Уравнение Гамильтона-Якоби обобщенное

Уравнение Гамильтона — Якоби обобщенно-консервативных систем имеет вид [c.331]

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. В координатном пространстве в каждый момент нас интересует положение лишь одной движущейся в нем точки—она определяется мгновенными значениями обобщенных координат рассматриваемой системы. Между тем полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби в каждый момент определяет функцию S, заданную во всем координатном пространстве и имеющую вполне определенное значение в каждой точке этого пространства. В связи с тем, что функция S зависит также и от времени, можно представить себе ее как некоторую поверхность, заданную в координатном пространстве и непрерывно деформирующуюся (или движущуюся). Каким же образом задание функции, определенной на всем пространстве и изменяющейся во времени, может определить движение той единственной точки, которая интересует нас Как связано движение этой точки с деформирующейся поверхностью [c.324]

Уравнение Гамильтона — Якоби для консервативных и обобщенно консервативных систем. В случае консервативной (обобщенно консервативной) системы в уравнение Гамильтона — Якоби входит функция Н, не зависящая явно от времени. Поэтому уравнение это принимает вид [c.332]

Рассмотренные примеры убеждают, что случаи, когда эффективно работает метод разделения переменных, встречаются достаточно часто. Полезно иметь критерий, устанавливающий факт разделимости переменных на основе анализа структуры уравнения Гамильтона-Якоби. Для систем, кинетическая энергия которых зависит только от квадратов обобщенных скоростей, такой критерий доставляет теорема Штеккеля. [c.654]

Здесь мы познакомим читателя с методом разделения переменных для нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби. Этот метод применяется в тех случаях, когда функция Гамильтона Н обобщенно-консервативной системы имеет специальную структуру. [c.162]

Уравнение Гамильтона-Якоби для консервативных и обобщенно консервативных систем. Пусть функция Гамильтона не зависит явно от времени [c.360]

Это уравнение и будет уравнением Гамильтона-Якоби для консервативных и обобщенно консервативных систем. Из (13) находим [c.360]

Случай одной степени свободы. Продолжим начатое в п. п. 177-179 изучение некоторых вопросов, связанных с интегрированием консервативных и обобщенно консервативных систем. Будем изучать системы, движения которых обладают описанным ниже свойством периодичности. Для таких систем Делонэ предложил специальный выбор постоянных импульсов а (г = 1, 2,..., п) в характеристической функции Гамильтона п. 178. Эти новые импульсы представляют собой п независимых функций от набора величин появляющихся при нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Они называются действиями (точные определения см. далее) и ниже чаще всего будут обозначаться /. Канонически сопряженные к ним координаты wi называются угловыми переменными. Переменные действие-угол wi весьма удобны для описания движений, обладающих свойством периодичности. Они находят широкое применение в теории возмущений. [c.371]

Указанное видоизменение метода Гамильтона — Якоби, кроме содержащихся в нем возможностей упрощения уравнения Гамильтона — Якоби в форме (3), обладает еще и тем преимуществом, что позволяет непосредственно, сразу получить обобщенные координаты 71, 72,..., qn рассматриваемой системы. [c.62]

Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби можно найти в некоторых случаях для функции Гамильтона специального вида, допускающего разделение переменных, т. е. представление полного интеграла как суммы функций, зависящих каждая лишь от одной из обобщенных координат. [c.541]

Основываясь на теореме Якоби, можно применять следующий метод решения задач о движении механических систем с обобщенно-потенциальными силами и голономными идеальными связями. Этот метод заключается в составлении уравнения Гамильтона — Якоби по известной функции Гамильтона и в отыскании полного интеграла этого уравнения с последующим использованием соотношений (9.75). [c.405]

Рассмотрим обобщенно-консервативную систему, гамильтониан которой явно от времени не зависит (см. (9.21)), а уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид [c.407]

Функция Лагранжа Ь д, д,1) является строго выпуклой функцией обобщенных скоростей. Функция 8 д,1) является решением уравнения Гамильтона-Якоби. Показать, что вектор-функция д 1) будет движением системы, если нри всех 1 выполняется соотношение [c.273]

Полным интегралом уравнения (37.1) называют такое его решение, которое содержит столько же независимых произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных в этом уравнении. В уравнении Гамильтона — Якоби такими переменными являются обобщенные координаты да и время t. Поэтому полный интеграл указанного уравнения должен содержать s + 1 произвольную постоянную, если рассматриваемая система имеет s степеней свободы. При этом одна из указанных постоянных входит в полный интеграл уравнения (37.1) аддитивным образом, так как неизвестная функция действия S (д, t) входит в уравнение (37.1) только через свои производные. [c.207]

Бели бы в качестве обобщенных координат использовались XI и х , чтб в этой проблеме, вообще говоря, более предпочтительно, то решение образуется следующим образом. Дифференциальное уравнение Гамильтона —Якоби примет вид [c.555]

Пример 31.6. Пример линейного осциллятора с функцией Гамильтона (31.10) иллюстрирует, как при помощи уравнения Гамильтона-Якоби находить движение для целого класса обобщенно-консервативных систем (Я = H(q,p)) с одной степенью свободы при дополнительном условии [c.178]

Уравнение Гамильтона—Якоби, конечно, имеет вид (7.6). Роль независимых переменных х играют обобщенные координаты и время. Специфика уравнения Гамильтона—Якоби заключается в том, что оно не содержит явно искомой функции г. [c.77]

Будем рассматривать обобщенно-консервативные системы, т. е. такие системы, у которых функция Гамильтона не зависит явно от времени и, следовательно, существует обобщенный (или обычный) интеграл энергии ). Кроме того, предположим, что существует хотя бы одна система обобщенных координат, при которой переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются. Относительно движения самой системы материальных точек и тел предположим, что оно условно-периодическое. Это означает, что при финитном изменении координат каждая пара канонически сопряженных переменных 9 -, изменяется периодически с одним и тем же периодом, следовательно, траектория изображающей точки в каждой плоскости ( 1, р1) будет замкнутой кривой. И если [c.348]

Структурные аналогии ряда тем аналитической механики выступают ярче, если в основу выводов положить формулу первой вариации функционала. На этом пути структурно объединяются такие, казалось бы, разные вопросы, как вариационный принцип Гамильтона—Остроградского, принцип Эйлера—Лагранжа, законы сохранения мер движения в ньютоновской механике - сохранение количества движения, механической энергии и момента количества движения, закон сохранения обобщенного импульса и обобщенный закон сохранения энергии в аналитической механике, интегральные инварианты динамики, уравнения Гамильтона — Якоби и др. [c.281]

Чтобы найти общее решение системы канонических, уравнений динамики, достаточно найти функцию V как полный интеграл дифференциального уравнения с частными производными первого порядка уравнения Остроградского — Гамильтона — Якоби) и продифференцировать этот интеграл по обобщенным координатам и постоянным интегрирования а . Приравнивая частные производные от V по обобщенным координатам обобщенным импульсам р , получим первую группу интегралов канонической системы, а приравнивая постоянным интегрирования производные от V по а , найдем вторую группу интегралов. [c.358]

Уравнения движения точки Р могут быть записаны в форме канонических уравнений Гамильтона. Функция Гамильтона явно от времени не зависит, поэтому существует обобщенный интеграл энергии — интеграл Якоби [c.326]

Использование обобщенных координат — одно из преимуществ формализма Гамильтона—Якоби. Что же касается уравнений Лагранжа, то их особенное преимущество состоит в том, что все вычисления сводятся к составлению выражения для кинетической энергии, выраженной в функции /, д,д, а к простым дифференцированиям. При рассмотрении принципа Гамильтона надо допустить, что систему можно заставить перейти от того же начального к тому же конечному положению, что и в действительном движении, с помощью некоторого фиктивного движения (бесконечно мало отличающегося от действительного), не заботясь о том, чтобы удовлетворялись уравнения динамики, но сохраняя связи. Интеграл Гамильтона может обратиться в нуль для всех вариаций, совместимых со связями, лишь в том случае, если сумма под знаком интеграла постоянно равна нулю. В противном случае, изменяя знаки всех 3 одновременно, можно выбрать их так, чтобы сумма под знаком интеграла была все время положительна, а следовательно, интеграл не был бы равен нулю. При 17 = 0 из принципа Г амильтона получим [c.868]

В уравнении Гамильтона переменными, которые определяют движение механической системы, являются обобщенные координаты q и обобщенные моменты р. Гамильтонова функция W(p, q), которая входит в гамильтоновы уравнения, обычно является функцией обеих этих переменных. Если мы преобразуем переменные q и р в новые переменные q и р посредством какого-либо произвольного преобразования, общая форма гамильтоновых уравнений изменится. Однако Якоби показал, что существует некоторое преобразование, отличающееся тем свойством, что оно оставляет форму этих уравнений неизменной. Так как уравнения Гамильтона часто называются каноническими уравнениями динамики, то указанным преобразованиям было дано наименование канонических преобразований. Канонические преобразования представляют собой специальный случай касательного преобразования. Касательное преобразование в трехмерном пространстве определяется так [c.915]

Уравнение (154) и является уравнением Гамильтона — Якоби для консервативных (Я = —энергия системы) или обобщенно консервативных (Я — обобщенная энергия) систем. Таким образом, чтобы составить уравнение Гамильтона — Якоби для консервативной (обобщенно консервативной) системы, нужно просто записать закон сохранения энергии (обобщенной энергии) и в выражении энергии заменить все импульсы часинлми производными искомой функции V по соответствующим координатам. [c.333]

Это ураппепие и будет уравнением Гамильтона — Якоби для консервативных и обобщенно консервативных систем. Из (13) находим V=V(q,,. .., g , ai,. .a -i, h), где ai,. .., a i — произколь-ные постоянные, не зависящие от h. Из (12) имеем выражение для S [c.303]

Опираясь на механику Гамильтона—Якоби и на результаты развития геометрической оптики в трудах Бельтрами, Липшица, Брунса, Ф. Клейна, Дебая, Зоммерфельда и Рунге, которые с помощью уравнения эйконала придали геометрической оптике обобщенный вид и нашли для ее соотношений векторное выражение, Шредингер исходил из гамильтоновой аналогии. Он применил неевклидово мероопределение ( 8 = 2Т(д , и все последующие рассуждения вел в пространстве конфигураций. Воспользовавшись построением ортогональных некоторому лучу поверхностей дей- ствия и уравнением Гамильтона—Якоби и показав, что эти поверхности распространяются в пространстве в виде волнового фронта, Шредингер пришел к выводу, что принцип Гамильтона выражает собой принцип Гюйгенса в его до-френелевой формулировке. Отсюда, воспользовавшись соотношением Я = Шредингер получает свое основное волновое уравнение, [c.861]

Первые п уравнений определяют обобщенные координаты г/ как функции t и 2п произвольных постоянных а , Подставляя г/А=г/й( > . п. Pi. > Р ) во вторую группу уравнений (41), находим обобщенные имнульсы как функции t ш 2п произвольных постоянных ttft, Pfe. Якоби разработал и алгоритм решения обратной задачи [7, 165] по известному общел1у решению канонической системы (1) можно построить полный интеграл S t у и. .., Уп, tti,. .., а ) уравнения Гамильтона — Якоби (38). Из теоремы Гамильтона — Якоби вытекает, что асимптотические методы решения канонических систем (1) и уравнения (38) эквивалентны с точки зрения полноты и точности их решения. Поэтому их применение в конкретных задачах в большой степени определяется привычкой и желанием исследователя. [c.201]

Успех Б решении указанных задач механики и геометрии объясняется возможностью разделения переменных в уравнении в частных производных (33) при введении эллиптических координат. Следует сказать, что функция S определяется в простом виде в том случае, когда возможно ввести та-1сую систему обобщенных координат, которая позволила бы разделить переменные в уравнениях Гамильтона — Якоби. [c.20]

Наряду с уравнениями движения Лагранжа и Гамильтона, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, существует уравнение в частных-.производных, описывающее движение механической системы в поле обобщенно-потен-циалъных сил при наличии голономных идеальных связей. Этому уравнению, называемому уравнением Гамильтона — Якоби, подчиняется функция действия [c.399]

Как мы видели, движение механичесжнх систем можно описать с помощью различных дифференциальных уравнений уравнений Ньютона, уравнений Лагранжа с реакциями связей, уравнений Лагранжа в обобщенных координатах, канонических уравнений Гамильтона и уравнения Гамильтона — Якоби. [c.449]

Если в качестве обобщенных координат выбрать координаты центра масс хс = х,ус = у три эйлеровых углаф, 0, то полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби равен [c.380]

Лиувилль первый указал случай, когда уравнение Гамильтона — Якоби интегрируется в квадратурах. Позднее, более общий случай указал Штеккель, и последующие работы были посвящены различным обобщениям результатов этих двух ученых. Мы ограничимся здесь рассмотрением случаев, разобранных Лиувиллем и Штеккелем, как представляющих наибольший интерес для приложений в небесной механике. [c.313]

Очевидно, что возможность интегрирования уравнения Гамильтона—Якоби целиком определяется аналитической структурой коэффициентов ац яиЯ2.....Яь), Ьг(Яи Я2,. .., Як) и силовой функции и. Это побудило Т. Леви-Чивита [111] вывести необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнения (10.2.13), чтобы оно было интегрируемым методом разделения переменных. Для случая трех степеней свободы (например, для пространственной ограниченной задачи трех тел) эти условия выписаны и исследованы Ф. Даль-Аква [112]. В 1911 г. П. Бургатти [113] выписал функциональные зависимости импульсов от координат, приводящие к интегрированию уравнения Гамильтона — Якоби. Н. Д. Моисеев [114] и В. Г. Демин [87] указали на два обобщения уравнений Лиувилля и Штеккеля, также интегрируемые методом разделения переменных. [c.816]

Что касается нахождения самого полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби, то в ряде случаев он может быть получен методом разделения переменных. Большую роль в методе разделения переменных играет выбор обобщенных координат. Например, в задаче о движении частицы в центрально-симметрическом поле возможно разделение переменных в полярных координатах, но невозможно в декартовых координатах. Случается, что для одной и той же задачи разделение переменных в уравнении (37.1) допускается несколькими системалт обобщенных координат. Однако для многих практически важных задач (например, задачи трех тел) такое [c.208]

Вообще для разрешимых проблем динамики можно выбрать обобщенные координаты п импульсы п получить уравнение Гамильтона — Якоби, которое может быть решено посредством разделения переменных. Проблема трех тел не принадлежит к числу проблем этого типа. Поэтому для решення этой проблемы методами теории во.чмущений требуется другой, отличный принцип. [c.505]

Лиувилль первый указал случай, когда уравнение Гамильтона-Якоби интегрируется в квадратурах. Затем более общий случай указал Штек-кель, и позднейшие исследования были посвящены различным обобщениям результатов Штеккеля и Лиувилля. В 1911 г. Бургатти поставил общую задачу —найти все случаи, в которых уравнение Гамильтона-Якоби интегрируется в квадратурах. Его анализ привел к довольно общей форме уравнения, из которой все предыдущие получаются как частные случаи. [c.405]

Не следует думать, что задача отыскания полного интеграла уравнения Гамильтона—Якоби может быть решена для любой гамильтоновой системы. Однако на этом пути открываются новые возможности, связанные с конкретным видом функции Гамильтона (от нее зависит структура уравнения Гамильтона—Якоби). При этом существенную роль ифает удачный выбор обобщенных координат (9 . .., д ). [c.174]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

Следствие 9.2.3. Система канонических уравнений Гамильтона имеет первый интеграл вида Н = к, где к — постоянная инте-грирования, тогда и только тогда, когда функция Гамильтона Н не зависит явно от времени дH/дt = 0. Для систем материальных точек этот интеграл эквивалентен обобщенному интегралу энергии Якоби, для склерономных систем с потенциальными силами — интегралу полной механической энергии. [c.634]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...