Гамильтона — Якоби уравнение частных производных

Явное решение гамильтоновых уравнений в канонической форме в большинстве случаев может быть получено с помощью метода разделения переменных [183]. В этом случае задача интегрирования для п-сте-пенной гамильтоновой системы сводится к отысканию решения уравнения Гамильтона-Якоби в частных производных [c.77]

Полученное таким образом уравнение является искомым уравнением Гамильтона — Якоби в частных производных для [c.44]

Свободная точка единичной массы движется в вертикальной плоскости ху под действием силы тяжести. Составить дифференциальное уравнение в частных производных Якоби— Гамильтона и найти его полный интеграл (ось у направлена вертикально вверх). [c.376]

Движение волчка, имеющего одну неподвижную точку О, определяется углами Эйлера ф, 0 и ср. Пользуясь результатами рещения задачи 49.11, составить уравнение в частных производных Якоби — Гамильтона и найти полный интеграл его. [c.376]

Канонические преобразования могут быть использованы для того, чтобы упростить систему уравнений Гамильтона, сделать ее более удобной для интегрирования. Далее канонические преобразования будут использованы для того, чтобы получить из уравнений Гамильтона иную форму уравнений движения — уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби. [c.312]

Знание функции 5 действия по Гамильтону дает возможность найти закон движения системы. Функция 8 удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби. Тем самым имеется возможность с помощью методов теории уравнений в частных производных исследовать свойства движения динамических систем. [c.644]

Установленная связь между траекториями механической системы и уравнением в частных производных позволяет не только находить траекторию по решению уравнения Гамильтона-Якоби, но и, наоборот, свести интегрирование уравнения в частных производных указанного типа к интегрированию системы обыкновенных дифферен-циа,тьных уравнений Гамильтона. [c.648]

Таким образом, вопрос об интегрировании системы канонических уравнений динамики приведен к интегрированию дифференциального уравнения (11.350) в частных производных первого порядка. Дифференциальное уравнение (11.350) далее будем называть уравнением Остроградского — Гамильтона — Якоби ) [c.356]

Чтобы найти общее решение системы канонических, уравнений динамики, достаточно найти функцию V как полный интеграл дифференциального уравнения с частными производными первого порядка уравнения Остроградского — Гамильтона — Якоби) и продифференцировать этот интеграл по обобщенным координатам и постоянным интегрирования а . Приравнивая частные производные от V по обобщенным координатам обобщенным импульсам р , получим первую группу интегралов канонической системы, а приравнивая постоянным интегрирования производные от V по а , найдем вторую группу интегралов. [c.358]

Было показано, что при известном законе движения материальной системы можно построить функцию W. Теперь поставим обратную задачу, найдя функцию W без предварительного определения закона движения, найти закон движения материальной системы. Для этого докажем, что главная функция Гамильтона удовлетворяет уравнению (11.350) с частными производными первого порядка, т. е. уравнению Остроградского — Гамильтона — Якоби. Ради краткости это уравнение далее будем называть уравнением Остроградского. [c.371]

Это уравнение в частных производных называется уравнением Гамильтона— Якоби. В нем S есть функция gi, 172,. .., q и t величины Q, Q2, , Qn рассматриваются как параметры. [c.301]

Принцип Гамильтона. Чтобы полнее выяснить свойства полного интеграла уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби, следует рассмотреть функцию действия. Сначала выведем известный принцип Гамильтона из принципа Эйлера — Лагранжа (п. 8). Имеем [c.315]

Гамильтон показал, что если известен общий интеграл уравнений движения, представленных в канонической форме, то из него можно вывести полный интеграл этого уравнения с частными производными. Якоби дополнил эту теорему, доказав, что, обратно, если известен какой-нибудь полный интеграл этого уравнения с частными производными, то из него можно получить общий интеграл уравнений, движения. Как мы только что говорили, это уравнение с частными производными, которое мы будем называть уравнением Як оби. подобрано таким образом, что уравнения движения (6) являются для него дифференциальными уравнениями характеристик согласно известному методу интегрирования уравнений с частными производными первого порядка. Мы не будем, однако, пользоваться этим методом. [c.473]

Преимущество канонических уравнений. — Канонические уравнения Гамильтона благодаря их особенной форме получили большое применение в механике. Это легко понять, если иметь в виду метод Якоби интегрирования уравнений с частными производными первого порядка. Действительно, канонические уравнения механики, которые могут быть написаны в следующей форме [c.234]

Введем определение. Рещение 5 t, qi, () уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби, содержащее п произвольных постоянных tti,. .., а , называется полным интегралом этого уравнения, если выполняется условие [c.156]

Замечание. Общее решение уравнения в частных производных зависит от нескольких произвольных функций. Поэтому полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби отнюдь не является общим решением. Полный интеграл по сравнению с общим решением охватывает только небольшую горстку решений. Тем не менее по полному интегралу можно восстановить исходное уравнение (отсюда и название полный интеграл ). Действительно, дифференцируя полный интеграл, получаем [c.157]

Полученное уравнение носит название уравнения Гамильтона— Якоби. Оно является дифференциальным уравнением в частных производных и определяет зависимость искомой производящей функции от ( 1.....qn, t. Решение уравнения (9.3) обычно обозначают через 5 и называют главной функцией Гамильтона. [c.302]

Таким образом, главная функция Гамильтона осуществляет переход к постоянным координатам р и постоянным импульсам а. Решая уравнение Гамильтона — Якоби, мы в то же время получаем решение рассматриваемой механической задачи. Говоря на математическом языке, мы установили соответствие между 2п каноническими уравнениями движения, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и уравнением Гамильтона — Якоби, которое является уравнением первого порядка в частных производных. Такое соответствие имеет место не только для уравнений Гамильтона известно, что каждому уравнению первого порядка в частных производных соответствует определенная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В данном случае эта связь между рассматриваемым уравнением в частных производных и соответствующими каноническими уравнениями может быть объяснена происхождением этих уравнений от общего вариационного принципа — модифицированного принципа Гамильтона. [c.304]

Зависимость функции W от старых координат qi определяется уравнением (9.20), которое является дифференциальным уравнением в частных производных и подобно уравнению Гамильтона — Якоби (9.3). Полный интеграл его опять будет содержать п независимых постоянных, одна из которых опять будет аддитивной. Остальные постоянные 2,. .., п могут вместе с 1 быть приняты за новые постоянные импульсы. Полагая в первой половине уравнений (9.21) / = О, мы можем связать п постоянных а с начальными значениями Qi и р,-. Наконец, разрешая равенства (9.22Ь) относительно qu мы можем получить их как функции at, Pi и t, чем и заканчивается решение задачи. Следует заметить, что при i ф 1 уравнения (9.22Ь) не содержат времени. Поэтому они позволяют выразить все координаты qi [c.309]

В этой книге рассматривается связь между теорией Гамильтона и общей теорией уравнений первого порядка в частных производных. Из изложения этого вопроса видно, что уравнение Гамильтона — Якоби играет в этой связи существенную роль. Подробное рассмотрение этих вопросов дается здесь в связи с так называемой теорией характеристик . [c.346]

ТЕОРЕМА ЯКОБИ ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [c.306]

Эта схема интегрирования Г амильтона была упрощена и улучшена Якоби. Главная функция Гамильтона должна удовлетворять сразу двум уравнениям в частных производных. Решение этой задачи практически невозможно без более широкой схемы интегрирования, предложенной Якоби. Производящая функция S зависящего от времени канонического преобразования определяет все движение фазовой жидкости, удовлетворяя лишь одному уравнению в частных производных [c.262]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГАМИЛЬТОНА —ЯКОБИ [c.264]

Это и есть дифференциальное уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби, полученное теперь для произвольных реономных систем. [c.273]

Эго дает в точности условие (8.2.21), т. е. дифференциальное уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби. Оно интерпретируется теперь как условие того, что функция Гамильтона переводится в нуль при помощи зависящего [c.273]

Решение уравнения в частных производных методом разделения переменных. У нас нет какого-либо общего метода решения уравнений в частных производных. Однако при некоторых особых условиях оказывается возможным найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Этот специальный класс задач сыграл важную роль в развитии, теоретической физики, так как оказалось, что ряд основных задач теории атома Бора принадлежит к этому классу. В таких задачах одно уравнение в частных производных с п переменными может быть заменено п обыкновенными дифференциальными уравнениями с одной независимой переменной, которые полностью интегрируются. Такие задачи называются задачами с разделяющимися переменными . [c.275]

Из уравнений (8.3.6) видно, что для систем с разделяющими переменными полный интеграл уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби можно получить в квадратурах. Возникает такая необычная ситуация, что сопряженные переменные qk,Pk в каждой паре связаны непосредственно друг с другом без участия остальных переменных. Механическая система с п степенями свободы может рассматриваться как суперпозиция п систем с одной степенью свободы. Однако истинные уравнения движения такие [c.278]

Роль дифференциального уравнения в частных производных в теориях Гамильтона и Якоби. В предыдущей главе (гл. VII, п. 9) отмечалось, что впервые в аналитической механике фундаментальное уравнение в частных производных открыл Гамильтон. Он также первый выдвинул идею о фундаментальной функции, из которой можно было бы получить при помощи простых дифференцирований и исключения переменных все механические траектории. Однако первоначальная схема Гамильтона была практически неприменима. Более того, главная функция Гамильтона удовлетворяла двум уравнениям в частных производных. Второе уравнение с точки зрения теории интегрирования является ненужным усложнением. С другой стороны, в теории Якоби требуется найти лишь один полный интеграл основного дифференциального уравнения. В случае систем с разделяющимися переменными такой интеграл может быть найден. Поэтому при поверхностном подходе создается впечатление, что Якоби освободил теорию Гамильтона от ненужного усложнения, приведя ее к схеме, применимой на практике, [c.291]

Это действительно так, если считать, что основная задача механики состоит лишь в интегрировании уравнений движения. Но такая ограниченная точка зрения была бы несправедливостью по отношению к далеко идущим исследованиям Гамильтона. Пользоваться непосредственно главной функцией Гамильтона действительно нельзя, и приходится прибегать к методу Якоби, но тем не менее главная функция Гамильтона остается важной и интересной функцией и служит гораздо более глубоким целям, чем простое интегрирование канонических уравнений. Поэтому сравнение tt -функции Гамильтона с S-функцией Якоби заслуживает того, чтобы на нем остановиться. Постигнув все тонкости теории Гамильтона, мы придем к заключению, что в теории Гамильтона два уравнения в частных производных столь же необходимы и естественны, как одно уравнение в теории Якоби. [c.292]

Таким образом, задача нахождения рг13нообразных типов переменных действие-угол сводится к отысканию достаточно большого числа решений уравнения Гамильтона-Якоби в частных производных. [c.692]

В связи со сказанным становится ясным, почему параллельно с развитием теории программного управления с самого начала построения теории оптимальных процессов ставилась задача о нахождении управляющих сил и сразу в виде функции от текущих координат хг (1) управляемого объекта. При этом получил наибольшее распространение тот подход к рассматриваемым задачам о синтезе, который развивад-ся по пути методов динамического программирования. Этот метод соответствует известным в вариационном исчислении рассуждениям о распространении возбуждений. С точки зрения вариационных принципов механики метод динамического программирования аналогичен введению функции действия и приводит соответственно к уравнениям типа уравнений Гамильтона — Якоби в частных производных. Таким образом, уравнения в частных производных, вытекающие из методов динамического программирования, связаны с обыкновенными дифференциальными уравнениями, фигурирующими, например, в принципе максимума, подобно тому как в аналитической механике уравнения Гамильтона — Якоби для функции 8 свйзаны с соответствующими уравнениями движения в форме Лагранжа или Гамильтона. Основу метода динамического программирования составляет функция V [т, х], которая имеет смысл минимума (максимума) оптимизируемой величины /[т, л (т)] (0 (т< < 1, т> о —текущий момент времени, 1 — момент окончания процесса), рассматриваемой как функция от начальных, временно фиксируемых условий г, х (т) = х, т. е. [c.203]

Следовательно, если нам удастся найти каноническое преобразование, приводящее функцию Гамильтона к такому виду, что канонические уравнения удастся проинтегрировать, то тем самым мы сумеем проинтегрировать и исходные канонические уравнения. Оказывается, задача построения такого канонического преобразования сводится к отысканию достаточно больнгого числа решений уравнения Гамильтона — Якоби в частных производных. Этому уравнению должна удовлетворять производящая функция искомого канонического преобразования. [c.226]

По-видимому, бросается в г.таза отсутствие дифференциального уравнения Гамильтона —Якоби с частными производными в его обычной форме, имеющей особое значение для решения проблем, которые допускают разделение переменных. Мы предпочитаем подчеркнуть преимущества более общей формы этого уравнения, предложенной Цейпелем, которая была специально задумана, чтобы служить фундаментом мощного метода теории возмущений. Этот метод содержит метод Делонэ как частный случай. Лица, интересующиеся другими аспектами этого вопроса, найдут многочисленные дополнительные сведения в Аналитической динамике Уиттекера и других руководствах. [c.8]

Это дифференциальное уравнение в частных производных называется уравнением Гамильтона — Якоби. Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных, которому должна удовлетворять производящая функция q .,. .., qs, ai, 2,. .., a.,, t) с основными перемои- [c.154]

Как известно из механики, движение материальных частиц может быть определено с помощью уравнения Гамильтона-Якоби, являющегося, как и уравнение (67,3), уравнением в частных производных первого порядка. Аналогичной г 5 ве.1ичииой является гфи этом действие 5 частицы, а производные от действия определяют импульс р и функцию Гамильтона Н (энергию) частицы согласно формулам р = <35/(3г, Н =-—dS/dt, аналогично формулам (67,2). Известно, далее, что уравнение Гамильтона-Якоби эквивалентно уравнениям Гамильтона, имеющим вид р = —dHfdr, v = r = dH/dp. Вследствие указанной аналогии между механикой материальной частицы и геометрической акустикой мы можем непосредственно написать аналогичные уравнения для лучей [c.366]

Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби. Из содержания предыдущего параграфа может показаться, что метод Гамильтона — Якоби не имеет практических преимуществ, так как вместо решения 2п обыкновенных дифференциальных уравнений он требует решения дифферециального уравнения в частных производных, что, как известно, сложнее. Однако при некоторых условиях переменные уравнения Гамильтона — Якоби можно разделить, и тогда решение задачи удается свести к квадратурам. Именно в этом случае метод Гамильтона — Якоби становится полезным в практическом отношении. [c.312]

В литературе дифференциальное уравнение (7.9.22) часто называют дифференциальным уравнением в частных производных Гамильтона — Якоби . Это название совершенно справедливо. Несмотря на фундаментальную важность функции расстояния Гамильтона, его первоначальная схема была неприемлема для целей практического интегрирования. Замечательное открытие Гамильтона дало Якоби ключ к каноническим преобразованиям, что в свою очередь расширило рамки применимости метода самого Гамильтона. С помощью функции Якоби S, на которую наложено гораздо меньше условий, можно найти и гамильтонову lF-функцию. Но было бы практически невозможно найти U -фyнкцию непосредственно путем решения двух совместных уравнений в частных производных. Связь между этими двумя теориями будет обсуждаться более подробно в следующей главе. [c.263]

Резюме. Вместо того чтобы пытаться непосредственно интегрировать канонические уравнения, мы можем применить процесс преобразования. При этом для консервативной системы отыскивается каноническое преобразование, переводящее функцию Гамильтона Н в одну из новых переменных. Для реоном-ной системы ищется зависящее от времени каноническое преобразование, преобразующее Н в нуль. В обоих случаях найденное преобразование решает задачу о движении, так как в новой системе координат канонические уравнения могут быть непосредственно проинтегрированы. Для нахождения искомого преобразования и его выполнения нужно найти какое-либо полное решение уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби. [c.275]

Метод Делоне для разделения переменных в периодических системах. Метод разделения переменных, если он применим, приводит к получению полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби, необходимого в теории интегрирования Якоби. Полный интеграл уравнения в частных производных первого порядка может принимать множество различных форм. Предположим, что мы имеем какой-то полный интеграл [c.279]

Тем не менее для того, чтобы обнаружить существенное различие между этими двумя функциями, не нужно даже прибегать к помощи второго уравнения в частных производных. В теории Якоби энергетическая постоянная Е была одной из новых переменных Qn- Кроме энергетической постоянной Е, в рещении содержалось лишь п — 1 констант интегрирования. В теории Гамильтона все переменные находятся в равном положении и энергетическая постоянная играет роль заданной константы, а не переменной. Гамильтоново решение уравнения в частных производных является не полным, а -сверхполнымъ, так как оно содержит на одну константу больше, чем полное решение. Однородность по всем переменным является характерным свойством, отличающим гамильтонову U -функцию от S-функции Якоби. Эта однородность приводит к тому, что преобразование, определяемое функцией W, в корне отличается от S-преобразования. [c.293]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...