Дифференциальные уравнения характеристическая система

Таким образом, решение системы квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих процесс деформирования листовой заготовки на участке 1, удалось свести к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений (характеристических соотношений), записанных для двух характеристических поверхностных элементов, параллельных координатным линиям или Для вычисления пяти неизвестных функций а , [c.93]

Новое характеристическое уравнение дифференциального уравнения, эквивалентного системе трех уравнений в приращениях, будет [c.301]

Если линия L является характеристикой системы (52.4), то вдоль нее определитель системы и алгебраические дополнения обращаются в нуль и производные неопределенны. Выполнив вычисления, находим из этих условий дифференциальные уравнения характеристических линий [c.215]

Если линия L является характеристикой уравнений (53.5), то вдоль нее производные неопределенны, следовательно, определитель упомянутой алгебраической системы и надлежащие числители обращаются в нуль. Приравнивая нулю определитель системы, находим дифференциальные уравнения характеристических линий [c.232]

Приравнивая нулю определитель системы, находим дифференциальные уравнения характеристических линий [c.267]

Теорема 2.1. Если все корни характеристического уравнения системы уравнений первого приближения имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение устойчиво и притом асимптотически, каковы бт,1 ни были члены высших порядков в дифференциальных уравнениях возмущенного движения. [c.83]

Не проводя подробного исследования, отметим, что при выполнении условий (86) возможны следующие варианты корней характеристического уравнения (89) и соответственно решений системы дифференциальных уравнений (85) [c.442]

В этом уравнении входит в элементы главной диагонали. Преобра.зо-вание А. Н. Крылова позволяет представить характеристическое уравнение в такой форме, что частоты будут принадлежать элементам первого столбца определителя, находящегося в левой части характеристического уравнения. Это преобразование можно рассматривать как некоторый метод исключения N — 1 неизвестной функции из системы уравнений (II. 185) и получения дифференциального уравнения порядка 2N для определения некоторой функции из общего количества N функций qj. [c.241]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

ЛС Лагранж полагал, что в случае наличия кратных корней уравнения частот (характеристического уравнения) в общее решение системы дифференциальных уравнений движения войдут члены, содержащие время t вне знаков синусов или косинусов. Например, в случае двукратного корня характеристического уравнения общее решение системы дифференциальных уравнений, по мнению Ж. Лагранжа, должно содержать члены [c.253]

В исследовании И. А. Вышнеградского был рассмотрен вполне конкретный вопрос— задача об устойчивости регуляторов ), Ценность этого исследования заключается в том, что И. А. Вышнеградский впервые применил к решению важного технического вопроса совершенную методику, основанную на анализе корней характеристического уравнения, составленного для системы дифференциальных уравнений колебательного движения регулятора. Эту систему уравнений И. А. Вышнеградский приводит к одному уравнению. [c.323]

Предположим теперь, что система линейна, то есть дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид уравнений (4.2) или в канонических переменных — уравнений (4.7). В сделанных предположениях (корни характеристического уравнения простые) диффе- [c.99]

Характеристики. Найдем характеристические направления в плоскости xt системы дифференциальных уравнений (4.1.1) и замыкающего их условия (4.1.2). Пусть в некоторой точке М х, t) заданы значения функций V2, р (значения осталь- [c.301]

Условия устойчивости системы, движение которой описывается дифференциальным уравнением (XI.39), по Раусу — Гурвицу заключаются в том, что коэффициенты характеристического уравнения положительны и выполняется неравенство [c.319]

При переходе от дифференциальной краевой задачи к сеточной нужно аппроксимировать не только внешние граничные условия, входящие в постановку краевой задачи, но и внутренние граничные условия, вытекающие из системы дифференциальных уравнений. Наиболее естественным способом аппроксимации внутренних граничных условий является замена соответствующих характеристических соотношений их сеточными аналогами. На практике часто применяют и другие способы. В частности, вместо характеристических соотношений используют некоторые из уравнений основной системы. Эти уравнения аппроксимируют с помощью явной схемы уголок , имеющей первый порядок аппроксимации, или с помощью неявной схемы прямоугольник второго порядка точности (см. п. 3 3.2, пример 6). Заметим, что в последнем случае трудности при решении уравнений для искомых функций на верхнем слое не возникают, так как в соседнем с границей узле все неизвестные могут быть определены по основной явной схеме. [c.99]

Характеристическое уравнение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4.3.16), (4.3.17) имеет вид [c.182]

Как известно, выражение в скобках последнего уравнения является характеристическим уравнением системы дифференциальных уравнений (10.74). [c.285]

Мы рассмотрели одну из наиболее простых систем автоматического регулирования. При этом мы, судя по характеристическому уравнению (12.23), получили систему третьего порядка. В большинстве случаев приходится иметь дело с более сложными системами регулирования, описываемыми уравнениями более высоких порядков. При ответе на вопрос, устойчива или неустойчива рассматриваемая система, можно избежать решения соответствующего ей дифференциального уравнения, если воспользоваться некоторыми признаками, которые называются критериями устойчивости Рауса — Гурвица. [c.341]

Итак, рассматриваемую задачу мы свели к однородному линейному дифференциальному уравнению третьего порядка. Для решения вопроса о динамической устойчивости системы прямого автоматического регулирования гидротурбины малой мощности можно воспользоваться критериями Рауса — Гурвица, Уравнению (12.39) соответствует характеристическое уравнение [c.349]

Состояние однокомпонентной (как однофазной, так и двухфазной) системы определяется двумя независимыми параметрами. С помощью первого и второго начал термодинамики любую частную производную первого порядка от характеристических функций и параметров состояния (или говоря более общо, от термодинамических параметров состояния) можно выразить через три другие частные производные первого порядка. Соотношения между несколькими из четырех возможных частных производных первого порядка и составляют в основном совокупность дифференциальных уравнений термодинамики в частных производных, или термодинамических соотношений. Число всевозможных термодинамических соотношений составляет около 10 , т. е. огромно. Поэтому обычно ограничиваются теми соотношениями, которые применяются наиболее часто. [c.143]

Если хотя бы одно характеристическое число матрицы А имеет положительную вещественную часть (ReX , 0), то нулевое решение системы дифференциальных уравнений (1) неустойчиво ). [c.218]

Эти уравнения можно рассматривать как полное решение поставленной задачи, которая, следовательно, будет разрешена, если достичь определения характеристической функции V V, как и S, удовлетворяет частному дифференциальному уравнению, единственного полного интеграла которого достаточно для решения задачи. Но для исследования этого уравнения мы отошлем читателя к мемуару Якоби, который подробно проанализировал случай свободной системы что касается случая системы с любыми связями, то он не представит никаких затруднений для лиц, которые усвоили аналогичные предложения, изложенные выше применительно к функции S., [c.566]

Определение инвариантного соотношения и соответствующее характеристическое дифференциальное уравнение (49) допускают естественное обобщение. Какая-нибудь система из /я 1 < л конечных соотношений между j и [c.279]

Случай нескольких инвариантных соотношений, находящихся в инволюции. Переходя после этого к более общим предположениям, докажем, что если для указанной канонической системы порядка 2п с характеристической функцией, не зависящей от времени, известны т<С п инвариантных соотношений, находящихся в инволюции и разрешимых относительно т переменных р, то можно определить со" частных решений данной системы посредством интегрирования приведенной системы дифференциальных уравнений порядка /и. [c.324]

Таким образом, если бы эта функция V была известна, оставалось бы только исключить Я из Зц + 1 уравнений (С) и (Е) для того, чтобы получить все Зп промежуточных интегралов или из (О) и (Е) для того, чтобы получить все Зп конечных интегралов дифференциальных уравнений движения, т. е. получить искомые Зп зависимости между Зп переменными координатами и временем, включающие также массы и упомянутые выше 6 начальных данных. Открытие этих зависимостей (как мы уже говорили) представляло бы собой общее решение общей задачи динамики. Таким образом, мы по крайней мере свели общую задачу к отысканию и дифференцированию единственной функции V, которую мы будем называть характеристической функцией движения системы, а уравнение (А), выражающее фундаментальный закон ее вариации, будем называть уравнением характеристической функции или законом переменного действия. [c.180]

Три уравнения (К ) в том случае, когда вспомогательная постоянная исключается посредством формулы (Ь ), строго представляют (согласно нашей теории) три конечных интеграла трех известных уравнений второго порядка (М ) для относительного движения бинарной системы (т,- т ) и дают для такой системы три переменные относительные координаты 1, 0 как функции их начальных значений и начальных скоростей а р,, v , а, / , т и времени /. Подобным же образом три уравнения (I ), по исключении посредством (Ь ), представляют собой три промежуточных интеграла этих же известных дифференциальных уравнений движения той же бинарной системы. Эти интегралы перестают быть строгими, когда мы вводим возмущения относительного движения этой частной или бинарной системы (т,/Пп), возникающие вследствие притяжений или отталкиваний других точек т, всей предполагаемой множественной системы. Однако они могут быть исправлены и сделаны строгими путем использования остающейся части У/2 полной характеристической функции относительного движения V вместе с главной частью приближенного значения Уравнения (Х ), (У ) двенадцатого параграфа дают строго [c.227]

Мы вовсе не будем касаться практических вычислений, которые приводят к формуле для этой функции. В этом смысле очень немногие динамические проблемы разрешимы . Поскольку рассматривается математическая структура динамики, то речь идет только об определении последовательности операций, которые должны иметь место. Поэтому в дальнейшем мы говорим о решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений только в смысле такой определенности и нахождения характеристической функции. [c.239]

Вводные замечания. В ряде случаев исследование колебаний систем как с конечным, так и бесконечным числом степеней свободы описанными выше точными методами затруднительно вследствие большой математической сложности, состоящей либо в том, что дифференциальные уравнения имеют переменные коэффициенты, если, например, балка имеет неравномерное распределение масс и жесткостей вдоль оси, или в том, что порядок характеристического определителя очень высок и сложно не только решить характеристическое уравнение, но даже и составить его, т. е. раскрыть определитель. Встречаются случаи, в которых требуется быстрая, хотя бы и приближенная оценка динамических свойств системы. В перечисленных выше случаях приходится использовать или целесообразно использовать приближенные методы динамического анализа систем, состоящего в определении собственных частот колебаний, в установлении форм свободных колебаний, определении динамических коэффициентов и в проверке динамической прочности. В настоящем параграфе и рассматриваются такие методы. [c.238]

Наличие общих корней в правой и левой частях означает не что иное, как наличие общего множителя в характеристических полиномах левой и правой частей дифференциального уравнения исходной системы. Степень этого общего множителя —далее будем называть его фантомным полиномом —определяет число равных нулю постоянных интегрирования С и тем самым величину понижения порядка дифференциального уравнения при условии точного эквивалентирования. [c.269]

Очевидно, что характеристическое уравнение d tA( ) = О здесь всегда имеет три вещественных корпя )( = О и х = с . соответствующих контактной и звуковым характеристикам. Следовательно, система (1) является гиперболической. Разыскивая уравнения характеристик на плоскости R r,t) в виде г — r t), удобно взять в качестве задающей их функции h r,t) = г - r t). Тогда нормальный характеристический вектор запишется в виде — (1, -r (i)), а величина х будет равна х = и -где r t) — dr t)/dt. Отсюда получаются следующие дифференциальные уравнения характеристик системы (1) [c.134]

В приложении к линейным стационарным системам автоматического регулирования условие устойчивости сводится к тому, чтобы все корни А.1, А.2,. .., К характеристического уравнения, полученного по дифференциальному уравнению этой системы, имели отрицательные вещественные части или, что одно и то же, располагались на комплексной плоскости слева от мнимой оси (рис. 5.1). При выполнении условия устойчивости линейная система автоматического регулирования будет устойчива асимптотически, что непосредственно следует из решения ее дифференциального уравнения. Это решение х (/), определяющее значение регулируе- [c.87]

Примечание. Отсутстпие секулярных членов вида (а) в общем решении дифференциальных уравнении малых колебаний в случае кратных корней характеристического уравнения объясняется тем, что эти уравнения порождаются двумя положительно определенными квадратичными формами — кинетической и потенциальной энергиями. В других случаях эти члены действительно появляются в общем решении системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим как пример систему с двумя степенями свободы, уравнениями движения которой являются [c.254]

Уравнение (11.208) является характеристическим для системы дифференциальных уравнений (11.202а). [c.258]

Точно так же действительным корням А/ характеристического уравнения соответствуют в общем решении системы дифференциальных уравнений (И. 202а) члены Эти члены стре- [c.259]

Уравнение (11.334)—характеристическое для системы дифференциальных уравнений (II. 331Ь) ). Вычислив корни характеристического уравнения, найдем общее решение системы линейных дифференциальных уравнений (II. 331Ь) так, как это уже было показано в теории малых колебаний. [c.333]

Если среди корней характеристического уравнения есть кратные корни, то в общее решение системы дифференциальных уравнений (И.331Ь) войдут функции / р(0б , где — кратный корень уравнения (11.334), а fso )—полиномы от 1 степени, на единицу меньшей кратности корня Хр. [c.333]

Те направления dxjdt = k, для которых определитель 3Toii системы уравнений равен нулю и искомые частные производные не могут быть определены единственным образом, в теории дифференциальных уравнений называются характеристическими. [c.302]

Основная идея метода характеристик состоит в уменьшении числа независимых переменных в результате введения характеристических поверхностей (характеристических направлений). Как было показано в 2.2, определяя характеристики как линии, на которых решение задачи Kouin либо не существует, либо неединственно, удается систему двумерных уравнений газовой динамики в частных производных свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений направления и совместности, выполняющихся вдоль характеристик. Так, система уравнений в частных производных, описывающих одномерное нестационарное течение совершенного газа, сводится в результате применения метода характеристик к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль характеристик (2.53). Система уравнений, описывающая стационарное неравновесное течение газа, сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [c.112]

При исследовании системы с д)зумя степенями свободы приходится иметь дело с двумя дифференциальными уравнениями второго порядка и в соответствии с этим получается характеристическое уравнение четвертой степени. Существует точный способ решения таких уравнений, но из-за громозкости его рекомендовать нельзя. Ознакомимся с приближенным способом решения, позволяющим получать результаты с любой наперед заданной степенью точности. [c.285]

На основании этих критериев регулируемая система оказывается устойчивой, если все вещественные корни и все вещественные части комплексных корней характеристического уравнения, получаемого из заданного дифференциального уравнения, являются отрицательными. Исследование знаков корней характеристического уравнения производится по определителям, составленным из коэффициентов характеристическосо уравнения. Если в характеристическом уравнении [c.342]

Как мы уже отмечали в гл. VI (пп. 21, 23), то обстоятельство, что все характеристические показатели чисто мнимые, недостаточно для обеспечения устойчивости в строгом смысле однако оно будет достаточно для линейной устойчивости, по крайней мере вообще. Эта оговорка учитывает ту возможность, что характеристическое уравнение допускает кратные корни, наличие которых, как и в элементарном случае движений, определяемых одним линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами (т. I, гл. И, п. 43, в), может поставить под сомнение устойчивость. Это наличие кратных корней не подвергает сомнению устойчивость в случае голономных систем, как это косвенно следует из теоремы Дирихле для более общих систем, таких, например, как система (16 ), требуется, наоборот, дополнительное исследование. [c.237]

Если же функция Н не является знакоопределенной или зависит от времени, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому невозмущенное движение не может быть асимптотически устойчивым в системах, описываемых дифференциальными уравнениями Гамильтона, возможна либо устойчивость, либо неустойчивость. Следовательно, если линеаризованные уравнения не дают строгого решения вопроса об устойчивости (как, например, в случае установившихся движений при наличии у характеристического уравнения хотя бы одного корня с положительной вещественной частью), то возникает необходимость рассмотрения нелинейных членов в уравнениях (1), т. е. мы имеем критический случай теории устойчивости. [c.543]

Эти последние преобразования дифференциальных уравнений движения второго порядка системы притягивающихся или отталкивающихся точек во всех отношениях совпадают (не считая небольших различий в написании) с изящными каноническими формами, данными Лагранжем в Me anique Analytique, но нам казалось, что стоит вывести их заново из свойств нашей характеристической функции. Предположим (как это часто считается удобным и даже необходимым), что п точек системы не являются целиком свободными и подвержены не только своим собственным взаимным притяжениям и отталкиваниям, но связаны любыми геометрическими условиями и подвергаются влиянию любых внешних факторов, согласующихся с законом сохранения живой силы так, что число независимых отметок положения будет менее велико, а силовая функция менее проста, чем раньше. Тогда мы можем доказать при помощи рассуждения, очень сходного с предыдущим, что и при этих предположениях (которые, однако, дух динамики все более и более склонен исключать) накопленная живая сила, или действие V системы, представляет собой характеристическую функцию движения уже разобранного выше рода. Эта функция выражается тем же законом и формулой вариации, подверженной тем же преобразованиям, и обязана удовлетворять таким же способом, как и выше, конечной и начальной зависимости между ее частными производными первого порядка. Она приводит при помощи варьирования одной из этих двух зависимостей к тем же каноническим формам, которые были даны Лагранжем для дифференциальных уравнений движения, и дает, исходя из изложенных выше принципов, их промежуточные и конечные интегралы. По отношению же к тем мыслимым случаям, в которых закон живой силы не имеет места, наш метод также неприменим однако среди людей, наиболее глубоко занимавшихся математической динамикой вселенной, все более крепнет убеждение, что представление о таких случаях вызывается недостаточным пониманием взаимодействия тел. [c.189]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...