Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби

На этом простом примере можно ясно видеть мощность и изящество метода Гамильтона — Якоби, позволившего нам быстро получить уравнение орбиты и зависимость г от t, что раньше требовало больших выкладок. Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби не ограничивается, конечно, тем случаем, когда лишь одна координата является нециклической. Если, например, гамильтониан рассмотренной сейчас точки написать в сферических координатах, то из трех координат циклической будет лишь одна — угол ф. Однако уравнение Гамильтона — Якоби будет и в этом случае допускать разделение переменных (см. 9.7). [c.316]

Как показано ниже, теория переменных действие — угол зависит от разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби. Пространство QP должно иметь евклидову топологию, одна или более разделяющихся переменных может быть циклической (как, например, азимутальный угол) ). Однако наличие циклических координат не является существенной чертой теории, просто они делают обсуждение несколько более сложным. Поэтому будем предполагать, что таких координат нет существенные изменения, вызванные их наличием, будут отмечаться там, где это необходимо. [c.348]

Решение релятивистской проблемы Кеплера может быть получено такн№ методом разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби i). При переходе к полярным координатам г, ф) уравнение (115.5) преобразуется к следующему [c.420]

В ряде случаев гамильтониан системы обладает свойствами, которые приводят к разделению переменных в уравнении Гамильтона — Якоби. [c.407]

При наличии циклических координат также имеет место разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби. В самом деле, если 5—т независимых координат являются циклическими, то уравнение (9.71) принимает вид [c.408]

Разделение переменных (31.14) в уравнении Гамильтона-Якоби (31.8) приведут к аналогичному (31.16) уравнению [c.179]

Разделение переменных — в той или иной форме — в уравнении Гамильтона-Якоби не является универсальным методом нахождения движения, но, как показывают примеры 31.6, 31.8, заслуживает внимания, хотя бы за то, что обслуживает достаточно обширные классы систем. [c.185]

Решение задач методом Гамильтона — Якоби опирается на разделение переменных в левой части уравнения Гамильтона —Якоби, что позволяет записать полный интеграл при помощи квадратур. Якоби, решая задачу о движении планеты вокруг Солнца (задачу Кеплера), ввел сферические координаты и применил метод разбиения уравнений в частных производных на несколько уравнений, каждое из которых содержит только одну независимую переменную и производную искомого полного интеграла по этой переменной ([38], двадцать четвертая лекция). Далее Якоби распространил метод разбиения на любое число переменных. Вслед за Якоби методы разделения переменных развивали многие авторы, с чем можно познакомиться в [19], т. II, ч. 2, [37]. Однако метод разбиения Якоби является и до настоящего времени основным для интегрирования уравнений в частных производных первого порядка. [c.331]

В заключение параграфа отметим, что все рассматривавшиеся ранее возможности интегрирования уравнений движения, основанные на использовании циклических координат, охватываются методом разделения переменных. К ним добавляются еще случаи, когда разделение переменных возможно, хотя координаты и не оказываются циклическими. Тем самым метод Гамильтона-Якоби представляет собой наиболее эффективный метод аналитического интегрирования уравнений движения. [c.656]

Здесь мы познакомим читателя с методом разделения переменных для нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби. Этот метод применяется в тех случаях, когда функция Гамильтона Н обобщенно-консервативной системы имеет специальную структуру. [c.162]

Частичное разделение переменных уже применялось нами при решении уравнения Гамильтона — Якоби в случае, когда Н не является явной функцией t. В этом случае мы искали S в виде [c.313]

Решение уравнения в частных производных методом разделения переменных. У нас нет какого-либо общего метода решения уравнений в частных производных. Однако при некоторых особых условиях оказывается возможным найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Этот специальный класс задач сыграл важную роль в развитии, теоретической физики, так как оказалось, что ряд основных задач теории атома Бора принадлежит к этому классу. В таких задачах одно уравнение в частных производных с п переменными может быть заменено п обыкновенными дифференциальными уравнениями с одной независимой переменной, которые полностью интегрируются. Такие задачи называются задачами с разделяющимися переменными . [c.275]

Резюме. При благоприятных обстоятельствах дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби непосредственно интегрируется в квадратурах. Это происходит в том случае, когда уравнение для энергии распадается на п уравнений, каждое из которых содержит лишь одну пару сопряженных переменных <7/г, pk. При этом функция S может быть записана в виде суммы п функций, каждая из которых зависит лишь от одной из переменных Константы интегрирования появляются в процессе разделения переменных. [c.279]

Наиболее замечательными случаями, в которых действительно удается указать такой полный интеграл, являются те, к которым приложим метод разделения переменных. Этим мы хотим сказать, что при характеристической функции, не зависящей от t, уравнению Гамильтона — Якоби (п. 38) [c.339]

Разделение переменных. Известны замечательные случаи, когда полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби (7) может быть найден при помощи разделения переменных. Метод разделения переменных состоит в том, что решение уравнения (7) ищется в виде суммы функций, каждая из которых зависит только от одной из переменных 1,..., Qn и времени (и, конечно, произвольных постоянных) [c.363]

Мы рассмотрели весьма частные случаи, когда специальная структура функции Гамильтона позволяет дать общий конструктивный способ построения общего интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Следует, однако, отметить, что указанные способы разделения переменных применимы к таким важным задачам механики, как задача о гармоническом осцилляторе, задача о движении физического маятника, задача двух тел, задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Лагранжа и др. [c.365]

Первый шаг к решению этой проблемы был сделан Эпштейном ) в 1916 г. в работе об эффекте Штарка. Эпштейн заимствовал из астрономии метод, много раз прилагавшийся для решения уравнения Гамильтона— Якоби и известный под названием разделения переменных . Этот метод ведет прямо к определению энергетического уровня без промежуточных вычислений орбит. Другой подход к проблеме был независимо от Эпштейна в том же году разработан Шварцшильдом ) на основании теории условно- [c.859]

Пусть гамильтониан ) Н q, р) таков, что уравнение Гамильтона — Якоби допускает разделение переменных ( 78). Поэтому мы замечаем, что в 27У-мерном пространстве переменных (q, р ) дифференциальное уравнение в частных производных [c.348]

В предыдущем параграфе мы убедились в том, что вполне возможно выбрать совокупность канонически сопряженных переменных, соблюдая следующие требования а) гамильтониан системы является функцией только половины переменных, и б) для периодических систем, уравнение Гамильтона — Якоби которых может быть решено методом разделения переменных, можно выбрать угловые переменные таким образом, что они изменяются за период на единицу. Причины, по которым вводятся переменные такого вида, что гамильтониан зависит лишь от половины из них, более или менее очевидны, но причины введения переменных действие — угол значительно хитрее. II действительно, эти переменные оказались на авансцене лишь с возникновением старой квантовой механики, и причина возникшего к ним интереса была связана с тем, что переменные действия оказались так называемыми адиабатическими инвариантами. Мы определим [c.172]

Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби можно найти в некоторых случаях для функции Гамильтона специального вида, допускающего разделение переменных, т. е. представление полного интеграла как суммы функций, зависящих каждая лишь от одной из обобщенных координат. [c.541]

В задачах 24.32-24.35 система задается своим гамильтонианом Я(q, р, t). Подвергнуть систему такому каноническому преобразованию, чтобы в новых переменных полный интеграл соответствуюш его уравнения Гамильтона-Якоби можно было найти методом разделения переменных. Пайти этот полный интеграл и закон движения q t), p t) в исходных переменных. [c.264]

Исторический комментарий. Для уравнений динамики в форме (2.10), (2.11) Н. Г. Четаев [181] также развивал теорию интегрирования, аналогичную методу Гамильтона-Якоби. Однако, если в каноническом случае успех в разделении переменных связан с особо замечательными системами координат на конфигурационном пространстве (типа эллиптических или сфероконических), то для алгебраической формы записи (2.10), (2.11) таким путем удается исследовать только тривиальные симметрии (имеющиеся, например, в случае Лагранжа (см. гл. 2)). [c.36]

Явное решение гамильтоновых уравнений в канонической форме в большинстве случаев может быть получено с помощью метода разделения переменных [183]. В этом случае задача интегрирования для п-сте-пенной гамильтоновой системы сводится к отысканию решения уравнения Гамильтона-Якоби в частных производных [c.77]

Случай Ковалевской является исторически первым случаем, в котором разделение переменных не может быть получено методом Гамильтона-Якоби, т.е. разделяющие переменные не находятся на конфигурационном пространстве. В этом случае, однако, имеется нетривиальное преобразование фазовых переменных, включающее как обобщенные координаты, так и импульсы, приводящие к уравнениям Абеля-Якоби и к разделяющимся переменным на плоскости. Возникающая при этом интегрируемая система. [c.307]

Однако уравнение (9.83) не удается решить непосредственно, вследствие чего применить метод Гамильтона — Якоби к системе (9.11) прямо оказывается невозможным. Причина этого обстоятельства заключается в том, что единственным эффективным способом решения уравнений типа (9.83) является метод разделения переменных, который здесь неприменим, так как функцию [c.463]

Как и в задаче Штерна, уравнения движения с силовой функцией, определяемой формулой (6.3.06), интегрируются методом Гамильтона — Якоби путем разделения переменных. [c.579]

Полезность уравнения Гамильтона-Якоби заключается в том, что один из его полных интегралов часто удается найти без громоздких вычислений и без применения общей теории интегрирования уравнений в частных производных. Один из приемов нахождения полных интегралов заключается в методе разделения переменных вместо функции 3(t,q,a) многих переменных отыскивается комбинация функций, каждая из которых является функцией одной переменной. Наиболее популярной является аддитивная комбинация [c.176]

Теорема 13 установлена Якоби в 1837 г. Следует заметить, что обратная теорема о том, что решение уравнения с частными производными типа Гамильтона приводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (дифференциальных уравнений характеристик), имеющей в рассматриваемом случае форму Гамильтона, высказана Пфаффом и Коши в развитие еще более ранних исследований Лагранжа и Монжа, еще до того как Гамильтон и Якоби начали заниматься вопросами динамики (Э. Уиттекер [57]). Наиболее эффективный прямой метод решения уравнения Гамильтона— Якоби — это метод разделения переменных полный интеграл есть сумма слагаемых, каждое из которых зависит только от одной из переменных Ж1,. .., ж , I. [c.77]

Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби. Из содержания предыдущего параграфа может показаться, что метод Гамильтона — Якоби не имеет практических преимуществ, так как вместо решения 2п обыкновенных дифференциальных уравнений он требует решения дифферециального уравнения в частных производных, что, как известно, сложнее. Однако при некоторых условиях переменные уравнения Гамильтона — Якоби можно разделить, и тогда решение задачи удается свести к квадратурам. Именно в этом случае метод Гамильтона — Якоби становится полезным в практическом отношении. [c.312]

Мы об[1ащаем внимание на то, что разделение переменных в уравнении Гамильтона —Якоби производится представлением S в виде суммы членов, каждый из которых содержит лишь одну координату q , тогда как в случае уравнения Шредингера разделение переменных осуществляется через запись волновой функции в виде произведения членов такого типа. Это, конечно, есть следствие соотношения (6.113) между волновой функцией и функцией Гамильтона — Якоби. Упомянем здесь также и то, что если для данной физической системы уравнение Гамильтона —Якоби может быть решено при некотором выборе координат, то при том же выборе координат можно провести разделение переменных и в уравнении Шредингера. [c.158]

Успех Б решении указанных задач механики и геометрии объясняется возможностью разделения переменных в уравнении в частных производных (33) при введении эллиптических координат. Следует сказать, что функция S определяется в простом виде в том случае, когда возможно ввести та-1сую систему обобщенных координат, которая позволила бы разделить переменные в уравнениях Гамильтона — Якоби. [c.20]

Что касается нахождения самого полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби, то в ряде случаев он может быть получен методом разделения переменных. Большую роль в методе разделения переменных играет выбор обобщенных координат. Например, в задаче о движении частицы в центрально-симметрическом поле возможно разделение переменных в полярных координатах, но невозможно в декартовых координатах. Случается, что для одной и той же задачи разделение переменных в уравнении (37.1) допускается несколькими системалт обобщенных координат. Однако для многих практически важных задач (например, задачи трех тел) такое [c.208]

Для систелш с одной степенью свободы и гамильтонианом, не зависящим от времени, всегда существует интеграл движения. В лшо-гомерпом случае, если переменные в уравнении Гамильтона—Якоби полностью разделяются, можно найти N интегралов движения, которые развязывают все N степеней свободы. Обозначим производящую функцию через 5 и примем, что в случае полного разделения переменных решение имеет вид [c.34]

Метод Делоне для разделения переменных в периодических системах. Метод разделения переменных, если он применим, приводит к получению полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби, необходимого в теории интегрирования Якоби. Полный интеграл уравнения в частных производных первого порядка может принимать множество различных форм. Предположим, что мы имеем какой-то полный интеграл [c.279]

Заметим, что в XX в. получила дальнейшее развитие теория интегрирования уравнения Гамильтона — Остроградского — Якоби методом разделения переменных. Т. Леви-Чивита установил критерий возможной классификации соответствующих динамических задач с любым числом степеней свободы. Найденные им общие условия, которым должна удовлетворять функция Гамильтона для того, чтобы уравнение Гамильтона — Остроградского — Якоби интегрировалось в квадратурах методом разделения переменных, легли в основу позднейших исследований. Ф. Далль-Аква составил классификацию указанного характера для систем с тремя степенями свободы. [c.103]

Как было показано в предыдущих параграфах, применение метода разделения переменных позволяет получить полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Однако этот меуод не всегда применим. Поэтому естественно заранее выяснить, при каком виде гамильтоновой функции (или отдельно кинетической и потенциальной энергий) возможно применение метода разде- [c.166]

Задача 1. Решить уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби методом разделения переменных для случая однородного гравнтацнонного поля (см. задачу 2, п. 5). Из этого решения получить lF-функцию Гамильтона и показать, что результат совпадает с прежним результатом, когда U -фyнкция строилась на основе полученного предварительно полного решения уравнений движения. [c.301]

В этом последнем примере все координаты кроме одной циклические. В таком случае уравнение Гамильтона — Якоби может быть всегда решено методом разделения переменных. Для этого достаточно положить все импульсы, соответствующие s — 1 циклическим координатам, равными 1,..., aj i остающаяся часть функции Гамильтона — Якоби может быть тогда получена простым интегрированием. [c.159]

Интегрирование в (6.215) ведется по qi, но координата / — единственная из всех координат q , которая входит в интеграл правой части (6.215), поскольку уравнение Гамильтона — Якоби допускает разделение переменных. Поэтому Ji будут функциями только а и не будут содержать Pft. Это означает, что преобразование от р и q,, к Ji и wi будет преобразованием Гамильтона —Якоби, приводящим к преобразованному гамильтониану R, который будет функцией только J/. Допустим, что это преобразование Гамильтона — Якоби порождается функцией Гамильтона-Якоби S. Из того, что исходное уравненне Гамильтона—Якоби допускало разделение переменных, и из того, что Ji зависят лишь от а, следует, что S можно записать в виде [c.169]

Мильтона — Якоби (9.71), одинаковы. Однако преимуществом уравнения Гамильтона — Якоби является то, что основной метод решения этого уравнения — метод разделения переменных — включает в себя как частный случай метод циклических координат Лагранжа (см. 9.5). КрОхМ е того, при рассмотрении уравнения Гамильтона — Якоби наиболее естественно вскрывается глубокая аналогия между механикой точки и волновым процессом, которая играет важную роль при обсуждении волнового аспекта квантовомеханических явлений. [c.407]

Очевидно, что возможность интегрирования уравнения Гамильтона—Якоби целиком определяется аналитической структурой коэффициентов ац яиЯ2.....Яь), Ьг(Яи Я2,. .., Як) и силовой функции и. Это побудило Т. Леви-Чивита [111] вывести необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнения (10.2.13), чтобы оно было интегрируемым методом разделения переменных. Для случая трех степеней свободы (например, для пространственной ограниченной задачи трех тел) эти условия выписаны и исследованы Ф. Даль-Аква [112]. В 1911 г. П. Бургатти [113] выписал функциональные зависимости импульсов от координат, приводящие к интегрированию уравнения Гамильтона — Якоби. Н. Д. Моисеев [114] и В. Г. Демин [87] указали на два обобщения уравнений Лиувилля и Штеккеля, также интегрируемые методом разделения переменных. [c.816]

Уравиения движения в первых двух случаях подробно изучены с разных точек зрения в классических работах Эйлера, Пуансо, Лагранжа, Пуассона, Якоби. Случай Ковалевской нетривиален во многих отношениях. Он был найден из условия мероморфности решений уравнений Эйлера—Пуассона в комплексной плоскостн времени. Случай Горячева—Чаплыгина намного проще его можно проинтегрировать с помощью разделения переменных. Для доказательства запишем функцию Гамильтона в специальных канонических переменных L, G, I, g (гл. 3, 2. п. 2.3) [c.134]

По-видимому, бросается в г.таза отсутствие дифференциального уравнения Гамильтона —Якоби с частными производными в его обычной форме, имеющей особое значение для решения проблем, которые допускают разделение переменных. Мы предпочитаем подчеркнуть преимущества более общей формы этого уравнения, предложенной Цейпелем, которая была специально задумана, чтобы служить фундаментом мощного метода теории возмущений. Этот метод содержит метод Делонэ как частный случай. Лица, интересующиеся другими аспектами этого вопроса, найдут многочисленные дополнительные сведения в Аналитической динамике Уиттекера и других руководствах. [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...