Уравнение Гамильтона-Якоби координатами

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. В координатном пространстве в каждый момент нас интересует положение лишь одной движущейся в нем точки—она определяется мгновенными значениями обобщенных координат рассматриваемой системы. Между тем полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби в каждый момент определяет функцию S, заданную во всем координатном пространстве и имеющую вполне определенное значение в каждой точке этого пространства. В связи с тем, что функция S зависит также и от времени, можно представить себе ее как некоторую поверхность, заданную в координатном пространстве и непрерывно деформирующуюся (или движущуюся). Каким же образом задание функции, определенной на всем пространстве и изменяющейся во времени, может определить движение той единственной точки, которая интересует нас Как связано движение этой точки с деформирующейся поверхностью [c.324]

Рассмотрим случай, когда консервативная система имеет циклические координаты. Пусть циклическими координатами будут gt, Ц2,. .., qh kуравнение Гамильтона — Якоби (6.23) примет вид [c.161]

Отвечающее этим начальным условиям решение системы есть характеристика задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби. Выберем значение <1 настолько близким к чтобы характеристики, выходящие из близких друг к другу точек qo, не пересекались при 0 < < < 1. Значения q([c.648]

Может ли полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби не зависеть от каких-либо координат [c.701]

Курс аналитической механики является фундаментом, на который опирается изучение таких разделов теоретической физики, как квантовая механика, специальная и общая теория относительности и др. Поэтому в книге подробно освещаются вариационные принципы и интегральные инварианты механики, канонические преобразования, уравнение Гамильтона — Якоби, системы с циклическими координатами (главы И, III, IV и VII). Следуя идеям А. Пуанкаре и Э. Картана, автор кладет в основу изложения материала интегральные инварианты механики, которые здесь являются не декоративным украшением теории, а ее рабочим аппаратом. [c.9]

Рассмотрим сразу общий случай, когда несколько координат ..., q являются циклическими. В этом случае H=H t, qy,. .., q , pi,. .., p ), и полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби можно искать в виде [c.161]

Таким образом, главная функция Гамильтона осуществляет переход к постоянным координатам р и постоянным импульсам а. Решая уравнение Гамильтона — Якоби, мы в то же время получаем решение рассматриваемой механической задачи. Говоря на математическом языке, мы установили соответствие между 2п каноническими уравнениями движения, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и уравнением Гамильтона — Якоби, которое является уравнением первого порядка в частных производных. Такое соответствие имеет место не только для уравнений Гамильтона известно, что каждому уравнению первого порядка в частных производных соответствует определенная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В данном случае эта связь между рассматриваемым уравнением в частных производных и соответствующими каноническими уравнениями может быть объяснена происхождением этих уравнений от общего вариационного принципа — модифицированного принципа Гамильтона. [c.304]

Зависимость функции W от старых координат qi определяется уравнением (9.20), которое является дифференциальным уравнением в частных производных и подобно уравнению Гамильтона — Якоби (9.3). Полный интеграл его опять будет содержать п независимых постоянных, одна из которых опять будет аддитивной. Остальные постоянные 2,. .., п могут вместе с 1 быть приняты за новые постоянные импульсы. Полагая в первой половине уравнений (9.21) / = О, мы можем связать п постоянных а с начальными значениями Qi и р,-. Наконец, разрешая равенства (9.22Ь) относительно qu мы можем получить их как функции at, Pi и t, чем и заканчивается решение задачи. Следует заметить, что при i ф 1 уравнения (9.22Ь) не содержат времени. Поэтому они позволяют выразить все координаты qi [c.309]

На этом простом примере можно ясно видеть мощность и изящество метода Гамильтона — Якоби, позволившего нам быстро получить уравнение орбиты и зависимость г от t, что раньше требовало больших выкладок. Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби не ограничивается, конечно, тем случаем, когда лишь одна координата является нециклической. Если, например, гамильтониан рассмотренной сейчас точки написать в сферических координатах, то из трех координат циклической будет лишь одна — угол ф. Однако уравнение Гамильтона — Якоби будет и в этом случае допускать разделение переменных (см. 9.7). [c.316]

И используем декартову систему координат. В общем случае уравнение Гамильтона —Якоби имеет вид [c.103]

Уравнение Гамильтона-Якоби для систем с циклическими координатами. Пусть координаты /.+1,..., — циклические. Тогда [c.360]

Случай одной степени свободы. Продолжим начатое в п. п. 177-179 изучение некоторых вопросов, связанных с интегрированием консервативных и обобщенно консервативных систем. Будем изучать системы, движения которых обладают описанным ниже свойством периодичности. Для таких систем Делонэ предложил специальный выбор постоянных импульсов а (г = 1, 2,..., п) в характеристической функции Гамильтона п. 178. Эти новые импульсы представляют собой п независимых функций от набора величин появляющихся при нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Они называются действиями (точные определения см. далее) и ниже чаще всего будут обозначаться /. Канонически сопряженные к ним координаты wi называются угловыми переменными. Переменные действие-угол wi весьма удобны для описания движений, обладающих свойством периодичности. Они находят широкое применение в теории возмущений. [c.371]

Установить единое правило для строгого решения дифференциального уравнения Гамильтона—Якоби невозможно. Однако во многих случаях можно найти решение благодаря теореме о том, что 5 представляет сумму функций, каждая из которых в отдельности зависит от координаты д и, кроме [c.827]

Как показано ниже, теория переменных действие — угол зависит от разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби. Пространство QP должно иметь евклидову топологию, одна или более разделяющихся переменных может быть циклической (как, например, азимутальный угол) ). Однако наличие циклических координат не является существенной чертой теории, просто они делают обсуждение несколько более сложным. Поэтому будем предполагать, что таких координат нет существенные изменения, вызванные их наличием, будут отмечаться там, где это необходимо. [c.348]

Решение релятивистской проблемы Кеплера может быть получено такн№ методом разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби i). При переходе к полярным координатам г, ф) уравнение (115.5) преобразуется к следующему [c.420]

Следовательно, выражение Н" зависит только от переменных Р. В частности, если интегралы выписаны в канонической системе координат р, q, то пополнение мы сможем произвести эффективно, т. е. решим уравнение Гамильтона—Якоби (12 ). [c.266]

Допустим, что решение уравнения Гамильтона — Якоби для нашей системы найдено и что аир, возникаюш,ие в результате решения, — новые канонические координаты. [c.166]

С помощью уравнения Гамильтона —Якоби и эллиптических координат описать движение заряженной частицы в поле, создаваемом двумя зарядами, закрепленными на конечном расстоянии друг от друга. [c.180]

Б. Исходя из уравнения Гамильтона — Якоби, рассмотреть эффект Штарка в атоме водорода, используя параболические координаты. Разложить полученное решение в степенной ряд по напряженности электрического поля и сравнить с результатами, приведенными в 7.3. [c.180]

Подобно задаче для двух неподвижных центров, решение можно найти путем интегрирования уравнения Гамильтона Якоби в некоторой системе криволинейных координат. Однако рассматриваемая задача допускает непосредственное решение, т. е. система первых интегралов (5) (7) может быть проинтегрирована, если подходящим образом осуществить преобразование этих интегралов. Лля этого надо ввести новые переменные [c.527]

Указанное видоизменение метода Гамильтона — Якоби, кроме содержащихся в нем возможностей упрощения уравнения Гамильтона — Якоби в форме (3), обладает еще и тем преимуществом, что позволяет непосредственно, сразу получить обобщенные координаты 71, 72,..., qn рассматриваемой системы. [c.62]

Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби можно найти в некоторых случаях для функции Гамильтона специального вида, допускающего разделение переменных, т. е. представление полного интеграла как суммы функций, зависящих каждая лишь от одной из обобщенных координат. [c.541]

Например, составим уравнения Гамильтона — Якоби для свободной точки в потенциальном поле в декартовых, цилиндрических и сферических координатах (см. (9.2) — (9.4)) [c.405]

При наличии циклических координат также имеет место разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби. В самом деле, если 5—т независимых координат являются циклическими, то уравнение (9.71) принимает вид [c.408]

Проиллюстрируем изложенный метод на примере неизотропного осциллятора, для которого уравнение Гамильтона — Якоби в декартовых координатах имеет вид (см. формулу (1) примера 9.9) [c.441]

Мы видим, что (27.31)—уравнение Гамильтона-Якоби, а (27.32) имеет форму уравнения непрерывности. Таким образом, функция t) является фазой волновой функции, — плотностью вероятности нахождения частицы в точке с координатой х в момент времени t. [c.291]

Уравнение (154) и является уравнением Гамильтона — Якоби для консервативных (Я = —энергия системы) или обобщенно консервативных (Я — обобщенная энергия) систем. Таким образом, чтобы составить уравнение Гамильтона — Якоби для консервативной (обобщенно консервативной) системы, нужно просто записать закон сохранения энергии (обобщенной энергии) и в выражении энергии заменить все импульсы часинлми производными искомой функции V по соответствующим координатам. [c.333]

Преобразование естественной конгруэнции к прямым ЛИВИЯМ с помощью решения уравнения Гамильтона — Якоби. В 90 мы исследовали две различные точки зрения на преобразование. Примем здесь второй взгляд рассмотрим евклидово пространство 2n+2 в котором имеются неподвижные оси координат, а преобразование х, у) х, у ) означает перемещение точек этого пространства в новые положения. Для того чтобы обойти трудный вопрос о топологии пространства QTPH, будем рассматривать только малые области пространства QTPH, топология которых совпадает с топологией евклидова пространства. [c.313]

Нетрадиционно освещается ряд тем кинематика, общие теоремы динамики, вывод уравнений Лагранжа, уравнение Гамильтона — Якоби. Часть материала выходит за рамки университетского курса элементы теории линейных и квадратичных по скоростям интегралов, применение вариационных принципов, новое доказательство теоремы Дарбу о канонических координатах. В книгу включены задачи, иллюстрирующие и дополняющие теоретический материал, даны методические указания к ним. [c.2]

Мы об[1ащаем внимание на то, что разделение переменных в уравнении Гамильтона —Якоби производится представлением S в виде суммы членов, каждый из которых содержит лишь одну координату q , тогда как в случае уравнения Шредингера разделение переменных осуществляется через запись волновой функции в виде произведения членов такого типа. Это, конечно, есть следствие соотношения (6.113) между волновой функцией и функцией Гамильтона — Якоби. Упомянем здесь также и то, что если для данной физической системы уравнение Гамильтона —Якоби может быть решено при некотором выборе координат, то при том же выборе координат можно провести разделение переменных и в уравнении Шредингера. [c.158]

В этом последнем примере все координаты кроме одной циклические. В таком случае уравнение Гамильтона — Якоби может быть всегда решено методом разделения переменных. Для этого достаточно положить все импульсы, соответствующие s — 1 циклическим координатам, равными 1,..., aj i остающаяся часть функции Гамильтона — Якоби может быть тогда получена простым интегрированием. [c.159]

Мы могли бы ввести J согласно (6.210) без того, чтобы предварительно обсуждать уравнения (6.202), и могли бы таким способом фактически доказать, что величина W изменяется за период на единицу. Именно такой подход мы используем, переходя к системам с многими степенялш свободы. Единственные системы, которылт мы станем заниматься, — это системы, обладающие многократной периодичностью, другими словами — периодичные относительно каждой своей координаты qi и для которых уравнение Гамильтона — Якоби может быть решено разделением переменных, так что [c.168]

Интегрирование в (6.215) ведется по qi, но координата / — единственная из всех координат q , которая входит в интеграл правой части (6.215), поскольку уравнение Гамильтона — Якоби допускает разделение переменных. Поэтому Ji будут функциями только а и не будут содержать Pft. Это означает, что преобразование от р и q,, к Ji и wi будет преобразованием Гамильтона —Якоби, приводящим к преобразованному гамильтониану R, который будет функцией только J/. Допустим, что это преобразование Гамильтона — Якоби порождается функцией Гамильтона-Якоби S. Из того, что исходное уравненне Гамильтона—Якоби допускало разделение переменных, и из того, что Ji зависят лишь от а, следует, что S можно записать в виде [c.169]

Воспользовавшись уравнением Гамильтона — Якоби, получить уравнение траектории частицы, движущейся в поле двумерного потенциала U — iilr, описывая движение в координатах и = г- -х, v = r — x. [c.180]

Первые п уравнений определяют обобщенные координаты г/ как функции t и 2п произвольных постоянных а , Подставляя г/А=г/й( > . п. Pi. > Р ) во вторую группу уравнений (41), находим обобщенные имнульсы как функции t ш 2п произвольных постоянных ttft, Pfe. Якоби разработал и алгоритм решения обратной задачи [7, 165] по известному общел1у решению канонической системы (1) можно построить полный интеграл S t у и. .., Уп, tti,. .., а ) уравнения Гамильтона — Якоби (38). Из теоремы Гамильтона — Якоби вытекает, что асимптотические методы решения канонических систем (1) и уравнения (38) эквивалентны с точки зрения полноты и точности их решения. Поэтому их применение в конкретных задачах в большой степени определяется привычкой и желанием исследователя. [c.201]

Успех Б решении указанных задач механики и геометрии объясняется возможностью разделения переменных в уравнении в частных производных (33) при введении эллиптических координат. Следует сказать, что функция S определяется в простом виде в том случае, когда возможно ввести та-1сую систему обобщенных координат, которая позволила бы разделить переменные в уравнениях Гамильтона — Якоби. [c.20]

Тем более подобные ситуации возможны при распространении метода Гамильтона — Якоби на системы с неголономными связями. Мы проиллюстрировали предложенный нами описанный способ применения метода Гамильтона — Якоби к неголономным системам на примере частного случая задачи Каратеодори — Чаплыгина, а также на примере движения без скольжения однородного шара по горизонтальной плоскости. Для данной задачи уравнение Гамильтона — Якоби было составлено в нормальных неголономных координатах, полный интеграл был найден и с его помощью выявлен один первый интеграл уравнений движения — неизменность проекции угловой скорости шара на вертикаль. Этого было достаточно для решения всей задачи в силу наличия двух дифференциальных уравнений связей, интеграла энергии и вытекавшей из элементарных соображений общей механики прямолинейности движения центра тяжести шара. Наши работы по данному вопросу получили в дальнейшем отклик. В конце сороковых годов итальянский механик Пиньедоли опубликовал статью по данному вопросу с той же методикой. В настоящее время данной проблемой занимались в своих кандидатских диссертациях молодые научные работники (Назнев X. А., Титкова С. И.). [c.8]

Выше в качестве производящей была выбрана функция вида У . Остановившись на функции типа VI, запишем, чтобы сохранить oot-ветствие обозначений и координатам и импульсам, выражение полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби (6) в виде [c.540]

Мильтона — Якоби (9.71), одинаковы. Однако преимуществом уравнения Гамильтона — Якоби является то, что основной метод решения этого уравнения — метод разделения переменных — включает в себя как частный случай метод циклических координат Лагранжа (см. 9.5). КрОхМ е того, при рассмотрении уравнения Гамильтона — Якоби наиболее естественно вскрывается глубокая аналогия между механикой точки и волновым процессом, которая играет важную роль при обсуждении волнового аспекта квантовомеханических явлений. [c.407]

Как мы видели, движение механичесжнх систем можно описать с помощью различных дифференциальных уравнений уравнений Ньютона, уравнений Лагранжа с реакциями связей, уравнений Лагранжа в обобщенных координатах, канонических уравнений Гамильтона и уравнения Гамильтона — Якоби. [c.449]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...