Якоби-Гамильтона уравнение для главной функции

Дифференциальное уравнение Якоби-Гамильтона для главной функции в частных производных. Из выражении (42.4) для W вытекает следующее значение полной производной по времени от этой функции [c.450]

Было показано, что при известном законе движения материальной системы можно построить функцию W. Теперь поставим обратную задачу, найдя функцию W без предварительного определения закона движения, найти закон движения материальной системы. Для этого докажем, что главная функция Гамильтона удовлетворяет уравнению (11.350) с частными производными первого порядка, т. е. уравнению Остроградского — Гамильтона — Якоби. Ради краткости это уравнение далее будем называть уравнением Остроградского. [c.371]

Из равенств (17) и (18) следует, что главная функция Гамильтона удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби [c.158]

Полученное уравнение носит название уравнения Гамильтона— Якоби. Оно является дифференциальным уравнением в частных производных и определяет зависимость искомой производящей функции от ( 1.....qn, t. Решение уравнения (9.3) обычно обозначают через 5 и называют главной функцией Гамильтона. [c.302]

Таким образом, главная функция Гамильтона осуществляет переход к постоянным координатам р и постоянным импульсам а. Решая уравнение Гамильтона — Якоби, мы в то же время получаем решение рассматриваемой механической задачи. Говоря на математическом языке, мы установили соответствие между 2п каноническими уравнениями движения, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и уравнением Гамильтона — Якоби, которое является уравнением первого порядка в частных производных. Такое соответствие имеет место не только для уравнений Гамильтона известно, что каждому уравнению первого порядка в частных производных соответствует определенная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В данном случае эта связь между рассматриваемым уравнением в частных производных и соответствующими каноническими уравнениями может быть объяснена происхождением этих уравнений от общего вариационного принципа — модифицированного принципа Гамильтона. [c.304]

Эта схема интегрирования Г амильтона была упрощена и улучшена Якоби. Главная функция Гамильтона должна удовлетворять сразу двум уравнениям в частных производных. Решение этой задачи практически невозможно без более широкой схемы интегрирования, предложенной Якоби. Производящая функция S зависящего от времени канонического преобразования определяет все движение фазовой жидкости, удовлетворяя лишь одному уравнению в частных производных [c.262]

Роль дифференциального уравнения в частных производных в теориях Гамильтона и Якоби. В предыдущей главе (гл. VII, п. 9) отмечалось, что впервые в аналитической механике фундаментальное уравнение в частных производных открыл Гамильтон. Он также первый выдвинул идею о фундаментальной функции, из которой можно было бы получить при помощи простых дифференцирований и исключения переменных все механические траектории. Однако первоначальная схема Гамильтона была практически неприменима. Более того, главная функция Гамильтона удовлетворяла двум уравнениям в частных производных. Второе уравнение с точки зрения теории интегрирования является ненужным усложнением. С другой стороны, в теории Якоби требуется найти лишь один полный интеграл основного дифференциального уравнения. В случае систем с разделяющимися переменными такой интеграл может быть найден. Поэтому при поверхностном подходе создается впечатление, что Якоби освободил теорию Гамильтона от ненужного усложнения, приведя ее к схеме, применимой на практике, [c.291]

Это действительно так, если считать, что основная задача механики состоит лишь в интегрировании уравнений движения. Но такая ограниченная точка зрения была бы несправедливостью по отношению к далеко идущим исследованиям Гамильтона. Пользоваться непосредственно главной функцией Гамильтона действительно нельзя, и приходится прибегать к методу Якоби, но тем не менее главная функция Гамильтона остается важной и интересной функцией и служит гораздо более глубоким целям, чем простое интегрирование канонических уравнений. Поэтому сравнение tt -функции Гамильтона с S-функцией Якоби заслуживает того, чтобы на нем остановиться. Постигнув все тонкости теории Гамильтона, мы придем к заключению, что в теории Гамильтона два уравнения в частных производных столь же необходимы и естественны, как одно уравнение в теории Якоби. [c.292]

Таким образом, мы пришли к следуюш,ей схеме, позволяющей получить главную функцию Гамильтона из полного интеграла 5 qn, t, а ) уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби. [c.301]

Существует, как известно, множество полных интегралов уравнений в частных производных, и нет гарантии, что найденный нами полный интеграл дифференциального уравнения Гамильтона будет представлять искомую главную функцию. Но тогда возникает вопрос может ли любой полный интеграл быть полезен для наших целей Ответ на этот вопрос оказывается утвердительным, и это обстоятельство составляет сущность теоремы Гамильтона — Якоби. [c.284]

Однородное поле. Рассмотрим теперь приложения теоремы Гамильтона — Якоби к решению конкретных задач. Начнем с исследования трех простых примеров, для которых в 15.9 мы нашли явный вид главной функции. Эта функция сама представляет полный интеграл уравнения Гамильтона в частных производных, но те полные интегралы, которые мы получим для каждого из рассматриваемых случаев, фактически не будут главными функциями. [c.291]

Гамильтонова двухточечная характеристическая НЛП главная функция ). Уравнение Гамильтона — Якоби. [c.235]

Пример 3. Развитие теории через непредикативные отношения даёт история обоснования уравнений Гамильтона-Якоби. Первоначально было показано, что уравнению Гамильтона-Якоби удовлетворяет главная функция Гамильтона W), которая позволяет получить конечные уравнения движения. [c.219]

Непосредственным вычислением убедиться, что главные функции Гамильтона, полученные в задачах 24.102-24.105, являются полными интегралами соответствующих уравнений Гамильтона-Якоби. [c.272]

Присоединение временной координаты x к обобщенным координатам X ( =1, 2, 3), частицы существенно изменяет смысл вариационного принципа, из которого вытекают уравнения (2.133), так как теперь время, как и позиционные координаты, варьируется. Иначе говоря, вместо принципа Гамильтона — Остроградского применяется принцип Эйлера — Лагранжа [40]. Все координаты Ц=Ь 2, 3, 4) следует рассматривать как функции параметра 5, который не варьируется. Соответственно этому функция W вытекает из механического действия в форме Эйлера или Якоби и ее нельзя назвать главной функцией Гамильтона. Эта функция зависит от х и поэтому не является характеристической функцией Якоби [40]. Уравнение (2.134) аналогично уравнению Якоби, хотя содержит время как параметр. Чтобы в этом убедиться, заметим, что частные производ- [c.62]

В качестве примера полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби рассмотрим так называемую главную функцию Гамильтона. Для этого вернемся к формуле (7) на стр. 115 и к рис. 33 на стр. 116. Рассмотрим только частный случай, когда ( ) = onst = т. е. примем, что контур Со состоит из начальных состояний системы при t = Кроме того, вместо q, р, будем писать просто t, q , pi, Н. Тогда, если W—действие вдоль прямого пути (т. е. вдоль [c.157]

Резюме. Хотя главная функция Гамильтона содержит лишнюю константу, она может быть получена из полного решения уравнения теории Якоби с по-мош,ью дис ференцирования и необходимых исключений. [c.302]

Гамильтон считал, что главная функция S должна удовлетворять двум уравнениям в частных производных первого порядка (17) и (18). Это обстоятельство уменьшало, видимо, возможности применения метода к частным задачам механики, Якоби показал, что необходимость соблюдения уравнения (18) совершенно излипшя чтобы иметь возможность проинтегрировать уравнения движения по формулам (16), достаточно найти интеграл лишь одного уравнения (17), содержащий надлежаш ее число параметров. Вместе с тем Якоби показал, что этими параметрами могут и не быть начальные значения координат q. Это существенное улучшение результатов Гамильтона имеет особое значение для применения рассматриваемого метода интегрирования канонических уравнений. [c.20]

Однако в результате возникает порочный круг для написания конечных уравнений движения (закона движения) нужна функция ] , а для составления этой функции нужно знать конечные уравнения движения. Определение полного интеграла в виде главной функции Гамильтона для нахождения закона движения непредикативно по отношению к решению с заданными начальными условиями, которое находится с помощью полного интеграла в виде главной функции Гамильтона. Этот порочный круг разорвал Якоби, показавший, что конечные уравнения могут быть написаны при помощи произвольного полного интеграла 5 уравнения Гамильтона-Якоби (приём расширения множества, в которое включено одно из понятий, участвовавших в непредикативном определении). [c.220]

Как следует из (29.24), (29.25), определений 31.1, 31.2, нолуглав-ная функция Гамильтона Vтакже как и главная функция Гамильтона W t,q,q ) является полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби. [c.166]

Полными интегралами уравнения Гамильтона-Якоби являются главная и полуглавная функции Гамильтона с отождествлением = а для главной функции, = а — для полуглавной (см. определения [c.176]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...