Уравнение Гамильтона-Якоби в обобщенных координатах

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. В координатном пространстве в каждый момент нас интересует положение лишь одной движущейся в нем точки—она определяется мгновенными значениями обобщенных координат рассматриваемой системы. Между тем полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби в каждый момент определяет функцию S, заданную во всем координатном пространстве и имеющую вполне определенное значение в каждой точке этого пространства. В связи с тем, что функция S зависит также и от времени, можно представить себе ее как некоторую поверхность, заданную в координатном пространстве и непрерывно деформирующуюся (или движущуюся). Каким же образом задание функции, определенной на всем пространстве и изменяющейся во времени, может определить движение той единственной точки, которая интересует нас Как связано движение этой точки с деформирующейся поверхностью [c.324]

Указанное видоизменение метода Гамильтона — Якоби, кроме содержащихся в нем возможностей упрощения уравнения Гамильтона — Якоби в форме (3), обладает еще и тем преимуществом, что позволяет непосредственно, сразу получить обобщенные координаты 71, 72,..., qn рассматриваемой системы. [c.62]

Случай одной степени свободы. Продолжим начатое в п. п. 177-179 изучение некоторых вопросов, связанных с интегрированием консервативных и обобщенно консервативных систем. Будем изучать системы, движения которых обладают описанным ниже свойством периодичности. Для таких систем Делонэ предложил специальный выбор постоянных импульсов а (г = 1, 2,..., п) в характеристической функции Гамильтона п. 178. Эти новые импульсы представляют собой п независимых функций от набора величин появляющихся при нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Они называются действиями (точные определения см. далее) и ниже чаще всего будут обозначаться /. Канонически сопряженные к ним координаты wi называются угловыми переменными. Переменные действие-угол wi весьма удобны для описания движений, обладающих свойством периодичности. Они находят широкое применение в теории возмущений. [c.371]

Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби можно найти в некоторых случаях для функции Гамильтона специального вида, допускающего разделение переменных, т. е. представление полного интеграла как суммы функций, зависящих каждая лишь от одной из обобщенных координат. [c.541]

Полным интегралом уравнения (37.1) называют такое его решение, которое содержит столько же независимых произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных в этом уравнении. В уравнении Гамильтона — Якоби такими переменными являются обобщенные координаты да и время t. Поэтому полный интеграл указанного уравнения должен содержать s + 1 произвольную постоянную, если рассматриваемая система имеет s степеней свободы. При этом одна из указанных постоянных входит в полный интеграл уравнения (37.1) аддитивным образом, так как неизвестная функция действия S (д, t) входит в уравнение (37.1) только через свои производные. [c.207]

Бели бы в качестве обобщенных координат использовались XI и х , чтб в этой проблеме, вообще говоря, более предпочтительно, то решение образуется следующим образом. Дифференциальное уравнение Гамильтона —Якоби примет вид [c.555]

Уравнение Гамильтона—Якоби, конечно, имеет вид (7.6). Роль независимых переменных х играют обобщенные координаты и время. Специфика уравнения Гамильтона—Якоби заключается в том, что оно не содержит явно искомой функции г. [c.77]

Будем рассматривать обобщенно-консервативные системы, т. е. такие системы, у которых функция Гамильтона не зависит явно от времени и, следовательно, существует обобщенный (или обычный) интеграл энергии ). Кроме того, предположим, что существует хотя бы одна система обобщенных координат, при которой переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются. Относительно движения самой системы материальных точек и тел предположим, что оно условно-периодическое. Это означает, что при финитном изменении координат каждая пара канонически сопряженных переменных 9 -, изменяется периодически с одним и тем же периодом, следовательно, траектория изображающей точки в каждой плоскости ( 1, р1) будет замкнутой кривой. И если [c.348]

Принцип Мопертюи-Лагранжа. При заданной константе энергии h уравнения движения консервативной или обобщенно консервативной системы могут быть записаны в форме уравнений Якоби (см. уравнения (36) п. 152). Эти уравнения имеют форму уравнений Лагранжа второго рода, где в качестве функции Лагранжа L выступает функция Якоби Р, а роль независимой переменной играет обобщенная координата qi. По аналогии с действием S по Гамильтону введем действие по Лагранжу [c.483]

Использование обобщенных координат — одно из преимуществ формализма Гамильтона—Якоби. Что же касается уравнений Лагранжа, то их особенное преимущество состоит в том, что все вычисления сводятся к составлению выражения для кинетической энергии, выраженной в функции /, д,д, а к простым дифференцированиям. При рассмотрении принципа Гамильтона надо допустить, что систему можно заставить перейти от того же начального к тому же конечному положению, что и в действительном движении, с помощью некоторого фиктивного движения (бесконечно мало отличающегося от действительного), не заботясь о том, чтобы удовлетворялись уравнения динамики, но сохраняя связи. Интеграл Гамильтона может обратиться в нуль для всех вариаций, совместимых со связями, лишь в том случае, если сумма под знаком интеграла постоянно равна нулю. В противном случае, изменяя знаки всех 3 одновременно, можно выбрать их так, чтобы сумма под знаком интеграла была все время положительна, а следовательно, интеграл не был бы равен нулю. При 17 = 0 из принципа Г амильтона получим [c.868]

В уравнении Гамильтона переменными, которые определяют движение механической системы, являются обобщенные координаты q и обобщенные моменты р. Гамильтонова функция W(p, q), которая входит в гамильтоновы уравнения, обычно является функцией обеих этих переменных. Если мы преобразуем переменные q и р в новые переменные q и р посредством какого-либо произвольного преобразования, общая форма гамильтоновых уравнений изменится. Однако Якоби показал, что существует некоторое преобразование, отличающееся тем свойством, что оно оставляет форму этих уравнений неизменной. Так как уравнения Гамильтона часто называются каноническими уравнениями динамики, то указанным преобразованиям было дано наименование канонических преобразований. Канонические преобразования представляют собой специальный случай касательного преобразования. Касательное преобразование в трехмерном пространстве определяется так [c.915]

Случай Ковалевской является исторически первым случаем, в котором разделение переменных не может быть получено методом Гамильтона-Якоби, т.е. разделяющие переменные не находятся на конфигурационном пространстве. В этом случае, однако, имеется нетривиальное преобразование фазовых переменных, включающее как обобщенные координаты, так и импульсы, приводящие к уравнениям Абеля-Якоби и к разделяющимся переменным на плоскости. Возникающая при этом интегрируемая система. [c.307]

Присоединение временной координаты x к обобщенным координатам X ( =1, 2, 3), частицы существенно изменяет смысл вариационного принципа, из которого вытекают уравнения (2.133), так как теперь время, как и позиционные координаты, варьируется. Иначе говоря, вместо принципа Гамильтона — Остроградского применяется принцип Эйлера — Лагранжа [40]. Все координаты Ц=Ь 2, 3, 4) следует рассматривать как функции параметра 5, который не варьируется. Соответственно этому функция W вытекает из механического действия в форме Эйлера или Якоби и ее нельзя назвать главной функцией Гамильтона. Эта функция зависит от х и поэтому не является характеристической функцией Якоби [40]. Уравнение (2.134) аналогично уравнению Якоби, хотя содержит время как параметр. Чтобы в этом убедиться, заметим, что частные производ- [c.62]

Уравнение (154) и является уравнением Гамильтона — Якоби для консервативных (Я = —энергия системы) или обобщенно консервативных (Я — обобщенная энергия) систем. Таким образом, чтобы составить уравнение Гамильтона — Якоби для консервативной (обобщенно консервативной) системы, нужно просто записать закон сохранения энергии (обобщенной энергии) и в выражении энергии заменить все импульсы часинлми производными искомой функции V по соответствующим координатам. [c.333]

Первые п уравнений определяют обобщенные координаты г/ как функции t и 2п произвольных постоянных а , Подставляя г/А=г/й( > . п. Pi. > Р ) во вторую группу уравнений (41), находим обобщенные имнульсы как функции t ш 2п произвольных постоянных ttft, Pfe. Якоби разработал и алгоритм решения обратной задачи [7, 165] по известному общел1у решению канонической системы (1) можно построить полный интеграл S t у и. .., Уп, tti,. .., а ) уравнения Гамильтона — Якоби (38). Из теоремы Гамильтона — Якоби вытекает, что асимптотические методы решения канонических систем (1) и уравнения (38) эквивалентны с точки зрения полноты и точности их решения. Поэтому их применение в конкретных задачах в большой степени определяется привычкой и желанием исследователя. [c.201]

Успех Б решении указанных задач механики и геометрии объясняется возможностью разделения переменных в уравнении в частных производных (33) при введении эллиптических координат. Следует сказать, что функция S определяется в простом виде в том случае, когда возможно ввести та-1сую систему обобщенных координат, которая позволила бы разделить переменные в уравнениях Гамильтона — Якоби. [c.20]

Как мы видели, движение механичесжнх систем можно описать с помощью различных дифференциальных уравнений уравнений Ньютона, уравнений Лагранжа с реакциями связей, уравнений Лагранжа в обобщенных координатах, канонических уравнений Гамильтона и уравнения Гамильтона — Якоби. [c.449]

Если в качестве обобщенных координат выбрать координаты центра масс хс = х,ус = у три эйлеровых углаф, 0, то полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби равен [c.380]

Очевидно, что возможность интегрирования уравнения Гамильтона—Якоби целиком определяется аналитической структурой коэффициентов ац яиЯ2.....Яь), Ьг(Яи Я2,. .., Як) и силовой функции и. Это побудило Т. Леви-Чивита [111] вывести необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнения (10.2.13), чтобы оно было интегрируемым методом разделения переменных. Для случая трех степеней свободы (например, для пространственной ограниченной задачи трех тел) эти условия выписаны и исследованы Ф. Даль-Аква [112]. В 1911 г. П. Бургатти [113] выписал функциональные зависимости импульсов от координат, приводящие к интегрированию уравнения Гамильтона — Якоби. Н. Д. Моисеев [114] и В. Г. Демин [87] указали на два обобщения уравнений Лиувилля и Штеккеля, также интегрируемые методом разделения переменных. [c.816]

Что касается нахождения самого полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби, то в ряде случаев он может быть получен методом разделения переменных. Большую роль в методе разделения переменных играет выбор обобщенных координат. Например, в задаче о движении частицы в центрально-симметрическом поле возможно разделение переменных в полярных координатах, но невозможно в декартовых координатах. Случается, что для одной и той же задачи разделение переменных в уравнении (37.1) допускается несколькими системалт обобщенных координат. Однако для многих практически важных задач (например, задачи трех тел) такое [c.208]

Представление координат в проблеме Делоне как функций времени оказывается вообще достаточно простым при использовании дифференциального уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби. В качестве обобщенных координат в зависимости от обстоятельств можно использовать либо и у , либо х и Жд. В предыдущем случае необходимо рассмотреть ди ерен-циальное уравнение [c.554]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...