырожденных колебаний или собственных функций. Более строгий анализ с помощью теории групп (см. Вигнер [923]) показывает, что в данном случае имеется именно один дважды вырожденный тип симметрии Ё, как и д,1я точечной группы и два трижды вырожденных типа симметрии и Их характеры даны без дальнейшего доказательства в табл. 28. [c.137]

Попарные комбинации невырожденного и вырожденного колебаний. Если одновременно в невырожденном и в вырожденном состояниях возбуждено по одному кванту (т. е. если мы имеем комбинацию двух таких состояний), то результирующее состояние, разумеется, относится к типу симметрии той же степени вырождения, что и вырожденное состояние. Однако, если рассматриваемая точечная группа обладает несколькими вырожденными типами симметрии, то тип результирующего состояния не обязательно будет таким же, как и тип вырожденного колебания. Теория групп показывает, что тип симметрии результирующего состояния получается, как и для невырожденных колебаний, а именно, для каждой операции симметрии составляется произведение характеров двух типов симметрии. Числа, получаемые таким путем, являются характерами результирующего состояния. [c.141]

Если имеется только одно колебание определенного (вырожденного) типа симметрии, то соответствующее значение С,- не зависит от силовых постоянных. Например, для молекулы типа Хд единственное вырожденное колебание имеет Сз = —1 (см. выше). Из фиг. 33,а видно, что наложение колебаний v 2a и показанных на фиг. 32, при разности фаз в 120° дает [c.434]

Вырожденные типы симметрии 102, 122, 166 распадение на типы симметрии точечных групп более низкой симметрии 255 характеры 122 число колебаний 152 Вытянутый симметричный волчок 36, 59 [c.600]

Та и О 114, 137, 158, 25-4, 274, 281 Ё, дважды вырожденный тип симметрии 122 [c.633]

El, Ез, вырожденные типы симметрии (характеры и числа колебаний) точечных групп и 05 126, 156, 274 Се 135, 155, 274 С и Л, 129, 155, 274 El, Ез, Ец типы симметрии (характеры и числа колебаний) точечных групп [c.633]

В , Ё 3/2, — двузначные дважды вырожденные типы симметрии [c.759]

Сд, (Зц — четырежды вырожденные типы симметрии точечных групп X и Т атомные [c.759]

Операция обращения времени 0 меняет направление всех импульсов (Р) и спиновых угловых моментов (s и I), но не меняет направление радиус-векторов (R). Было бы лучше назвать операцию обращения времени обращением импульсов и спинов. Молекулярный гамильтониан инвариантен относительно этой операции (например, 7 es и Йпа инвариантны относительно замены R->R, Р- —Р, I--1 s->—s). Оказывается, что включение 0 в любую группу симметрии гамильтониана не приводит к какой-либо новой классификации уровней энергии по сравнению с классификацией по типам симметрии исходной группы симметрии. По этой причине мы не будем включать операцию 0 в дальнейшем в группы симметрии. Заметим, однако, что эта операция может быть причиной лишних вырождений. Так, если в исходной группе симметрии имеется пара комплексно-сопряженных неприводимых представлений Г и Г, то как следствие инвариантности Я относительно 0 уровень энергии для состояния с симметрией Г будет всегда совпадать с уровнем энергии симметрии Г. По этой причине Г и Г можно рассматривать как одно представление удвоенной размерности. Будем называть такие представления раздельно вырожденными. В частности, представления Еа и Еь группы Сз (см. табл. 5.4) раздельно вырождены. Таблица характеров такой группы может быть записана в сжатой форме путем объединения характеров пары раздельно вырожденных [c.104]

Вырожденные типы симметрии. Как указывалось ранее, молекула, обладающая, по крайней мере, одной осью симметрии выше второго порядка, всегда имеет как вырожденные, так и невырожденные нормальные колебания (собственные функции). В этом случае, кроме типов симметрии, подобных разобранным выше мы имеем один или несколько вырожденных типов симметрии, обычно обозначаемых буквой Е, если они дважды вырождены, и буквой Р, если они трижды вырождены В то время как влияние различных операций симметрии на невырожденные колебания или собственные функции может описываться просто множителем - -1 и — 1, такой способ описания не может быть применен в случае вырожденных колебаний и собственных функций, так как они в общем случае переходят в линейную комбинацию согласно уравнзнию (2,62). Можно показать, что для характеристики поведения вырожденного колебания или собственной функции достаточно указать для каждой операции симметрии значение суммы [c.122]

Для обеих точечных групп имеется только один вырожденный тип симметрии, так как, согласно предыдущему (см. стр. 102), возмо> сно только / = 1 й так как поведение колебаний или собственных функций должно быть одинаковым по отноиюнию ко всем трем плоскостям о и ко всем трем осям симметрии j (это поведение выражается уравнениями (2,76) и приводит к характеру Характер относительно операции Сз, согласно изложенному [c.124]

Точечные группы >зл и Группа содержит те же независимые элементы симметрии, что и группы Dp или дополнительно имеется лишь плоскость симметрии од, перпендикулярная оси симметрии порядка р поэтому каждый из типов симметрии точечных групп Dp и в случае точечной группы Dpti распадается на два типа, один —симметричный по отношению к плоскости 0 , другой — антисимметричный по отношению к ней. При нечетных р эти два типа различаются между собой штрихами ( и ) у символов, обозначающих типы симметрии в точечной группе Dp. В табл. 22 приведены типы симметрии точечных групп D и Обе составляющие вырожденного типа симметрии являются одновременно либо симметричными ( ), либо антисимметричными ( ") по отношению к плоскости <3д (см. стр. 111), поэтому соответствующие характеры равны -f-2 и —2 соответственно. Характеры в случае операций симметрии 5з, 8ъ, Sf и о сразу получаются из характеров по отношению к независимым элементам симметрии, если учесть, что эти операции эквивалентны операциям X °л, X °л. С Х л и X соответственно. [c.130]

Вырожденные типы симметрии точечных групп как и в случае рассмотренных ранее точечных групп Ср, являются разделимо вырожденными, поэтому иногда удобно характеры вырожденных составляющих давать отдельно. В случае точечной группы они в точности совпадают с соответствующими характерами табл. 26 для группы Са. Для точечных групп С д и Сол их легко получить по примеру уже рассмотренных групп i и Се- [c.137]

Как указывалось выше, вырожденные колебания всегда можно выбрать так, что они будут симметричными или антисимметричными по отношению к плоскостям симметрии, осям симметрии второго порядка и центру симметрии. В рассматриваемом случае одно колебание дважды вырожденной пары можно выбрать симметричным по отношению к плоскости о , другое — антисимметричным, и поэтому соответствующий характер равен нулю. Все дважды вырожденные колебания являю1ся симметричными по отношению к ося.м симметрии второго порядка С . Два трижды вырожденных типа симметрии различаются, в том отношении, что для одного из них два из трех взаимно вырожденных колебаний могут быть сделаны антисимметричными, а одно — симметричным по отношению к плоскости вместе с тем, для другого типа два колебания являются симметричными и одно — антисимметричным. По этой причине характеры -1-равны —1 и 1 соответственно. [c.137]

Так как едва ли будут найдены реальные молекулы, принадлежащие к точечным группам 7д, / и /, то мы не будем рассматривать соответствующие типы симметрии и характеры (см. Тисса [867]). Однако, пожалуй, следует упомянуть, что точечные группы / и /д, кроме трижды вырожденных типов симметрии, имеют также четырехкратно и пятикратно вырожденные типы симметрии. [c.139]

Если мы имеем совокупность атомов, занимающих общие положения (ни один из привэденных выше примеров не соответствует этому случаю), то получается двенадцать (а не шесть) степеней свободы, т. е. шесть вырожденных колебаний. Это происходит прежде всего потому, что каждому смещению атома совокупности соответствует два различных смещения каждого из атомов совокупности, получающегося из исходного атома при повороте вокруг оси С . Таким способом объясняется появление шести степеней свободы. Но три атома, получаемые путем поворота, представляют только половину совокупности атомов, так как каждому из них соответствуёт другой атом, расположенный симметрично относительно плоскости о . Отражение в плоскости о , вообще говоря, будет преобразовывать данное колебание в иное колебание, однако при надлежащем выборе линейной комбинации вырожденных колебаний одно из колебаний по отношению к этой плоскости будет симметричным, другое — антисимметричным, т. е. соответствующее число степеней свободы будет удваиваться. Итак, для рассматриваемой совокупности атомов, занимающих общие положения, для вырожденного типа симметрии получается двенадцать степеней свободы, иначе говоря, шесть вырожденных колебаний. При наличии т таких совокупностей получится 6/ге вырожденных колебаний. Это справедливо не только для типа симметрии Е точечной группы Сз , но также для дважды вырожденных типов симметрии всех точечных групп, за исключением точечных групп Ср, Ср,1 и Т. Для последних групп отсутствуют плоскости о , проходящие через ось Ср или оси С , перпендикулярные оси Ср, а поэтому нет причин для удвоения числа степеней свободы. Для этих точечных групп т совокупностям атомов, занимающих общие положения, соответствует только 3/ге дважды вырожденных колебаний. [c.154]

Распадение векового определителя на множители было доказано нами только для невырожденных типов симметрии однако тот же результат получается и для вырожденных типов симметрии (см., например, Розенталь и Мерфи [750]). Более того, оказывается, что если 5,- и 8ц, являются взаимно ортогональными вырожденными координатами симметрии определенного типа симметрии, то потенциальная энергия зависит совершенно одинаковым образом от координат Sla и 8ц, и в выражение потенциальной энергии не входит произведение этих координат. Аналогичный результат получается и для кинетической энергии. Поэтому в вековой определитель, представленный в виде произведения, будут входить два одинаковых множителя (два одинаковых заштрихованных [c.166]

При чтом предполагается, что если имеется несколько колебаний вырожденного типа симметрии, то координаты симметрии, выбраны так, что а в преобразовании (2,75) меет не только одинаковую величину, но и одпнакопыи знак (см. стр. 102). [c.167]

Распадение вырожденных типов симметрии не столь очевидно, так как при переходе к более низкой симметрии вырождение может быть частично или полностью снято. В этих случаях необходимо провести расчеты, аналогичные методу определения результирующего состояния при возбуждении двух вырожденных колебаний (см. выше, стр. 144). Пусть Е — вырожденный тии симметрии (представление) рассматриваемой точечной группы/ , а G, Я,...—типы симметрии, на которые раси1епляется ири переходе к более низкой симметрии точечной группы Q. Пусть далее VS K.. — [c.255]

В табл. 55 приведены типы симметрии шести составляющих тензора поляризуемости для всех наиболее важных точечных групп, включая и точечные группы с вырожденными типами симметрии. В последнем случае типы симметрии могут быть получены принципиально таким же способом, как и примененный выше, однако несколько более сложным путем (см. ниже). В этом случае для составляющих и Чуу тензора поляризуемости (а в точечных группах кубической симметрии также и для составляющих о ) даны два типа симметрии. Подобная запись указывает, что в действительности к определенному типу симметрии относятся только суммы ад.д.- -ау у и разности (а в случае точечной группы кубической симметрии а д.а и более сложная линейная комбинация этих величин см. работу Тиссы [867]). В большинстве практических случаев это равносильно предположению, что д-д., ауу (а г) относятся к двум типам симметрии, указанным в табл. 55. [c.276]

Рассмотрим, наконец, в качестве примера молекул, имеющих вырожденные колебания, молекулу, принадлежащую к точечной группе (скажем,. молекулу типа Х2У4). В этом случае дипольный момент относится к трижды вырожденному типу симметрии и поэтому в инфракрасном спектре в качестве основных колебаний активны только колебания типа симметрии Ь . В молекуле типа ХУ4 такими колебаниями являются колебания Уд н 74 (см. фиг. 41). Так как составляющие поляризуемости относятся к типам симметрии Ац Е и Ря, [c.281]

ИЗ ЭТИХ уровней при К — Ъд дважды вырожден (тип симметри Е). При /Г= 3 1 ТОЛЬКО ОДИН из уровней имеет симметрию Е (при К—Ъд — 1 — уровень -f-/, при —уровень — /), второй же уровень состоит из [c.438]

Р, вращательные уропнп тетраэдрических молекул 52, 477, 478, 482 вырождение в любом приближении 480 Р, модификация тетраэдрических молекул 53, 482 / , трижды вырожденный тип симметрии 122 [c.634]

Т, полная энергия (значения терма) колебания или врап ени 399, 428, 489 Т, трижды вырожденные типы симметрии (см. также / ) 122 кр> критическая температура 553 [c.639]

V, Fi, Е2 — трижды вырожденные типы симметрии электронные (электронно-колебательные) состояния электронпо-колебательпо-вращательные уровни молекул типа сферического волчка [c.759]

Все вышеперечисленные эффекты проявляются при i однородном гидростатич. давлении. В то время кии оно не меняет симметрию решётки, одноосное ианря-1 жение понижает симметрию системы и поэтому пря-1 водит к расщеплению первоначально вырожденных уровней. Новый тип симметрии кристалла зависит от направления, в к-ром приложено напряжение. [c.188]

Преходим к наиболее важному случаю устойчивых резонаторов, составленных из полностью отражающих зеркал конечных размеров. Здесь перестают быть вырожденными также и моды, обладающие одинаковыми Z и с разными сочетаниями поперечных индексов. Исчезает и произвол в выборе типа симметрии при прямоугольных зеркалах решениями являются только функции вида Fi(x) F2(у), при круглых - F(r)exp( /7(р). Однако если ограничиться рассмотрением колебаний, ширины каустик которых заметно уступают ширинам зеркал, остальные закономерности оказьюаются качественно такими же, как и при гауссовых зеркалах. [c.89]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...