Разрывность в уравнениях движени

Разрывность в уравнениях движения 107 [c.486]

Мы рассматриваем наиболее интересный случай, когда при учете новых малых (паразитных) параметров эти параметры появляются в уравнениях движения системы в виде малых коэффициентов при старших производных. Именно с этим случаем мы будем иметь дело при изучении систем, совершающих разрывные колебания. [c.746]

Изучению движения динамических систем с малыми коэффициентами при старших производных посвящено большое количество исследований ([1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 131 и др.). Наиболее полно этот вопрос в связи с разрывными колебаниями изложен в [1]. Мы ограничимся рассмотрением динамических систем, уравнения движения которых могут быть представлены в виде [c.225]

Уравнение движения выводится с помощью понятия производной от разрывных функций. В этом случае коэффициент р характеризует вязкость, возникающую в результате вращения элементарного объема жидкости, т. е. он характеризует ротационную вязкость. [c.42]

Напряжения, скорости и плотность по обе стороны поверхности разрыва связаны между собой условиями, которые должны удовлетворять основным уравнениям механики сплошной среды и уравнениям состояния выбранной реологической модели. Основные уравнения механики сплошной среды лучше использовать в интегральном виде, так как для разрывных процессов интегральная формулировка физических законов по сравнению с дифференциальной обладает большей общностью. Для непрерывных же процессов интегральная и дифференциальная формулировки полностью эквивалентны [например, закон сохранения массы в интегральной форме (V.8) и дифференциальное уравнение неразрывности (V.10), закон сохранения импульса в интегральной форме (V.14) и дифференциальные уравнения движения (V.18)l. Используя закон сохранения массы (V.8) и закон сохранения импульса [c.247]

Уравнение движения (17.15) второго порядка. В предыдущих параграфах приводились разрывы вторых и выше производных перемещения, т. е. волны слабого разрыва. В настоящем параграфе рассмотрим случай, когда разрывы — первые производные, т. е. волны сильного разрыва. В случае сплошной среды такая волна называется ударной волной или волной скорости (скорость разрывна на фронте волны). [c.171]

Не смущаясь приведенными выше парадоксами, ученые сумели правильно получить, по крайней мере качественно, лобовое сопротивление и подъемную силу, оставаясь в рамках уравнений движения Эйлера. Вся хитрость заключается в том, чтобы избежать употребления гипотезы (D), которую применяли Эйлер и Лагранж, а это можно сделать, используя разрывные и многозначные потенциалы. (Такие функции, правда, часто рассматриваются практиками как патология ) [c.29]

Неоднородные среды ). Так называют упругие среды, в которых коэффициенты Ламе X, ли плотность р суть функции координат. Если Я, 1 и р — непрерывные функции, а производные этих функций разрывны на некоторых поверхностях, такие поверхности принято называть слабыми границами. Некоторые сведения об исследованиях непрерывных сред упомянуты выше в связи с лучевой асимптотикой и поверхностными волнами. Уравнения движения для неоднородных упругих сред, сохраняя те же старшие члены (относительно дифференцирования), имеют еще дополнительные слагаемые с производными первого порядка от вектора смещения. Для этих уравнений были построены фундаментальные решения (В. М. Бабич, 1961). Рассматривались преимущественно среды, неоднородные относительно одной из координат (этот выбор подсказан как соображениями простоты, так и геофизическими приложениями). В неоднородной среде нельзя, вообще говоря, разложить движение на сумму продольных и поперечных волн однако это возможно при выполнении некоторых условий (дифференциальных), которым надо подчинить функции >1, и и р (В. Ю. Завадский, 1964). [c.298]

Начальные условия, при которых интегрируется уравнение движения балки при ударе, разрывны. Так, в случае удара груза по балке скорость в начальный момент считается равной нулю во всех точках балки, кроме точки удара. Эти начальные условия исходят из того, что деформации в мате- [c.525]

Разрывность силы трения. Сила трения в точке опоры, которая скользит, равна [ii , где R — нормальное давление. Но если точка опоры не скользит, то сила трения равна некоторой величине F, которая неизвестна, однако должна быть меньше, чем [ii . Ее величину можно найти из уравнений движения. [c.142]

Разрывность силы трения может возникать и другим путем. Если, например, одно тело скользит по другому, то сила трения направлена противоположно относительному движению и численно равна произведению нормальной реакции на коэффициент трения. Если затем в процессе движения направление нормальной реакции изменит знак, в то время как направление движения остается неизменным, или если направление движения изменит знак, в то время как нормальная реакция останется неизменной, то знак перед коэффициентом трения должен быть изменен. Это может изменить динамические уравнения и привести к новому решению. По этой причине, когда тело движется в сопротивляющейся среде, закон сопротивления представляет собой четную функцию скорости, т. е. некоторую функцию, знак которой не зависит от направления движения. " [c.143]

Сущность этого метода заключается в формулировке и использовании условий, накладываемых на уравнение движения в напряжениях, с целью выделения частного рещения для расчета сплощного или разрывного течения невязкой и идеальной жидкости. Причем эти условия можно применять как для дифференциальных уравнений, так и для их интегралов. Контрольным результатом этого метода для сплощного течения идеальной жидкости должно быть известное уравнение Эйлера, а также его рещения. Новые уравнения, получаемые данным методом, нуждаются, как правило, в экспериментальной проверке. [c.45]

Как отмечалось выше, поршню в полуплоскости х>0, а соответствует ось а, начальному фону — ось х. Из расположения интегральных кривых уравнения (3.157) при По<0 (см. рис. 3.15) следует, что при движении вдоль любой интегральной кривой, выходящей из точек X = О, а = ао > О непрерывным образом, нельзя попасть на ось х. Это значит, что решение должно быть разрывным. В этом случае однозначное решение получим при условии, что кривая скачков а = 1/х — х (см. формулу (3.174)) в области 0<х<1, а>0 расположена не выше изоклины бесконечностей а =—2п/по-(1/х — х). Для этого должно выполняться неравенство [c.129]

Действительно, может быть так, что объемная сила рО Ф в уравнении (2.4.6) будет разрывна при переходе через поверхность а(/), так что мы должны учесть наличие источников на a(i), рассчитанных на единицу площади, которые мы обозначим в символической форме [pQ 0 ]. Кроме того, в уравнении может появиться член, аналогичный производной по времени от объемной величины в левой части (2.4.6), содержащий тензорное поле ф, соответствующее Ф, в расчете на единицу площади o(i), и испытывающее изменение во времени при движении o(i) (ср. с (3.2.64)). Используя обозначения 2.4, заменим уравнение (2.4.6) более общим интегральным балансным уравнением [c.194]

Ударная волна, или сильный разрыв,— это частный вид разрывного решения уравнений из законов сохранения, часто также называемого слабым решением. Магнитоупругая ударная волна — это математическая идеализация гладкого (непрерывного и непрерывно дифференцируемого) решения системы уравнений (5.9.12) —(5.9.17) из законов сохранения с добавленными диссипативными членами, которое резко, хотя и гладко, меняется в слое (интервал оси х) очень малой толщины по сравнению с другими характерными размерами задачи. В частности, в диссипативном механизме (например, за счет вязкости) обычной теории упругости нужно учесть омическое тепловыделение из-за электрического сопротивления слоя. Вне этого слоя решение можно считать практически удовлетворяющим недиссипативным уравнениям из законов сохранения (5.9.12) — (5.9.17). Идеализация состоит в рассмотрении переходного слоя как точки разрыва (для одномерного движения) и замене системы уравнений из законов сохранения внутри слоя системой соотношений на скачке в точке разрыва. Скачок полевой величины Q при переходе через ударную волну W определяется классически по формуле [c.304]

Мы рассмотрим движение тела малой массы в сильно сопротивляющейся среде под действием пружины (этот случай представляет наибольший интерес для рассмотрения в дальнейшем так называемых разрывных колебаний). Дополнительно к тем предположениям, которые мы делали при постановке задачи о линейном осцилляторе с трением, мы пренебрежем массой движущегося тела. Тогда уравнение движения запишется в виде дифференциального уравнения первого порядка [c.69]

Заметим, что в дальнейшем нам придется встретиться с системами уравнений (подобных (2.2) или более общего вида), для которых условия теоремы Коши в некоторых точках фазовой плоскости нарушаются, например с такими динамическими моделями реальных физических систем, для которых правые части уравнений движения разрывны (таковы, например, колебательные системы с сухим, кулоновским трением). Для таких моделей наше утверждение об определении прошлого настоящим, вообще говоря, несправедливо. Точно так же мы уже не можем в таких случаях, вообще говоря, утверждать, что система не достигает состояния равновесия в конечное время. Заметим еще, что в таких случаях особые точки одного уравнения (подобного (2.3)) не всегда соответствуют состояниям равновесия. [c.108]

Мы перейдем теперь к рассмотрению более сложных систем с разрывными колебаниями, уравнения медленных движений которых имеют второй порядок. В качестве первого примера возьмем знакомую нам схему мультивибратора с одной / С-цепью, но с индуктивной анодной нагрузкой (рис. 553) (для некоторого упрощения задачи мы будем пренебрегать омическим сопротивлением анодной нагрузки). [c.804]

Итак, на основании интегрального уравнения движения (4.3) или (4.6) можно утверждать, что производная по времени суммарного количества движения жидкого объема. равна сумме всех внешних сил, действующих на этот объем. Это уравнение является самым общим динамическим уравнением гидрогазодинамики. Оно применимо для объема любой величины и для любого (даже разрывного) движения, при. котором параметры состояния жидкости и характеристики движения претерпевают разрыв внутри объема. Это уравнение является исходным для расчета сил, действующих в потокам жидкости. [c.62]

Интегральная форма уравнений сохранения количества движения десь справедлива для любых движений вязкого сжимаемого теплопроводного газа, при этом допускается существование разрывных движений, т. е. таких движений, при которых решения являются разрывными функциями. В области непрерывного изменения интегральная форма записи уравнений эквивалентна дифференциальным уравнениям движения. [c.71]

Выпишем соотношения на поверхностях сильного разрыва. Для этого воспользуемся наиболее общим видом уравнений движения вязкого теплопроводного в интегральной форме, допускающим разрывные решения. [c.105]

Пример - разрывные колебания в механической системе. На равномерно вращающийся вал 1 (рис. 13.8) насажена колодка 2, имеющая малую массу. Колодка крепится с помощью упругой пружины. Пренебрегая вязким трением, запишем уравнение движения колодки в Рис. 13.8 виде [c.252]

Наиболее общей является интегральная форма уравнений газовой динамики. Уравнения в этой форме допускают разрывные решения, представляющие течения самого общего вида. Законы сохранения массы, изменения количества движения и сохранения энергии в случае плоских и осесимметричных стационарных течений совершенного газа соответственно могут быть записаны в виде [c.48]

Вопрос о том, каким уравнениям подчиняется скользящее движение, требует дополнительного рассмотрения характера идеализации, в результате которой возникла разрывность правой части дифференциальных уравнений [c.85]

Система уравнений (1.7). .. (1.10), (1.12) является исходной для исследования любых движений многокомпонентной сплошной среды, в том числе и для разрывных движений (т. е. при наличии разрывов изменений величин). [c.10]

Метод искусственной вязкости. Идея метода искусственной вязкости заключается в том, что в уравнения движения невязкого газа вводят члены с производными более высокога порядка, содержащие малый множитель е. Эти члены, называемые искусственной вязкостью, подбирают таким образом, чтобы разрывные решения исходной системы уравнений газовой динамики превратились в непрерывные решения с узкими переходными зонами, ширина которых при е->0 стремились бы к нулю. Для приближенного определения непрерывных решений системы с искусственной вязкостью можно воспользоваться, вообще говоря, любой разностной схемой. [c.154]

Примирение теории непрерывных переходов с теорией, в которой получаются и изучаются разрывные решения, обосновывается допущением о возможности получения разрывных решений в рамках данной простой модели как предела непре-рьшных решений той же задачи для последовательности усложненных моделей при непрерывном переходе коэффициентов в уравнениях движения усложненной модели к коэффициентам уравнений упрощенной модели. Например, при устремлении коэффициентов вязкости к нулю уравнения Навье — Стокса для вязкого газа переходят в уравнения Эйлера для идеального газа. [c.354]

ОТ последней при т < 7. Конечно, либо С (т), либо одна из ее производных должна быть разрывна в момент х = t. Согласно уравнению (6-2.1), каким бы ни было значение п, напряжение при X = t ъ обоих случаях будет одним и тем же, поскольку Ajv одни и те же для обоих движений. Напротив, если использовать общее уравцение состояния простых жидкостей, то два рассматриваемых движения дают в общем случае различные напряжения при т = t. Можно установить далее, что для одного из двух движений, предыстория которого непрерывна вместе со всеми своими производными, напряжения, вычисляемые по уравнениям (4-3.12) и (6-2.1), должны совпадать при n-v сю. [c.213]

В случае, когда некоторая характеристика, имеющая участок с крутым наклоном касательной, заменяется двумя горизонтальными прямыми с разрывом первого рода (т. е. идеализируется при помощи так называемой 2-характеристики), уравнения скользящего движения можно получить следующим предельным переходом участок кривой с крутым наклоном заменяется сначала наклонной прямой, далее составляются уравнения движения системы в этой переходной области и затем совершается переход к пределу, при котором угол наклона прямой устремляется к значению л/2. В рассмотренном случае разрывность правых частей дифференциальных уравнений движения является идеализацией очень быстрого изменения правых частей в окрестности поверхностей S. В других случаях эта разрывность может быть следствием пренебрежения некоторыми быстро меняющимися в окрестности 5 дополнительными переменными от которых зависят правые части системы уравнений (4.1), а сами уравнения (4.1) являются упрощением некоторой более общей системы дифференциальных уравнений вида [c.86]

Покажем на примере, что если / х) — однозначная функция, то периодические движения в системе возможны тогда, когда уравнение (6.1) хотя бы в некоторых точках не определяет движения системы или теряет смысл для каких-либо значений переменных. В качестве такого примера рассмотрим теорию механических релаксационных (разрывных) колебаний, данную Хайкиным и Кайдановским [91. Колодка малой массы тп насажена с большим трением на равномерно вращающийся вал и соединена с неподвижной станиной при помощи пружины (рис. 6.3). Уравнение движения колодки при условии, что т — О, имеет вид [c.216]

Переходя к интегрированию уравнения движения (78), заметим, что наличие в правой его части разрывной функции, меняющей в точке X = О свой знак па противоиололшый, т. е. пре-т гриевающей конечный скачок на величину 2fG, заставляет вести интегрирование в пределах каждого размаха отдельно. Кулоново трение представляет собой пример сопротивления с нелинейным законом зависимости от скорости движения. [c.99]

ЭТОГО принципа из уравнений движения требует принятия нового постулата, выражаемого формулой (2.18). Это расходится с тем мнением, что вся механика основывается на законах Ньютона. Трудность заключается в самой природе связей. Для вычислительных целей они идеализируются до такой степени, что приводят к существованию разрывных сил. Конечно, такие явления не существуют в природе, хотя реальные условия и могут к ним приближаться. Если такую идеализацию считать желательной, то для ее включения в общее описание ) необходим дополнительный постулат, лежащий вне ньютоновской схемы. Однако термин ньютоновская механика будет часто использоваться в широком смысле, чтобы включить принцип Даламбера так же, как и законы Ньютона. [c.25]

При воздействии на оболочку разрывных во времени и пространстве нагрузок в ней возникают продольные и поперечные бегущие волны. Вследствие принятых допущений кинематического и статического характера классическая теория оболочек утратила свойство гиперболичности трехмерных уравнений движения упругой среды и оказывается неприемлемой для описания бегущих пзгибных волн. Поэтому к обычно рассматриваемым п классической теории оболочек деформациям и силам инерции рассматривают деформации, связанные с поперечными силами, и инерциго вращения. Такая схема динамического поведения оболочки обычно трактуется как модель второго приближения. [c.109]

Для изучения структуры фронта будем предполагать, как обычно, что в подвижной системе координат = а — Л реализуется одномерное стационарное движение, которое может быть, вообще говоря, разрывным. В этой системе координат уравнения движенпя (3.26) и неразрывности (3.11), (3.19) принимает вид [c.143]

Теоретическое исследование процесса движения катящихся волн в прямоугольном канале выполнено А. М. Мхитаряном (1958, 1959), который основывался на теории Р. Дресслера ). Известно, что нелинейные уравнения Сен-Венана не допускают непрерывных периодических по длине канала решений. В теории Дресслера построено периодическое разрывное решение уравнений Сен-Венана. А. М. Мхитаряном получено и подробно рассмотрено (с сопоставлением с экспериментами и натурными наблюдениями) однопараметрическое решение задачи с длиной волны в каче- стве параметра. [c.746]

В итоге найденные с помощью уравнения теории упругости значения напряжений в точке оказались одинаковыми, что подтверждает правильность результата. Ценность этого пути рещения уже рещенной задачи состоит в том, что он показывает возможность использования методов теории упругости для расчета процессов течения жидкости. Анализ данного рещения показал, что этот путь является более сложным и более общим, чем непосредственное интегрхфование уравнения Эйлера, однако с его помощью можно получить новые, ранее неизвестные результаты. К числу таких результатов относится возможность расчета напряженного состояния при течении разрывных потоков (с негладким распределением функций). Такой путь рещения задачи движения жидкости, однако, связан с допущением, что уравнения течения жидкости так же, как и уравнения движения твердого тела, - линейные. Это существенное ограничение не позволяет распространить такой метод на любые задачи расчета течения жидкости и ограничиться рассмотрением течений с квазитвердым ядром. Обычно к таким случаям относят относительно тонкие течения, например, течения в водяных или газовых воронках, а также волны возмущения. [c.6]

Проблемы с интегррфованием системы уравнений (1.1) привели к использованию других методов расчета течений жидкости, газа и пара, среди которых ключевое местно занимает уравнение энергии. Это уравнение выполняется для потоков с любой макроструктурой, в том числе и для разрывных течений. На основе этого уравнения получены практически все соотношения газодинамики, которые хорошо соответствуют эксперименту. С другой стороны, уравнение энергии не дает детального описания процесса движения. В частности, не используется число Рейнольдса, процесс диссипации характеризуется с помошью энтропии, а не вязкости, как это имеет место в задачах течения сплошной текучей среды, решенных с помощью уравнения движения. [c.18]

Свойство гладкости всех функций процесса как условие существования сплощной текучей среды накладывает ограничения на возможности использования такой модели процесса. Например, уравнения движения воздуха как сплощной среды в условиях внутренней или внещней задачи гидродинамики могут использоваться только до тех пор, пока не возникнет скачок уплотнения, т. е. пока гладкая функция, например, плотности, не станет разрывной. В то же время течение с разрывом хотя бы одной функции процесса щироко распространено в различных технических приложениях. К таким движениям можно отнести течение двухфазных сред в энергетике, запьшенный воздух, [c.35]

На фпг, 21 по ,дух в капало прп давлении pi и плотности > движется вправо со скоростью Mj. Пусть А будет неподвижная внутренняя граница илн волна в потоке, через которую проходит воздух. Мы хотим установить, существуют ли величины а,, р, и удовлетворяющие уравнениям движения, кроме очевидных величии ui = u. , Pi=Pi Рх= 2 Такая поверхность, если она существует, называется ударной волной, таь как изменения скорости и давления при ut j)oxt).4e через нее пропс ходят разрывным образом, кагч скач )к нли удар. [c.58]

Перейдем теперь к количественному рассмотрению нелинейных динамических систем, ограничиваясь по-прежнему автономными системами второго порядка (с одной степенью свободы). Как мы уже говорили, при современном состоянии теории это количественное рассмотрение (аналитическими методами) может быть удовлетворительно проведено, в сущности, лищь для трех классов систем, имеющих, однако, значительный практический интерес. Один из этих классов составляют системы, близкие к консервативным, и в частности, практически наиболее интересные системы, близкие к гармоническому осциллятору второй класс — это системы, совершающие разрывные колебания. Эти два класса будут рассмотрены соответственно в гл. IX и X. Наконец, третий класс составляют системы, количественное рассмотрение которых может быть проведено при помощи метода точечных преобразований ). Наиболее просто этот метод применяется для так называемых кусочно-линейных систем, т. е. для систем с фазовым пространством, состоящим из областей, в каждой из которых динамические уравнения движения линейны. Количественному рассмотрению таких кусочно-линейных систем и будет посвящена настоящая глава. [c.504]

Наконец, заметим, что уравнение (7.7) отличается от уравнения движения для матричных элементов оператора а(Х, х ) (в представлении Гейзенберга) только наличием неоднородного члена в правой части. Этот факт отнюдь не случаен. Он вытекает из самой структуры выражений (3.1) — (3.4) и (3.17), отличающихся от средних значений (С (х)С2(х )) лишь наличием разрывных множителей, дифференцирование которых и дает дельтаобразные неоднород- [c.62]

Пусть изображающая точка, совершая медленное движение, дойдет до точки, где Q g = 0 тогда она войдет в область быстрых движений и скачкообразно по выходящей из этой точки траектории х = onst переместится снова на линию медленных движений. Таким образом, в этом случае в системе будут происходить разрывные колебания — колебания, состоящие из чередующихся между собой медленных и скачкообразных движений. Отметим, что в точках линии Q х, у) = О, где Q y = О, при ц = О у обращается в бесконечность. Продифференцировав по i Q (х, у) = = О и воспользовавшись уравнениями (6.14), получим для медленных движений [c.229]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...