Теорема Гамильтона—Якоби связями

Полученное решение весьма примечательно. Оно имеет в точности такую же форму, какая получается при решении задачи с помош ью теоремы Гамильтона — Якоби. Связь между двумя этими способами решения обусловлена тем, что К (gi, qz, h, а) есть полный интеграл модифицированного уравнения в частных производных (16.5.6). [c.455]

В свое время мы уже определили с помощью теоремы Гамильтона — Якоби связь эллиптических элементов с величинами аир. Она выражается следующими формулами (см. (18.13.16)) [c.510]

Теперь становится очевидной тесная связь доказанной теоремы с теоремой Гамильтона — Якоби. Зная п интегралов в инволюции, мы можем построить функцию W по полному дифференциалу (25.7.18), и так как [c.520]

В разработку всей этой теории существенный вклад внес М. В. Остроградский. В исследованиях по уравнениям динамики он дал каноническую форму уравнений динамики и установил теоремы о характеристической функции, принимая связи системы зависящими от времени. В работах этого цикла, независимо от Гамильтона и Якоби, он развивает также и теорию того уравнения в частных производных, которое обычно называется уравнением Гамильтона — Якоби. Независимо от Гамильтона и Якоби Остроградский доказал, что задача определения интегралов канонических уравнений эквивалентна нахождению полного интеграла некоторого дифференциального уравнения в частных производных. Все искомые интегралы канонических уравнений можно найти дифференцированием полного интеграла уравнения в частных производных. [c.217]

Основываясь на теореме Якоби, можно применять следующий метод решения задач о движении механических систем с обобщенно-потенциальными силами и голономными идеальными связями. Этот метод заключается в составлении уравнения Гамильтона — Якоби по известной функции Гамильтона и в отыскании полного интеграла этого уравнения с последующим использованием соотношений (9.75). [c.405]

Гамильтонова механика проникла в общую теорию относительности и континуальную теорию дислокаций, т. е. в совершенно различные области теоретической физики. Одновременно происходило совершенствование и расширение средств аналитического решения задач механики. Например, теорема Остроградского— Гамильтона — Якоби может быть связана с теорией канонических преобразований. Еще в прошлом веке Ли обобщил соответствующие представления и открыл группу контактных преобразований канонических переменных, которые теперь принято называть преобразованиями, принадлежащими группе преобразований Ли. Теоретико-групповой метод начал интенсивно развиваться в последнее время. [c.7]

Найдем связь между решением уравнения (6.98) и полным интегралом уравнения Остроградского — Г амильтона — Якоби. Полный интеграл уравнения Остроградского — Гамильтона имеет структуру (6.76), т. е. является функцией времени, координат и постоянных интегрирования. Согласно теореме Остроградского— Гамильтона — Якоби, по полному интегралу определя-ём общее решение канонической системы уравнений, зависящее от постоянных т] и [c.175]

Вопросы о приоритете часто бывают спорными. С одной стороны, многие результаты были получены почти одновременно двумя различными авторами независимо друг от друга. С другой стороны, даже в том случае, когда первое явное упоминание о результате содержится в какой-либо ссылке, появившийся ранее результат иногда бывает настолько близок к нему, что вопрос о приоритете можно с основанием оспаривать. Такого рода трудности возникают в особенности в связи с работами середины девятнадцатого столетия, когда создавалось основное здание аналитической механики. Замечательным примером тесно связанных теорий, выдвинутых почти в одно и то же время двумя разными авторами независимо друг от друга, служит центральная теорема, которую автор (как и большинство английских математиков) называет теоремой Гамильтона — Якоби такое название дано в память о двух знаменитых авторах, одновременно работавших над одним и тем же кругом идей. Другим примером фундаментальной теории, разработанной двумя различными учеными независимо друг от друга (хотя на этот раз и не одновременно), служат уравнения Гиббса — Аппеля. Когда Уиллард Гиббс открыл эти уравнения, они не произвели глубокого впечатления, важность их была оценена лишь после того, как двадцать лет спустя Аппель открыл их вновь. Можно привести еще много других примеров, когда разные ученые независимо друг от друга приходили к одному и тому же результату. [c.13]

Однако, если для голономных систем теорема Гамильтона — Якоби в неголономных координатах доказывается совершенно гладко, то в применении к системам с неголономными связями встречается затруднение, состоящее в том, что в канонических уравнениях движения в неголономных координатах число членов с коэффициентами Риччи — Гамеля уменьшается. Вследствие такой неполноты доказательство теоремы Гамильтона непосредственно не проходит. Мы попытались обойти данное затруднение, применяя все исследование к системам типа Чаплыгина с циклическими координатами для независимости же результатов от порядка преобразований, о чем говорилось выше, кинетическая энергия пересчитывалась в нормальных координатах. При всех перечисленных условиях теорема Гамильтона — Якоби доказывается. Однако следует помнить, что даже классическая теорема Гамильтона — Якоби в голономных координатах для голономных же систем далеко не всегда приводит к решению задачи о нахождении всех интегралов уравнений движения, в силу затруднительности интегрирования самого уравнения в частных производных Г амильто а — Якоби. [c.8]

Другие доказательства теоремы Якоби. В 25.1 мы привели дока.зательство теоремы Якоби об инвариантности формы уравнений движения по отношению к контактным преобразованиям. Это доказательство основывалось на теореме эквивалентности и, возможно, является простейшим. Тем не менее ввиду важности теоремы Якоби мы приведем еще два доказательства ее, каждое из которых представляет самостоятельный интерес. Одно из них связано с рассмотрением производящих функций контактных преобразований ( 24.2 и 24.3) и включает в себя некоторые приемы, которые окажутся по-пезными впоследствии. Другое доказательство основано на использовании симплектического свойства матрицы М ( 24.13) оно показывает, между прочим, что контактное преобразование не является самым общим преобразованием, при котором уравнения Гамильтона сохраняют свою форму. [c.513]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...