Вейля представление КПС

Это соотношение называется формой Вейля представления Шредингера канонического перестановочного соотнощения для системы с одной степенью свободы. С некоторыми из его обобщений мы уже встречались в гл. 2. Основное преимущество такой формы состоит в том, что она содержит лишь унитарные операторы и, таким образом, позволяет уйти от ответа на довольно сложные вопросы относительно области существования операторов, возникающие в том случае, когда мы имеем дело непосредственно с Р и р. Но форма Вейля обладает и [c.292]

Физический смысл имеют лишь волновые функции тех неприводимых представлений группы перестановок, которые соответствуют схемам Юнга Я , имеющим не более двух столбцов (так, чтобы Я имели не более двух строк, соответственно двум проекциям спина электрона). Кроме того, как показал Вейль, в (1.8) появляются лишь те Я , которые имеют не более т строк. [c.9]

Вейль Г. Классические группы, пх инварианты и представления.—М. [c.268]

Докажите, что при изменении системы отсчета эта матрица преобразуется по правилу ж = и х11, где II 6 8Ь(2,С). Таким образом, мы получаем для каждого собственного преобразования Лоренца (преобразований из связной компоненты единицы) элемент и е 8Ь(2, С), и, тем самым, двумерное представление группы Лоренца ф н-)- иф, где ф = ( ) — двухкомпонентный спинор Вейля. [c.19]

Определим формально для любого представления алгебры Вейля 23 (и, следовательно, для любого представления КПС) оператор числа частиц N (Q) и оператор плотности р (Q) для ограниченной области Q пространства соотношениями [c.124]

Далее, точно так же можно показать, что оператор р существует и вырождается в с-число, если мы рассмотрим циклическое представление алгебры Вейля с циклическим вектором таким, что [c.125]

Случай, когда S = S совпадает с R, причем (а, Ь) = аЬ, сводится к форме Вейля канонического перестановочного соотношения для системы с одной степенью свободы. Аналогично, если пространство S — S л-мерно (п<оо), то приведенная нами формулировка представления Вейля соответствует описанию системы с п степенями свободы. Оба случая охватываются результатами, представленными в п. 1 и 2. [c.302]

Нетрудно показать, что каждое невырожденное представление я Д (< с)-> 8 ( ) точно, поэтому множество я(До(< с)) унитарных операторов, действующих на Ж, удовлетворяет алгебраическим условиям, наложенным на представление Вейля. Поскольку II л (/ f) II = 1, то [c.305]

Д (< с). В дальнейшем нам нет необходимости различать между представлением яе=Р( с), рассматриваемым как представление нормированной С -алгебры Д ( с), банаховой алгебры с инволюцией Д1 (ё с) или С -алгебры А(ё с)- Попутно заметим, что С -алгебра Д (ё с) не слишком велика для того, чтобы изучать на ней множество всех представлений Вейля, удовлетворяюш,их лишь определяющим условиям I. Действительно, как мы видели ранее, множество До(< с), представляющее для нас основной интерес, порождает С -алгебру Д(< с) в смысле нормированных линейных пространств. [c.306]

Такая формулировка интересна для нас тем, что позволяет подойти к решению проблемы построения представлений Вейля канонических перестановочных соотнощений на основе процедуры, аналогичной конструкции ГНС представлений С -алгебры. [c.306]

Обозначим через 2В Ж с) множество всех представлений Вейля, определенных лишь условием I. [c.306]

Поскольку всякое невырожденное представление алгебры с инволюцией есть прямая сумма циклических представлений, только что доказанная лемма позволяет свести вопрос о представлениях Вейля к рассмотрению циклических представлений Вейля. [c.307]

Теорема 8 (теорема Хаага, часть I). Пусть ( с) — представление Вейля КПС с циклическим вектором Ф. Предположим, что состояние ф на (< с). соответствующее вектору Ф, О-ин-вариантно и является ц-кластером и что существует нормированный вектор 0,<= Ж, такой, что а (/) й = О для всех / е Тогда Ф = Ай, где Я е С и Я = 1. [c.318]

Вейля, полученное при сужении представления Шдс с) на Жд. Тогда О — циклический вектор для этого представления и if) = Q, 1 (/)0). Поскольку а(/)0 = 0 для всех /е< , из сказанного в конце предыдущего пункта (п. 3) следует, что й (/) = ехр — ДI / Р . Таким образом, и (/) = 6 ( [П ) для всех и всех Следовательно, состояние (ш Я) = [c.318]

VI ( ) Щ (/=1,2) — два представления Вейля канонических перестановочных соотношений, удовлетворяющие предположениям леммы. Предположим, что соответствующие генераторы Р1( ) и Н] групп ,( ), 7/(/) и и, 1) удовлетворяют следующим условиям [c.322]

Такое определение смешанного представления со сдвинутыми координатами удобно тем, что В, ф . р. не может быть комплексной (в отличие от обычного координатно-импульсного представления). Переход от р у к /дг соотнетствует преобразованию Вейля. В. ф. р. позволяет найти распределение частиц по координатам или по имнулг.сам с помощью интегрирования по р или но х [c.273]

С 1927 г. Юрий Борисович продолжает образование и работает в Германии. В 1929—1932 гг. он — ассистент Макса Борна в Гёттингене. Начало его научной деятельности совпало с годами становления квантовой механики. В эти годы он выполнил пионерские работы по применению методов квантовой механики и теории групп в химии (совместно с Г. Вейлем и молодыми тогда В. Гайтлером и Э. Теллером). Ученые показали, что при описании молекул со сложными связями (например, молекулы бензола) классические представления о валентности не работают, и в описание необходимо включать квантовую суперпозицию состояний. Ныне теорема и диаграммы Румера получили всеобщее признание и излагаются в учебниках по квантовой химии. Эти работы Юрий Борисович продолжал и по возвращении на родину. Они легли в основу новой отрасли науки — квантовой химии с ее наглядным упрощенным представлением — теорией резонанса , которая возникла как наглядная интерпретация работ Румера с соавторами. За развитие этой науки Л. Полинг получил в 1954 г. Нобелевскую премию, а в СССР в 1948 г. квантовая химия была разгромлена как лженаука . [c.606]

Таким образом, представление Вейля-Вигнера независящего от времени уравнения Шрёдингера [c.116]

Единая теория поля. Геометрич. теория тяготения, созданная Эйнштейном, не претендует на раскрытие механизма гравитационных сил или их истинной природы она дает лишь математич. теорию явлений, и роль геометрических представлений заключается только в том, что они позволяют сделать математику сравнительно простой и наглядной. Но у этой теории есть один важный недостаток электромагнитным явлениям не нашлось места в ее геометрич. схеме электромагнитное поле не получило геометрич. истолкования. Эйнштейн, Эддингтон и Вейль задались целью устранить этот недостаток и построить такую теорию, в которой электромагнитное поле, наравне с полем тяготения, является одним из геометрических свойств пространства. В этом и заключается проблема единой теории поля. Калуза (1921 г.), Клейн и Мандель (1926 г.) показали, что этой цели можно достигнуть при помощи пятимерной геометрии. Величина ds для пятимерного пространства получится, если к четырехмерной сумме giJ dXi dx прибавить [c.182]

Основные работы этого направления (по 1965 т.) собраны и изданы Портером [172]. Их анализ проведен в прекрасном обзоре Портера [173]. В работах Вигпера [171] и Портера и Розенцвейга [173, 175] рассматривался гауссовский ансамбль случайных матриц. Формальное завершение это направление получило в работах Дайсона [174], который рассмотрел ансамбли случайных ортогональных, унитарных и симплектических матриц. Ряд последних результатов этого направления содержится в обзорах [187. 188]. Представление об ансамбле случайных матриц уже было известным благодаря результатам Вейля [176], который ввел понятие функции распределения (меры) на группе и получил распределение собственных значений для унитарного ансамбля. [c.243]

Для операторно-неприводимых представлений эти операторы сводятся к числовым функциям их старших весов, которые будем в дальнейшем называть собственными значениями, являющимися полиномами от компонент веса. Важными свойствами операторов Казимира являются наличие для любой полупростой алгебры Ли ранга г ровно г независимых операторов Казимира и однозначность определения неприводимого представления их собственными значениями. В случае классических серий ввиду наличия матричной реализации соответствующие расчеты можно провести в тензорном базисе Картана — Вейля, тогда как для особых картановских эта возможность исключается. [c.84]

Pi = iaj — 42ai, —00 < СГ/< 00, Gj = af для основной непрерывной серии) и. /Г((Т, I) связано с преобразованием гамильтониана к самосопряженному относительно стандартного скалярного произведения в пространстве рассматриваемого представления виду, отвечающему физическому гамильтониану модели. Именно благодаря их наличию последний имеет правильный спектр. Состояния рассеяния реализуются в асимптотической области (a(t)-i- xD) положительной камеры Вейля (все а(т)>0), так как в ней отсутствует взаимодействие между частицами системы. [c.231]

Теорема ([279]). Пусть < —конечная подгруппа в 802, ц — ее естественное двумерное представление. Тогда соответствующий ему граф Г является пополненным графом Дынкина соответствующей группы Вейля, ее матрица Картана С=2Е—М, собственные значения матрицы Картана являются значениями характера представления / . [c.141]

Эти соотношения говорят о том, что состояние ф нормировано к 1, что оно эрмитово и что оно положительно. В качестве иллюстра1щи (которая понадобится нам в последующем) отметим, что в представлении алгебры Вейля в пространстве Фока функционал ф (/, g), полученный из вакуума, имеет вид [c.124]

Введение. Сначала мы рассмотрим различные формулировки канонических перестановочных соотношений для систем с конечным числом степеней свободы и проанализируем физический смысл формы Вейля КПС, Мы приведем теорему фон Неймана, но доказательство ее будет дано позже в этом же параграфе. Затем мы дадим определение общей С -алгебры канонических перестановочных соотношений. При этом мы введем математическое понятие С -индуктивного предела С -алгебр, которое будет играть главную роль в следующей главе. Пользуясь конструкцией ГНС, мы докажем теорему относительно общей структуры представлений этой алгебры и как частный случай докажем теорему фон Неймана. Каждую из двух частей теоремы Хаага мы подробно рассмотрим в отдельности. Затем, построив некоторые специальные представления, мы проиллюстрируем теорему об общей структуре представлений КПС. Кроме того, будут сделаны некоторые замечания относительно выбора пространства пробных функций, ассоциировано-ного с данным представлением. В заключение мы укажем пределы применимости некоторых представлений, которые использовались в качестве примеров. [c.290]

Мы начнем с формулировки представления Вейля, охватывающей любое (конечное или бесконечное) число степеней свободы. Затем, следуя Кастлеру и его ученикам [219, 254, 268, 269] 2), определим С -алгебру, которая является носителем некоторых основных свойств представления Вейля. В заключение в качестве элементарного примера мы рассмотрим доказа- [c.300]

Назовем Ж) представлением Вейля канонических пере становочных соотношений для пространства пробных функций если [c.301]

Здесь можно задать один естественный и на первый взгляд невинный вопрос если задано пространство S, то как найти все классы унитарной эквивалентности представлений Вейля, удовлетворяющих условиям I — III В тех случаях, когда пространство S конечномерно, условие II оказывается излищним, а условие III становится несущественным, как показывается на эвристическом, но с физической точки зрения разумном основании в конце п. 3. Следовательно, в этом случае остается в силе лищь условие 1, и ответ на интересующий нас вопрос дается теоремой фон Неймана (сформулированной в п. 1 для одномерного случая как теорема 6 и доказываемой в конце данного пункта). В тех случаях, когда пространство S бесконечномерно, необходима известная осторожность. Принято считать, что в этом случае существует бесконечно много неэквивалентных представлений, которые в различных ситуациях могут оказаться полезными для физических приложений. Поэтому, прежде чем пытаться составить хоть какое-нибудь представление об этом случае, нам необходимо запастись стерильным инструментом. Первый щаг в этом направлении состоит в построении надлежащей С -алгебры, отвечающей всем требованиям условия I. [c.303]

Чтобы получить представление о том, какой должна быть норма на Д ( с) для того, чтобы нормированная -алгебра Л (< с) превратилась в С -алгебру, установим прежде всего связь между А( Гс) и формой Вейля канонических перестано вочных соотнощений, Для каждой функции /е Гсобра ем [c.304]

В качестве примера применения этой теоремы приведем краткое доказательство теоремы единственности фон Неймана. Для удобства в обозначениях будем рассматривать простейщий случай системы одной степени свободы. Тогда пространство f одномерно, т. е. S = и f = z = x + it/, условие II становится лищним, а условием III можно пренебречь. Для построения любого неприводимого представления 2Взс(С) перестановочных соотнощений в форме Вейля используется единственная нормированная мера [c.309]

А ехр (— I г р/4 для каждого 2 е С и, таким образом, заключить, что л 0. Подставляя 2 = О в полученный выше результат, находим, что А — ненулевой оператор проектирования. Следовательно, в Ж существует по крайней мере один нормированный вектор Ф, такой, что ЛФ = Ф. Так как по предположению 28зс (С) — неприводимое представление, вектор Ф циклический (см. лемму к теореме 7). Для этого вектора образуем отображение ф ) = (Ф, W г) Ф) = (Ф, АШ (г) ЛФ) = = (Ф, ЛФ) ехр —I 2 Р/4 == ехр —12 р/4 . Заметим, что в представлении Шредингера в пространстве 2" (К) для всех e2 (R) справедливо равенство (и (г) )( ) = ехр —/ ( — х)/2 Р( — л ). Вычисляя ф (г) = (Ф, (г) Ф) для вакуумного вектора Ф( ) = = Я" / ехр — 1 /2 , получаем ф (г) = ехр — 2 р/4 . На основании теоремы 7 мы заключаем, что всякое неприводимое представление канонических перестановочных соотношений в форме Вейля для системы с одной степенью свободы унитарно-эквивалентно представлению Шредингера. Если бы исходное представление не было неприводимым, то всякое подпространство гильбертова пространства Ж, натянутое на векторы (1 (г) Ф 2 е С , где Ф удовлетворяет соотношению ЛФ = Ф, было бы устойчиво относительно рассматриваемого представления и, следовательно, могло бы служить носителем для неприводимого представления, унитарно-эквивалентного представлению Шредингера. Рассматривая эту конструкцию для ортонормированного базиса Ф/ в подпространстве гильбертова пространства Ж, образованном всеми векторами, устойчивыми относительно действия оператора Л, мы получаем полное доказательство теоремы 6. Действительно, обобщение на случай л(<оо) степеней свободы тривиально, поскольку для получения его достаточно заменить меру ёц г) в начале доказательства теоремы гауссовой мерой = которая, кстати сказать, является [c.310]

Доказательство. В силу теоремы 7 представление Вейля унитарно-эквивалентно представлению ЗВф(< с), где Ф (/) = (Ф. (f) Ф). По лемме на стр. 306 представление 2Вф( с) допускает каноническое расширение до представления Лф С -алгебры А( с), где ф — естественное расширение состояния ф с Шзс с) на Д( с). Очевидно, что состояние ф О-ин-вариантно и является т1-кластером. На основании теоремы 8 из гл. 2, 2 можно заключить, что ф — единственный О-инва-рнантный вектор состояния на циклическом представлении я(Д(< с)). Но рассмотрим теперь замкнутое подпространство натянутое на множество Очевидно, что Жа устой- [c.318]

Рассмотрим теперь следующее применение этой леммы, ведущее непосредственно к части II теоремы Хаага. Пусть Я/ (3I) — два представления Вейля КПС для пространства пробных функций S, G — группа унитарных преобразований пространства функций If , удовлетворяющих всем перечисленным выше предположениям. Обозначим через Я/ генератор эволюции во времени U [t) = iH t) VieR. Поскольку при всех / е R справедливо соотношение U (t) Ф/ = Ф, мы имеем Я/Фу = 0. Предположим далее, что Н ) 2) и Нs 3) (относительно определения области /см. условие II на стр. 302). Крэме того, сформулируем основное допущение канонического [c.321]

Рассмотрим теперь один пример, который понадобится нам, когда речь пойдет о представлениях Вейля КПС. Пусть Ж — сепарабельное вещественное гильбертово пространство, (где г — множество всех неотрицательных целых чисел) — ортонормированный базис в Ж, а Ж — многообразие, совпадающее с линейной оболочкой множества еу , т. е. множество всех конечных линейных комбинаций (с действительными коэффициентами) ортов б/. Введем естественную комплексификацию Же пространства Ж. Например, если < = S (R), то в качестве базиса е мы могли бы выбрать множество собственных функций [c.325]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...