Полный интеграл Якоби уравнения Гамильтона — Якоби

Существует, как известно, множество полных интегралов уравнений в частных производных, и нет гарантии, что найденный нами полный интеграл дифференциального уравнения Гамильтона будет представлять искомую главную функцию. Но тогда возникает вопрос может ли любой полный интеграл быть полезен для наших целей Ответ на этот вопрос оказывается утвердительным, и это обстоятельство составляет сущность теоремы Гамильтона — Якоби. [c.284]

Итак, с помощью любого полного интеграла дифференциального уравнения Гамильтона в частных производных можно получить полное решение задачи Гамильтона, т. е. интегралы гамильтоновых уравнений движения. Дифференциальное уравнение для функции S впервые было получено Гамильтоном в 1834 г., а доказательство всей теоремы было дано Якоби в 1837 г. ). [c.286]

Полный интеграл Якоби уравнения Гамильтона — Якоби. Предположим, что мы отыскиваем все лучи или траектории и соотнесенные им векторы импульса — энергии для динамической системы с уравнением энергии [c.250]

Полный интеграл исходного уравнения Гамильтона — Якоби получает вид [c.488]

Полный интеграл исходного уравнения Гамильтона — Якоби запишется следующи образом [c.492]

Случай Лиувилля мы рассматривали уже в 2, как пример интегрирования в квадратурах уравнений Лагранжа. Поэтому остается только показать, что в этом случае может быть также найден и полный интеграл соответствующего уравнения Гамильтона — Якоби. [c.313]

Содержание теоремы Якоби следует из уравнений (9.47), которые аналогично уравнениям (8.12) образуют систему уравнений, определяющую траектории. Практически это означает следующее для того чтобы получить систему уравнений, описывающих траектории, надо найти полный интеграл S уравнения Гамильтона — Якоби, продифференцировать его по независимым постоянным ак и приравнять частные производные новым постоянным Рк. [c.58]

Если сохранить в Я квадратичные члены, то полный интеграл соответствующего уравнения Гамильтона — Якоби можно получить так. Уравнение Гамильтона — Якоби в этом случае имеет вид [c.202]

Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, и свойствами полного интеграла уравнения Якоби — Гамильтона, найти первые интегралы уравнений движения точки. [c.376]

Уравнение Гамильтона — Якоби в классической механике используется, главным образом, в тех случаях, когда по каким-либо причинам легче найти полный интеграл этого уравнения, чем проинтегрировать канонические уравнения. Примеры такого рода будут приведены в следующем параграфе. Роль уравнения Гамильтона — Якоби для теоретической физики состоит в том, что уравнение Шредингера, являющееся основным уравнением квантовой механики, в пределе переходит в уравнение Гамильтона — Якоби классической механики. Именно через уравнение Гамильтона—Якоби устанавливается контакт между классической и квантовой механикой. [c.325]

Итак, если известен полный интеграл (6 13) уравнения Гамильтона — Якоби, то для получения решения исходной системы уравнений (6.1) следует за производящую функцию взять функцию [c.155]

Чтобы найти общее решение системы канонических, уравнений динамики, достаточно найти функцию V как полный интеграл дифференциального уравнения с частными производными первого порядка уравнения Остроградского — Гамильтона — Якоби) и продифференцировать этот интеграл по обобщенным координатам и постоянным интегрирования а . Приравнивая частные производные от V по обобщенным координатам обобщенным импульсам р , получим первую группу интегралов канонической системы, а приравнивая постоянным интегрирования производные от V по а , найдем вторую группу интегралов. [c.358]

Гамильтон показал, что если известен общий интеграл уравнений движения, представленных в канонической форме, то из него можно вывести полный интеграл этого уравнения с частными производными. Якоби дополнил эту теорему, доказав, что, обратно, если известен какой-нибудь полный интеграл этого уравнения с частными производными, то из него можно получить общий интеграл уравнений, движения. Как мы только что говорили, это уравнение с частными производными, которое мы будем называть уравнением Як оби. подобрано таким образом, что уравнения движения (6) являются для него дифференциальными уравнениями характеристик согласно известному методу интегрирования уравнений с частными производными первого порядка. Мы не будем, однако, пользоваться этим методом. [c.473]

При доказательстве существенным образом будем опираться на метод интегрирования Гамильтона — Якоби, а именно на результат п. 35, согласно которому, чтобы иметь интеграл канонической системы (5) в конечном виде, достаточно получить полный интеграл V уравнения с частными производными [c.311]

Однако, ввиду того интереса, который представляет рассматриваемый вопрос для небесной механики, а также чтобы придерживаться исторического порядка, будем, следуя Пуанкаре ), непосредственно искать полный интеграл W соответствующего уравнения Гамильтона — Якоби, принимающего здесь вид [c.347]

Полученное решение весьма примечательно. Оно имеет в точности такую же форму, какая получается при решении задачи с помош ью теоремы Гамильтона — Якоби. Связь между двумя этими способами решения обусловлена тем, что К (gi, qz, h, а) есть полный интеграл модифицированного уравнения в частных производных (16.5.6). [c.455]

Подставляя снова полный интеграл W в уравнение Гамильтона — Якоби и дифференцируя результат по параметру а,-, получим тождество [c.482]

Задача определения общего интеграла канонических уравнений Гамильтона сводится теперь к нахождению полного интеграла уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби. [c.482]

Зная полный интеграл уравнения Якоби — Гамильтона, по (8.7) приходим к системе равенств [c.536]

Задачи построения полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби и общего интеграла канонической системы, как доказывается в теории дифференциальных уравнений, математически эквивалентны. Степень трудности их, вообще говоря, одинакова. Однако может быть отмечен ряд частных случаев, когда уравнение Гамильтона — Якоби может оказаться более податливым, чем каноническая система. Об этом говорится в п. 10.14. Более важно то обстоятельство, что решение (10), получаемое с помощью теоремы Якоби, является каноническим преобразованием, а это, как мы увидим в главе 11, значительно упрощает форму уравнений возмущенного движения. [c.537]

Полный интеграл уравнения Якоби — Гамильтона запишется в виде (отбрасываем штрих в обозначении коэффициентов [c.550]

В задачах 24.32-24.35 система задается своим гамильтонианом Я(q, р, t). Подвергнуть систему такому каноническому преобразованию, чтобы в новых переменных полный интеграл соответствуюш его уравнения Гамильтона-Якоби можно было найти методом разделения переменных. Пайти этот полный интеграл и закон движения q t), p t) в исходных переменных. [c.264]

Согласно теореме Остроградского — Гамильтона — Якоби для построения общего решения уравнений движения консервативной системы достаточно найти лишь полный интеграл упомянутого уравнения [40] . [c.6]

Найдем связь между решением уравнения (6.98) и полным интегралом уравнения Остроградского — Г амильтона — Якоби. Полный интеграл уравнения Остроградского — Гамильтона имеет структуру (6.76), т. е. является функцией времени, координат и постоянных интегрирования. Согласно теореме Остроградского— Гамильтона — Якоби, по полному интегралу определя-ём общее решение канонической системы уравнений, зависящее от постоянных т] и [c.175]

Следовательно, зная полный интеграл уравнения Остроградского— Гамильтона — Якоби, можно найти общее решение уравнения Лиувилля. [c.176]

Для потенциальных течений и = дср/дх полное решение уравнений Ламба переходит в полный интеграл х, с) уравнения Гамильтона—Якоби [c.122]

В своих исследованиях по оптике Гамильтон установил тесную связь между интегралами системы обыкновенных дифференциальных уравнений и решением двух уравнений в частных производных первого порядка. Эта идея Гамильтона была развита Якоби, который, обратив ход рассуждений Гамильтона, показал, что если известно решение (полный интеграл) одного уравнения в частных производных, то интегралы системы канонических уравнений можно получить дифференцированием известного полного интеграла по координатам и постоянным. Так возник метод Гамильтона — Якоби, который мы подробно рассмотрим в 10 настоящей главы. [c.278]

Свободная точка единичной массы движется в вертикальной плоскости ху под действием силы тяжести. Составить дифференциальное уравнение в частных производных Якоби— Гамильтона и найти его полный интеграл (ось у направлена вертикально вверх). [c.376]

Физический маятник массы М вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси. Момент инерции маятника относительно этой оси равен /, расстояние от центра масс маятника до оси равно I. Составить дифференциальное уравнение Якоби — Гамильтона, найти его полный интеграл и первые интегралы движения маятника (нулевой уровень потенциальной энергии взять на уровне оси маятника). [c.376]

Движение волчка, имеющего одну неподвижную точку О, определяется углами Эйлера ф, 0 и ср. Пользуясь результатами рещения задачи 49.11, составить уравнение в частных производных Якоби — Гамильтона и найти полный интеграл его. [c.376]

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. В координатном пространстве в каждый момент нас интересует положение лишь одной движущейся в нем точки—она определяется мгновенными значениями обобщенных координат рассматриваемой системы. Между тем полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби в каждый момент определяет функцию S, заданную во всем координатном пространстве и имеющую вполне определенное значение в каждой точке этого пространства. В связи с тем, что функция S зависит также и от времени, можно представить себе ее как некоторую поверхность, заданную в координатном пространстве и непрерывно деформирующуюся (или движущуюся). Каким же образом задание функции, определенной на всем пространстве и изменяющейся во времени, может определить движение той единственной точки, которая интересует нас Как связано движение этой точки с деформирующейся поверхностью [c.324]

Мы установим сначала, какую форму принимает для таких систем интегральный инвариант Пуанкаре — Картана после этого рассмотрим, как записать для них систему уравнений, вид которой напоминает уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона, но порядок ниже (за счет использования интеграла энергии) далее выясним, как выглядят в этом случае вариационный принцип Гамильтона и уравнение Гамильтона — Якоби и какие возможности открываются для определения полного интеграла этого уравнения. [c.326]

Предположим, что каким-либо образом удалось найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, т. е. функцию V, зависящую от всех q н от п констант, причем последней из этих констант является a = /i. Эта функция V должна удовлетворять условию [c.333]

Ита <, показано, что интегрирование канонических уравнений Гамильтоиа можно заменить нахождением полного интеграла уравнения Гам льто а — Якоби. В общем случае обе эти задачи обладают одинаковой трудностью, одна (о ме Отся динамическ1 е задачи, для которых 1 ахожден е П0. 0Г0 интеграла уравнения Гамильтона— Якоби оказывается более простым, чем интегрирование канонических уравнений Гамильтона. [c.158]

Можно сделать попытку обозреть основные этапы развития аналитической динамики до середины XIX в. Первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжева теория вариации произвольных постоянных, а также теория Пуассона. Следующим этапом явились во-первых, представление Гамильтоном интегральных уравнений посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или посредством условия, что она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных, и, во-вторых, установление канонических уравнений движения. Вслед за тем Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений к проблеме нахождения полного интеграла единственного уравнения в частных производных и дал общую теорию связи интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных первого порядка. Наконец, была разработана теория систем канонических интегралов. [c.910]

Задача интегрирования системы уравнений (1), как известно, может быть сведена к отысканию полного интеграла некоторого уравнения в частных производных, впервые найденного Гамильтоном. В основе этого метода лежит знаменитая теорема, установленная К. Якоби [I] и М. В. Остроградским [2]. Цель настоящей работы — рассмотрение одного видоизменения данного метода, вытекающего из свойства взаимности или, лучше сказать, свойства переместимости канонических переменных в уравнении Гамильтона — Якоби. Это видоизменение метода, иной раз, ведет к более простой задаче интегрирования системы уравнений (1) и поэтому заслуживает особого рассмотрения. [c.60]

Гамильтониан //(7, р , Ь) является однородной функцией первой степени относительно обобш енных импульсов рг. Показать, что если 8[дг,аг,1)— полный интеграл соответствуюш его уравнения Гамильтона-Якоби, то , )) тоже будет полным интегралом, где ф( ) — произвольная функция, производная которой не обраш а-ется в нуль. [c.270]

В 1 главы V была упомянута идея Гамильтона, заключающаяся в установлении родства между общим решением канонической системы дифференциальных уравнений и решением двух уравнений в частных производных первого порядка. Якоби, развивая эту глубокую идею Гамильтона, создал метод интегрирования канонической системы уравнений, показав, что если известно решение (именно, полный интеграл) одного уравнения в частных производных первого порядка, то общее решение канонической системы находится диффере1щированием полного интеграла по [c.323]

Хотя интегрнрованпе уравнения Остроградского — Якоби (139.1) в общем случае не упрон 1ает решения задачи, тем не менее, как указывалось выше, во многих случаях проще найти полный интеграл уравнения (139.1), а затем и интегралы канонической системы уравнений Гамильтона (132.5). [c.384]

P = f (<7i = Y2та — m q и полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби имеет вид [c.335]

Решение дифференциального уравнения в частных п]ю-изводных, содержащее столько произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных, называется полным интегралом этого уравнения. Функция ) в уравнение (6.12) входит только 1ерез свои производные. Это значит, что одна произвольная постоянная будет входить в полный интеграл в виде слагаемого, т. е. полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби имеет вид [c.155]

Так 1м образом, мы показали, что если известеи полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, то нет необходимости интегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений (6.1), т. е. задача интегрирования системы (6.1) заменяется задачей нахождения полного интеграла у1)авнения (6.12). [c.156]

Как было показано в предыдущих параграфах, применение метода разделения переменных позволяет получить полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Однако этот меуод не всегда применим. Поэтому естественно заранее выяснить, при каком виде гамильтоновой функции (или отдельно кинетической и потенциальной энергий) возможно применение метода разде- [c.166]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...