Характеристики уравнения Гамильтона — Якоби

Характеристики уравнения Гамильтона— Якоби 73 [c.73]

В настоящем разделе мы более подробно ознакомимся с математическими аспектами теории Гамильтона — Якоби. При этом мы будем опираться на детально разработанную теорию уравнений в частных производных первого порядка. Как известно, характеристиками такого дифференциального уравнения являются специально выделенные сингулярные кривые. В дальнейшем изложении будет показано, что характеристики уравнения Гамильтона — Якоби соответствуют траекториям материальной точки. [c.73]

Здесь мы сразу узнаем систему уравнений, в формализме Гамильтона описывающих траектории материальной точки. Тем самым утверждение, что траектории являются характеристиками уравнения Гамильтона — Якоби, доказано. [c.77]

Возвращаясь к системам лучей, рассмотрим обычную ситуацию систему нормалей к гиперповерхности в евклидовом пространстве, или систему характеристик уравнения Гамильтона-Якоби, соответствующих данным начальным значениям неизвестной функции, ограниченной на гиперповерхность в конфигурационном пространстве. [c.153]

Отвечающее этим начальным условиям решение системы есть характеристика задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби. Выберем значение <1 настолько близким к чтобы характеристики, выходящие из близких друг к другу точек qo, не пересекались при 0 < < < 1. Значения q([c.648]

В этой книге рассматривается связь между теорией Гамильтона и общей теорией уравнений первого порядка в частных производных. Из изложения этого вопроса видно, что уравнение Гамильтона — Якоби играет в этой связи существенную роль. Подробное рассмотрение этих вопросов дается здесь в связи с так называемой теорией характеристик . [c.346]

Рис. 201. Характеристики для решения задачи Коши лля уравнения Гамильтона — Якоби

Рис. 201. Характеристики для <a href="/info/473303">решения задачи</a> Коши лля <a href="/info/8061">уравнения Гамильтона</a> — Якоби

Теорема 13 установлена Якоби в 1837 г. Следует заметить, что обратная теорема о том, что решение уравнения с частными производными типа Гамильтона приводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (дифференциальных уравнений характеристик), имеющей в рассматриваемом случае форму Гамильтона, высказана Пфаффом и Коши в развитие еще более ранних исследований Лагранжа и Монжа, еще до того как Гамильтон и Якоби начали заниматься вопросами динамики (Э. Уиттекер [57]). Наиболее эффективный прямой метод решения уравнения Гамильтона— Якоби — это метод разделения переменных полный интеграл есть сумма слагаемых, каждое из которых зависит только от одной из переменных Ж1,. .., ж , I. [c.77]

Гамильтон показал, что если известен общий интеграл уравнений движения, представленных в канонической форме, то из него можно вывести полный интеграл этого уравнения с частными производными. Якоби дополнил эту теорему, доказав, что, обратно, если известен какой-нибудь полный интеграл этого уравнения с частными производными, то из него можно получить общий интеграл уравнений, движения. Как мы только что говорили, это уравнение с частными производными, которое мы будем называть уравнением Як оби. подобрано таким образом, что уравнения движения (6) являются для него дифференциальными уравнениями характеристик согласно известному методу интегрирования уравнений с частными производными первого порядка. Мы не будем, однако, пользоваться этим методом. [c.473]

Доказательство этой теоремы Якоби вытекает из предложения 9 гл. 1 и формул (15). Метод интегрирования уравнений Гамильтона с помощью теоремы 12 был предложен Якоби в 1837 г. Якоби опирался на более ранние работы Гамильтона (W. R. Hamilton). Метод Гамильтона —Якоби восходит к исследованиям Пфаффа (J. F. Pfaff) и Коши (А. L. au hy) по теории характеристик уравнений в частных производных. [c.139]

Теорема 12 отмечена Пуанкаре в п. 19 его Новых методов небесной механики (1892) [51]. Там же дано общее определение инвариантных соотношений, занимающих промежуточное положение между решениями и интегралами. Теорема Пуанкаре переоткрыва-лась разными авторами (см., например, трактат Т. Леви-Чивита и У. Амальди [43], гл.Х). На самом деле теорема 12 фактически содержится в теории характеристик Монжа дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. В отличие от уравнения Гамильтона—Якоби, в теории Монжа рассматриваются уравнения, которые могут явно содержать неизвестную функцию. Поэтому в общем случае теорему 12 формулируют в несколько иной форме (см. по этому поводу [41]). [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...