Определитель характеристический

После несложных выкладок находим определитель характеристической матрицы [c.108]

В этом легко убедиться, вычислив определитель характеристической матрицы например, для уравнений статики (и колебания) моментной теории упругости, характеристическая матрица имеет вид [c.59]

Ду (й ) — определитель характеристического уравнения, соответствующий к-щ члену первой строки при Q = 0 . [c.118]

Далее, выражение для определителя характеристической матрицы (6.17) здесь будет тем же самым (с заменой х на хО и его корни даются равенствами х = О или х = [c.95]

Для существования нетривиальных решений системы (4.2) определитель характеристической матрицы должен равняться нулю, [c.245]

Прежде чем сформулировать эти критерии, укажем важный необходимый признак устойчивости. Для этого раскроем определитель в характеристическом уравнении (16), и, собрав подобные члены, представим левую часть уравнения в виде полинома степени т ) [c.221]

Легко видеть, что если в этом определителе заменить iQ на комплексное переменное к, то он совпадает с характеристическим полиномом (24). Но у асимптотически устойчивой системы все нули характеристического полинома расположены слева от мнимой оси. Поэтому в таком случае определитель (66) отличен от нуля при любом й. [c.244]

Сложнее гарантировать единственность решения, хотя это так же важно, как и доказательство его существования. Наиболее надежные выводы получаются при известной форме поверхности минимизируемой функции в многомерном пространстве. Проблема эта тесно связана с анализом устойчивости равновесия и частично уже обсуждалась в 12, 13. Выше встречались различные формулировки условий устойчивости говорилось о существовании взаимно однозначного соответствия между термодинамическими силами и координатами, о постоянстве знака якобиана их преобразования (9.23), о положительной определенности квадратичных форм (12.32), (12.47), о знаке определителей матриц вторых производных характеристических функций (9.24), (12.20). Еще одно эквивалентное выражение условий устойчивости связано непосредственно с характеристикой формы поверхности рассматриваемой функции — это ее выпуклость. [c.185]

В этом уравнении входит в элементы главной диагонали. Преобра.зо-вание А. Н. Крылова позволяет представить характеристическое уравнение в такой форме, что частоты будут принадлежать элементам первого столбца определителя, находящегося в левой части характеристического уравнения. Это преобразование можно рассматривать как некоторый метод исключения N — 1 неизвестной функции из системы уравнений (II. 185) и получения дифференциального уравнения порядка 2N для определения некоторой функции из общего количества N функций qj. [c.241]

Примечание 2. Если det G ф О, то характеристический определитель системы имеет ровно s нулевых корней. Из устойчивости системы следует, что эти корни простые для элементарных делителей. [c.186]

Доказательство. Если отсутствуют потенциальные силы и число координат нечетное, то 1 С -Ь = Р О (как кососимметричный определитель нечетного порядка). В этом случае, согласно (6.128), свободный член вгз характеристического уравнения (6.127) равен нулю, что [c.201]

При максимуме потенциальной энергии все элементы l , стоящие на главной диагонали матрицы q, будут отрицательны. На основании соотношения (6.89) определитель I Со 4- Р I при нечетном числе координат отрицателен при любой кососимметрической матрице Р. Следовательно, свободный член характеристического уравнения при нечетном числе координат отрицателен, и система на основании теоремы 7 неустойчива. [c.202]

Раскрывая определитель, получим характеристическое уравнение относительно о [c.14]

А, В, С, р — постоянные, которые надо определить так, чтобы выражения для частных интегралов удовлетворяли системе (1.5.1). Подставляя в нее эти интегралы, получим систему алгебраических уравнений относительно этих постоянных. Решения такой системы имеют вид А = Д1/Д, В = AJA, С = Д3/Д, где Д — главный (характеристический) определитель, Д1, До, Дз — частные определители системы. Так как в нашем случае правые части алгебраических уравнений равны нулю, то также равны нулю и все частные определители системы. Следовательно, для получения нетривиальных (отличных от нуля) решений должно удовлетворяться равенство нулю главного определителя. [c.40]

Здесь p, и фг —корни соответствующего (6.11.4) характеристического уравнения, которое мы здесь не выписываем. Для неизвестной получается квадратное уравнение, имеющее один положительный и один отрицательный корень, которые зависят от жесткости, длины и массы стержня, а также от силы Р. Функция Z(z) удовлетворяет граничным условиям (6.11.3). Подставляя (6.11.5) в эти граничные условия, получаем однородную систему уравнений, которая имеет нетривиальное решение, если определитель ее равен нулю. В данном случае равенство нулю определителя приводит к нетривиальному результату, множитель в показателе экспоненты находится как функция сжимающей силы Р. Соответствующее трансцендентное уравнение мы не выписываем, исследование его довольно сложно и может быть выполнено лишь с помощью численных методов. Результат исследования состоит в следующем. При малых Р для со получается два действительных значения, с увеличением Р эти корни сближаются и при Р = Р сливаются в один действительный корень. При > , величина со становится комплексной, следовательно, прогиб неограниченно растет. [c.207]

Совершенно аналогично, заменяя один из столбцов определителя столбцом правых частей уравнений, приравняем получившийся определитель нулю. Подставляя в результат соотношения между dx и dt для первого и второго характеристического уравнения, получим соотношения между dv и de, выполняющиеся вдоль характеристик. Опуская выкладки, приведем окончательный результат. [c.567]

Характеристическое уравнение системы (а) представляет собой определитель, составленный из коэффициентов левой части уравнений (а) [c.302]

С составлением определителей ознакомимся на примере. Пусть дано характеристическое уравнение пятой степени, [c.342]

Четвертый определитель [в общем случае (п— 1)-й] составляется так, что по его главной диагонали выписываются коэффициенты Ьх, Ьг, Ьз, 4 характеристического уравнения. Вертикальные ряды, начиная от этой диагонали, дополняются коэффициентами того же уравнения вниз по убывающим индексам, а вверх—по возрастающим. Все коэффициенты, индексы которых получаются больше пяти (в общем случае больше п) или меньше нуля, заменяются нулями. [c.342]

Определитель, находящийся в левой части этого равенства, называется характеристическим. Не все корни уравнения (17.196) обязательно различны. Собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, линейно независимы. [c.146]

Вводные замечания. В ряде случаев исследование колебаний систем как с конечным, так и бесконечным числом степеней свободы описанными выше точными методами затруднительно вследствие большой математической сложности, состоящей либо в том, что дифференциальные уравнения имеют переменные коэффициенты, если, например, балка имеет неравномерное распределение масс и жесткостей вдоль оси, или в том, что порядок характеристического определителя очень высок и сложно не только решить характеристическое уравнение, но даже и составить его, т. е. раскрыть определитель. Встречаются случаи, в которых требуется быстрая, хотя бы и приближенная оценка динамических свойств системы. В перечисленных выше случаях приходится использовать или целесообразно использовать приближенные методы динамического анализа систем, состоящего в определении собственных частот колебаний, в установлении форм свободных колебаний, определении динамических коэффициентов и в проверке динамической прочности. В настоящем параграфе и рассматриваются такие методы. [c.238]

Полученное ураинение относительно X называется характеристическим уравнением, а соответствуюхций определитель — характеристическим определителем,. [c.98]

Определитель характеристический 146 01)тогональность собственных форм колебаний 239 [c.477]

Теоремы 103а не исчерпывают всех тех общих механических принципов, которые позволяют нам судить о характере корней основного определителя (характеристического уравнения), и поэтому рассмотрение вопроса, пожалуй, следует продолжить немного дальше. Мы всюду будем предполагать, что А однозначно и положительно. [c.165]

КРИТЕРИИ ОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧАСТЕЙ КОР-0Й ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ. Как следует из теорем Ляпунова, для суждения об устойчивости движения по первому дриближению необходимо иметь в своем распоряжении точные сведения о знаках вещественных частей корней характеристического уравнения. Иначе говоря, нужно знать, как расположены [ орни характеристического уравнения на комплексной плоскости относительно мнимой оси. Когда все корни характеристического уравнения лежат слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные вещественные части, полином, соответствующий развернутому определителю характеристического уравнения, называется ус-щойчивым полиномом. Решить вопрос об устойчивости или неустойчивости полинома можно без предварительного вычисления его корней с помощью специальных критериев устойчивости, предложенных Э. Раусом, А. Гурвицем, X. Найквистом, А. В. Михайловым [113] и др. В основе этих критериев лежат известные теоремы Коши о числе корней функции внутри замкнутого контура. Некоторые из таких критериев дают возможность не только установить распределение корней полинома на комплексной плоскости, но также и определить необходимые изменения параметров системы, для того чтобы сделать ее движение устойчивым. [c.451]

Критерий Гурвица(в форме Льенара — Шипара). Составим из коэффициентов характеристического полинома (24) определитель, носящий название старшего определителя Гурвица [c.222]

Критерий Гурвица ) (в форме Льенара — Шипара) утверждает следующее для того чтобы характеристический полином (24) со всеми отличными от нуля и положительными коэффициентами был гурвицевым, необходимо и достаточно, чтобы в последовательности определителей (27) все определители с четными индексами [c.222]

Уравнение (И. 188Ь) является преобразованным по методу А. Н. Крылова уравнением частот ). Искомые частоты входят лишь в первый столбец. Раскрытие определителя в уравнении (И.188Ь) и упорядочение уравнения по убывающим степеням здесь значительно проще, чем при непосредственном применении характеристического уравнения (II. 186). [c.242]

Найдем из характеристического уравнения (105), например, корень Щ и подставим его в систему уравнений (103). Так как определитель А(А ) равен нулю, то в системе (ЮЗ) будет только п— 1 независимых уравнений. Опуская последнее уравнение в системе (103), лолучаем укороченную линейную систему алгебраических уравнений относительно отношений коэффициентов Р/Ап которую выпишем в развернутом виде [c.593]

В заключение этого параграфа заметим, что в общем виде условие Гурвица очень удобно при /г 4. В тех случаях, когда п велико и левая часть характеристического уравнения имеет форму определителя и не приведена к многочлену (раскрытие определителя большого порядка представляет трудоемкую задачу), целесообразно перейти к численным методам с использованием электронных вычислительных маншн. Численные методы с применением ЭВМ полезны и в тех случаях, когда характеристическое уравнение задано в форме многочлена. [c.110]

Приравнивая нулю определитель это системы, nofljiMMM характеристическое уравнение [c.112]

Составляя определитель для этой системы и требуя для нетри-виальности решения равенства его нулю, получаем для характеристического показателя Я. следующее выражение [c.128]

Исследование устойчивости стационарных речений можно, как и в предыдущей задаче, провести методом возмущенпи. Тогда для случая нулевой стационарной ами,титулы нужно составить определитель для нахождения характеристического показателя А. Если правые части укороченных уравнений (4.5.9) обозначить через фд (п, V) н Фг(п, п), то для рассматриваемой задачи имеем [c.170]

Те направления dxjdt = k, для которых определитель 3Toii системы уравнений равен нулю и искомые частные производные не могут быть определены единственным образом, в теории дифференциальных уравнений называются характеристическими. [c.302]

Равенство пулю характеристического определителя из 1 оэффи-цпептов нрп частных производные от г и дает выражезшя для двух характеристических нал равнений, а равенство нулю определителя, в котором, в отличие от характеристического, один из столбцов заменен столбцом и свободных членов, дает условия па характеристиках. В результате несложных выкладок по-лучим [c.9]

КОСТИ Ха направления. Может случиться, что для некоторого направления, составляющего угол ф с осью так что tgф = = dxjdxu знаменатель в формуле (15.8.6) обращается в нуль. Это направление называется характеристическим направлениел , а линии, пересекающие ось Xi под углом ф, характеристиками. Для того чтобы соотношение (15.8.6) имело смысл, необходимо, чтобы числитель также обращался в нуль для того же направления. Но определитель Dp, i содержит дифференциалы dp и di ), следовательно, уравнение i = О представляет собою соотношение между dp и dijj, выполняющееся вдоль характеристики. Иногда это соотношение оказывается возможным проинтегрировать, и мы получаем в замкнутом виде интеграл вдоль характеристики. Итак, положим Л = 0. Опуская элементарные выкладки, связанные с раскрытием определителя четвертого порядка, придем после упрощений к следующему дифференциальному уравнению характеристик [c.502]

Мы получим систему из четырех уравнений (16.11.3) — (16.11.5) для четырех частных производных dv/dx, dv/dt, defdx, de/dt. Приравнивая нулю определитель системы, мы получаем соотношение между дифференциалами dx и dt, определяющее характеристические направления. [c.567]

Система уравнений (6.11.21), (6.11.22) однородна, и щ -тривиальное рещение этой системы имеет место только в том случае, когда ее определитель равен нулю. В результате удается получить характеристическое уравнение для определения безразмерного инкремента затухания X в зависимости от безразмерного волнового числа к и безра -мерных критериев Ве = 0 у. и г [c.335]

На основании этих критериев регулируемая система оказывается устойчивой, если все вещественные корни и все вещественные части комплексных корней характеристического уравнения, получаемого из заданного дифференциального уравнения, являются отрицательными. Исследование знаков корней характеристического уравнения производится по определителям, составленным из коэффициентов характеристическосо уравнения. Если в характеристическом уравнении [c.342]

В устойчивой системе регулирования все определители ее характеристического уравнения (при Ьз>0) должны быть больще нуля. [c.342]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...