УРАВНЕНИЯ - УСИЛИЯ в пластинах

Использовав граничные условия с помощью выражения для прогиба, получим систему четырех алгебраических уравнений относительно постоянных i, С2, С3 и С4. После их определения задача расчета пластины по существу может считаться решенной. Подставив эти постоянные в выражения для прогиба и внутренних усилий в пластине, можно записать окончательные решения в виде замкнутых формул, которые, однако, имеют достаточно громоздкий вид и в силу этого не приводятся. [c.461]

Исходная система уравнений, необходимых для определения продольных усилий и перемещений в ребрах и касательного усилия в пластине, дана в разд. 1.3, где содержится ее подробный, вывод. В частности пока-зано, что продольные усилия в ребрах и продольные перемещения в них могут быть выражены через функции напряжений Фь Фг,..., Фп, получаемых путем решений системы п линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (1.23). Принципиальных трудностей в решении системы (1.23) нет. Однако в общем случае, когда жесткость всех ребер разная и участки пластины между ребрами различны, решение оказывается все же громоздким. [c.26]

Найдем касательные усилия в защемленной панели и сравним их с усилиями в такой же панели, но имеющей постоянную площадь сечения ребер. Пусть So — касательные усилия в пластине, подкрепленной ребром 1 переменного поперечного сечения (см. рис. 1.10) —усилия в пластине с ребрами постоянной площади поперечного сечения. Из первого уравнения (1.118) с учетом формул (1.120) и (1.124) имеем [c.50]

Применение сингулярных интегральных уравнений для определения критических усилий в пластинах с трещинами // Физ.-хим. механика материалов. 1965. Т. 1. Вып. 4. [c.430]

Коэффициенты этих уравнений находятся путем расчета отдельных пластин (см. 4.7) на воздействия нагрузок, распределенных вдоль кромок по гармоникам номера т, отвечающим амплитудам /) , Xim) = 1 и = 1. Проделав вычисления для m = 1, 2,. . ., М и суммируя результаты вычисления напряжений в интересующих точках отдельных пластин, получаем распределение внутренних усилий в рассматриваемой пластинчатой конструкции. [c.108]

Сравнение уравнений равновесия для элемента пластины (6.8) и для балки (6.7) показывает их аналогию, но в то же время позволяет обнаружить и существенное различие. В два уравнения (6.7) входят две неизвестные функции Q и М, что при заданной внешней нагрузке (включая опорные реакции) позволяет проинтегрировать эти уравнения и найти внутренние усилия в сечениях стержня Q и М только из уравнений статики (задача статически определима). [c.155]

В пластине в три статических уравнения (6.8) входят пять неизвестных функций Мх, Му, Н, Qx и Q,j. Поэтому в общем случае задача определения внутренних усилий в сечениях пластины статически неопределима. Ее можно решить только одновременно определяя и прогибы пластины w = w (х, у). Для этого надо составить разрешающее уравнение относительно функции w. [c.155]

После того как функция прогибов w х, у) будет найдена как решение этого уравнения, через прогибы легко вычислить по полученным ранее формулам усилия и напряжения в пластине. [c.157]

Это уравнение служит основным уравнением теории устойчивости изотропных пластин. Здесь усилия считаются заданными, т. е. найденными в результате предварительного решения плоской задачи теории упругости. Заметим, что обычно начальное напряженное состояние бывает достаточно простым, анализ уравнения [c.415]

Прямоугольная пластина, подверженная действию сил в ее плоскости, находится в плоском напряженном состоянии. При этом в пластине имеются в общем случае внутренние усилия Nj , N у и Л/д,,, а нормальное перемещение w равно нулю. Предположим, что при некотором сочетании значений внутренних усилий наряду с плоской формой равновесия становится возможной сколь угодно близкая к ней искривленная форма равновесия. При этом уравнение равновесия (16.63) в направлении нормали к срединной плоскости примет вид [c.414]

Абсолютно гибкие пластины мембраны). Предполагается, что мембраны представляют собой настолько гибкие пластины, что поперечная нагрузка, действующая на них, уравновешивается только составляющими от усилий в срединной поверхности (цепных усилий). Величиной же изгибающих и крутящего моментов, равно как и поперечными силами, можно пренебречь. В то же время прогибы и искривления срединной поверхности достаточно велики, поэтому уравнение совместности деформаций имеет такой же вид, как и в системе (6.19). [c.130]

В самом деле, если пластины жесткие и усилиями в срединной плоскости (Л , Т) можно пренебречь, то первые два уравнения системы исчезают, а в уравнении (6.27) можно положить равным нулю выражение, стоящее в фигурных скобках в правой части. Тогда из системы (6.25)—(6.27) остается только одно уравнение С. Жермен [c.135]

Перейдем к выводу уравнений равновесия. Выделим из круглой пластины (см. рис. 6.5) элемент аЬс(1 двумя радиальными сечениями с углом 0 между ними и двумя концентрическими сечениями, отстоящими друг от друга на расстоянии г. Рассмотрим усилия, действующие по сторонам выделенного сечения (рис. 6.6). В радиальных сечениях а(1 и Ьс будут действовать только нормальные силы Nв и изгибающие моменты Ме, причем, поскольку усилия II деформации не зависят от угла 0, величины этих усилий в сечениях а(1 и Ьс будут одинаковы. В сечениях аЬ и с с будет действовать, помимо нормального усилия Мг и изгибающего момента Мт, также поперечная сила Q. Эти усилия являются функциями только координаты г. [c.140]

Запишите уравнения равновесия для гибких пластин в усилиях. [c.145]

Если принять, что на кромках действуют одновременно усилия N1 и 1 у, то из (6.22) получим уравнение для исследования устойчивости пластины в следующем виде [c.178]

Если задача решается в геометрически нелинейной постановке (при этом пластина считается гибкой, а ее прогибы достаточно велики, и необходимо учитывать взаимное влияние прогибов и усилии в срединной поверхности), то в уравнении энергии следует учитывать не только энергию изгиба, но и энергию срединной поверхности. Энергия срединной поверхности ТУ<, вычисляется по уравнению (6.35). Однако для вычисления ее необходимо знать выражение функции напряжений ср. [c.196]

Если на пластину действует нормальная распределенная нагрузка р2 = Рг (х, у), то независимо от усилий в срединной плоскости пластины условие равновесия элемента пластины — проекция на ось Z всех приложенных к элементу пластины сил — приводит к уравнению [c.139]

По форме уравнение (4.33) совпадает с уравнением поперечного изгиба пластины (4.18), только вместо поперечной нагрузки Р , фигурирующей в уравнении (4.18), в уравнение (4.33) входит величина Pj, линейно зависящая от поперечного прогиба и начальных усилий в срединной плоскости пластины. Совпадение это естественно вывод линеаризованного уравнения (4.33) аналогичен выводу уравнения поперечного изгиба пластины, но роль внешней нормальной нагрузки играют проекции внутренних начальных усилий Тх, Ту, S на ось z, появляющиеся в результате учета поворотов граней элемента пластины. Это позволяет трактовать величину р2 как фиктивную поперечную нагрузку. [c.146]

Заметим, что при другом нелинейном законе изменения = = Ях у) определение начальных внутренних усилий в срединной плоскости пластины резко усложняется.) Основное уравнение (4.57) принимает вид [c.173]

Напомним, что во всех приведенных выражениях начальные усилия Т , Т°у, 5 считались найденными из решения уравнений безмоментной теории оболочек (6.35). Воспользовавшись записью энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко (см. 10), можно избежать определения начальных усилий в оболочке, но для этого необходимо найти перемещения точек срединной поверхности оболочки второго порядка малости, как это сделано для кругового кольца и пластин. [c.249]

Последние слагаемые в этих уравнениях представляют собой проекции поперечных сил, возникающие вследствие того, что грани деформированного элемента dx dy повернуты относительно друг друга (рис. 2.30). Усилия в срединной поверхности Т , Ту, Sxy влияют на изгиб пластины только в том случае, если они существенно больше поперечных сил. В противном случае справедлива линейная теория изгиба. В уравнениях (2.114) поперечные силы множатся на малые кривизны изогнутой пластины, поэтому последними слагаемыми можно пренебречь (сравните G изложенной в 35 теорией пологих оболочек) и записать эти уравнения в виде [c.114]

Дифференциальное уравнение установившихся поперечных колебаний изотропной круглой пластины в амплитудном состоянии с учетом сжимающих усилий в срединной плоскости следует из (7.53) при использовании соотношений (7.30), (7.31) (рисунок 7.16) [c.468]

Это уравнение аналогично дифференциальному уравнению изгиба балки, в котором изгибная жесткость EJ заменяется цилиндрической жесткостью D. В силу этого цилиндрический изгиб пластины можно рассматривать как изгиб множества балок-полос прямоугольного сечения единичной ширины, мысленно вырезанных из пластины в поперечном направлении (рис. 20.16, а, б). Расчет таких балок-полос производится обычными методами сопротивления материалов (построение эпюр внутренних усилий, определение напряжений и т. п.). [c.432]

После определения Z из уравнения (4) перемещения и усилия вычисляются во всех сопряжениях по рекуррентным формулам (1) — (3), а в промежуточных сечениях элементов — с помощью соотношений вида (1), в которые вместо координаты нижнего края 1 подставляется координата рассматриваемого сечения. Напряжения выражаются через найденные перемещения ж усилия в сечениях с помощью известных соотношений теории оболочек, пластин и колец. [c.78]

Подставляя (4.2 2) е уравнения (4.1.9), получаем формулы для определения тангенциальных усилий в бесконечной пластине при действии единичной сосредоточенной силы в направлении оси (Л = 1,2) [c.112]

После решения системы уравнений (8.25) получаем числовое поле прогибов (рис. 8.22). Поверхность изогнутой пластины изображена на рис. 8.23. Общий множитель у прогибов qM4D. Теперь с помощью операторов внутренних усилий (рис. 8.18, 8.19) могут быть вычислены моменты в пластине. На рис. 8.24 для и = 0,25 показаны изгибающие моменты Л/д., а на рис. 8.25— крутящие моменты/Г. Обратим [c.245]

Представим себе, что пластина нагружена таким образом, что усилия Гар отличны от нуля, а прогиб W и, следовательно, моменты Мцр равны нулю. Будем называть такое плоское напряженное состояние в пластине начальным напряженным состоянием. В отношении него будем употреблять термин безмоментное состояние. Поставим задачу об устойчивости пластины по отношению к весьма малым (бесконечно малым) искривлениям срединной плоскости. При определении усилий Уар мы должны были пользоваться обычными уравнениями плоской задачи теории упругости, а следовательно, линеаризированными выражениями для Сае- Если пластина получает малое изгибное возмущение w, то, конечно, величины iVaWn малы по сравнению с Ма, е, но при варьировании прогиба в (12.10.2) именно эти члены, являющиеся множителями при больших Та , должны варьироваться. [c.415]

В простейших случаях решение задачи о напряженном состоянии пластин под действием сил в их плоскости может быть легко получено на базе уравнений в усилиях. Пусть, например, пластина сжата равномерным погонным усилием Л ю в направлении оси Ох, равномерным погонным усилием в направлении оси Оу и подвержена сдвигающему равномерному усилию Л/1201 приложенному вдоль кромок пластин (см. рис. 17.5). Пааагая [c.413]

Задача осесимметричного изгиба жестких пластин сводится к решению одного уравнения (6.56). В этом случае усилиями, действующими в срединной поверхности, молшо пренебречь, и уравнения равповеспя (6.45) и совместности деформаций (6.43) удовлетворяются тождественно. [c.143]

Как видно из уравнения (7.108), выпучивание пластин может происходить при различных сочетаниях сжимающих усилий Л, и в аавнспмости от количества полуволн т, п в направлениях осей хну. [c.178]

Использование оешение уравнений теории пластин и оболочек при заданых размерах S, R, I, е, /, tfi позволяло устанавливать краевые усилия М, Q, Р, перемещения w, v и упругие напряжения в зонах сопряжения. Возникновение изгибных усилий в этих зонах приводило к повышению напряжений в 1,2—2,2 раза по сравнению с общими номинальными напряжениями в гладкой части (цилиндрическая или сферическая). [c.30]

Широкое внедрение ЭВМ в расчетную практику позволило создать библиотеки подпрограмм для различных элементов оболочек и пластин, позволяющие по единообразным данным о геометрии элемента, поверхностным и краевым нагрузкам и перемещениям вычислить неизвестные перемещения, усилия и напряжения в сечениях элементов. Для многих тонкостенных элементов постоянной толщины имеются аналитические формулы, например для цилиндрических, сферических, конических оболочек, круглых и кольцевых пластин, некоторых оболочек линейно-переменной толщины. Традиционные методы строительной механики - методы сил, перемещений, начальных параметров — позволяют рассчитьшать конструкции, представленные в виде различных комбинаций базисных элементов. Численная процедура сводится к решению систем алгебраических уравнений относительно неизвестных перемещений или усилий в местах сопряжения элементов. [c.45]

Здесь X = (Eu), Ev, М, Q) - вектор перемещений и усилий, соответствующих общему решению однородного дифференциального уравнения изгиба оболочки, растяжения или изгиба пластины либо растяжения или кручения кольцевого элемента Хо,ч. 1,ч то же для частного решения неоднородного уравнения АХ — вектор разрьгеов перемещений и усилий в сопряжениях Е - модуль упругости в пределах пропорциональности напряжений и деформаций А - матрица перехода от вектора Xq к вектору Xi нижние индексы О и 1 относятся к начальному и конечному краям элемента. [c.206]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

Анализ закритического поведения аэроуп-ругих систем важен, так как во многих случаях превышение критической скорости флаттера не вызывает мгновенного разрушения конструкции, а приводит к установившимся колебаниям. Характеристики этих колебаний (амплитуды, и частоты) используют для оценки времени функционирования конструкции до разрушения. Необходимо рассматривать конечные деформации и геометрическую нелинейность. Наряду с геометрическими нелинейностями для расчета критических параметров потери устойчивости и поведения конструкции при флаттере в ряде случаев важен учет неупругих свойств материалов и аэродинамических нелинейностей. Учет нелинейных факторов позволяет, в частности, обнаружить статические и динамические формы потери устойчивости при немалых возмущениях, которые могут реализоваться при меньших значениях сжимающих нагрузок и скоростей потока, чем те, которые получаются на основе линейной теории. В тонкостенных конструкциях конечные прогибы вызывают растягивающие усилия в срединной плоскости. Так, рассматривая в качестве модели обшивки бесконечно длинную пластину, лежащую на упругом основании и обтекаемую газом, приходим к уравнению [c.523]

В этих соотношениях X = w, М, Q вектор радиальных и угловых перемещений, изгибаюш,их и перерезываюш их усилий, соответ-ствуюш их обш ему решению однородного дифференциального уравнения изгиба оболочки или пластины либо кручения кольцевого элемента Хп, Хщ — то же для общего и частного решений неоднородного уравнения АХ — вектор разрывов перемещений и усилий в сопряжениях А — матрица перехода от вектора Хд к вектору Х нижние индексы О, 1 и I, II относятся к верхнему и нижнему (начальному и конечному) краям соответственно одного элемента и составной последовательности N элементов. При этом Хц = X -f Xq Xi = Xj Хц = Xf. [c.77]

В середине 70-х гг. методом граничных элементов широко пользовался Круз с сотрудниками [62—66]. В этом подходе поверхность трехмерного тела, включая поверхность трещины, моделируется двумерными (поверхностными) элементами, внутри которых интерполируются перемещения и усилия. Эти поверхностные (граничные) элементы могут иметь произвольную форму, например они могут быть двумерными изопараметриче-скими криволинейными. Далее, плоские элементы, одна из сторон которых совпадает с отрезком фронта трещины, могут принадлежать к такому типу изопараметрических элементов, которые содержат описания перемещений в функции г (где г — нормальное радиальное расстояние от фронта трещины) [64, 65, 67, 68]. Пользуясь методом граничных элементов, который приводит к уравнению типа (4.14), перемещения и усилия рассчитывают для узлов, находящихся на границе твердого тела и, следовательно, на поверхности трещины. Коэффициент К определяют экстраполяцией, пользуясь величинами перемещений узлов, находящихся вблизи фронта трещины [67, 68]. В работе [68] приведено впечатляющее исследование полуэллип-тического поверхностного дефекта в пластине, подвергнутой такому нагружению, что нормальные напряжения в зоне трещины могут быть представлены полиномами вплоть до четвертого порядка по толщине пластины, т. е. по направлению t, причем эти напряжения аппроксимируются в пластине без трещины. В этой работе представлены результаты для различных отношений глубины трещины к толщине пластины ajt отмечено, что точность расчетов составляет порядка 5%. В [67, 68] была использована методика подконструкций, благодаря которой вблизи поверхности трещины применялась более мелкая сетка из работы [c.207]

Рассматриваемая задача представляет собой задачу о внутренней трещине, находящейся в сравнительно тонкостенном конструкционном элементе, для исследования которого применяют теорию пластин или оболочек. В обычной системе обозначений, принятой ниже и отнесенной к локальной системе координат, представленной на рис. 1, ui, U2 и Uz — компоненты вектора перемещений, Pi и Р2 — углы поворота нормали к нейтральной поверхности в плоскостях Х1Х3 и Х2Х3, Nij, Мц и Vi (i, j = 1,2) — результирующие мембранных усилий, момента и усилий поперечного сдвига. Принимаем также, что задача о сквозной трещине в пластине или оболочке поставлена и сведена к системе интегральных уравнений. В [11—16] принято, что неизвестными функциями интегральных уравнений являются производные перемещений поверхности трещины и углов поворота нормалей к нейтральной поверхности. Это является естественным следствием постановки задачи для пластины пли оболочки со смешанными краевыми условиями. В случае симметричной задачи о сквозной трещине в области —а <. Х <. а (расположенной в одной из главных плоскостей кривизны) пластины или оболоч- [c.245]

Сделано обобщение системы дифференциальных уравнений типа Кармана относительно нормального прогиба и функций усилий в срединной поверхности, полученной ранее А. Н. Кудиновым 74] для цилиндрической панели, на случай конической оболочки. 1ринимается, что температура изменяется только по толщине оболочки. Получены формулы для жесткостных характеристик оболочек (пластин) из КМ, находящихся в нестационарном температурном поле. [c.75]

КасательнЬге усилия Sj в пластине определяются из любого уравнения равновесия (1.32). [c.26]

Эти уравнения можно использовать как формулы для определения усилий Na и Л 2 в ребрах, если известны уделуные касательные усилия S в пластине. [c.78]

Ю. п. Кочанов [21] проанализировал задачу для пластины с двумя продольными ребрами, расположенными на некотором расстоянии от кромок и нагруженными на участке длины равномерно распределенными касательными усилиями в случае подкрепленных поперечных кромок. Решение ищется в виде суммы двух тригонометрических рядов, одного по продольной и второго по поперечной координате. В итоге получается. бесконечная система уравнений для коэффициентов рядов, которая решается методом последовательных приближений. Несколько упрощенный подход к решению аналогичной задачи дан Ю. Н. Раскиным [3 4]. На первом этапе решения подкрепления на кромках считаются абсолютно жесткими. Разыскиваются напряжения в ребрах. Затем накладывается добавка напряжения в силу конечной жесткости ребер при условии, что эта Добавка не меняет характер распределения напряжений в ребре. Такой подход позволил обойти бесконечную систему, заменив ее системами конечного числа алгебраических уравнений. Как видно из приведенного выше обзора, задачам включения для пластин посвящено большое число публикаций. В данной главе из-за ограниченности объема обсуждены только основные заДачи и способы решения. Специалисты, более глубоко заинтересованные данной проблемой, могут воспользоваться перечнем литературы, приведенным, в конце главы. [c.128]

Задачу о распределении продольных усилий по длине ребра (стрингера) переменного сечения, присоединенного к пластине, по-видимому, впервые в точной постановке рассмотрел Э. Рейсснер [72] на примере полубесконечной пластины, к которой нормально к границе присоединен стрингер, лагруженный на, конце оилрк . В этой работе было получено разрешающее сингулярное интегро- дифференциальное уравнение для продольных усилий в стрингере. Отмечена аналогия этого уравнения с уравнением Прандтля, получаемым при рассмотрении обтекания тонкого крыла потоком воздуха. Эта же аналогия отмечалась позднее С. Бенскоттером [52], который, как уже отмечалось, рассмотрел ребро конечной длины. Уравнение полученное Э. Рейсснером, оказалось достаточно сложным и в работе не решено. [c.170]

Остановимся кратко на задачах включения для цилиндрической оболочки. Для пластин эти задачи детально обсуждены в первых трех главах книги. Что 1 касается круговых цилиндрических оболочек, то работ в этой области немного. Можно сослаться на статью Ф. Фишера [75], в которой исследован случай бес- конечно длинной круговой цилиндрической оболочки с бесконечно длинным реб-ром, нагруженным в начале координат продольной сосредоточенной силой (ана- лог задачи Е. Мелана для пластины). Решение задачи стронтси путем разреза-ния оболочки по линии присоединения ребра. Получается незамкнутая панель,, к уравнениям которой сначала применяется преобразование Фурье по продоль- Ной координате. После этого интегрируются обыкновенные дифференциальные уравнения. Константы определяются в явном виде из условий стыковки с реб- > ром для изображения. Трудность, как обычно, состоит в вычислении интегралов. обратного преобразования. Это делается комбинированием квадратурных формул. и асимптотических разложений. Показано, что решеняе по теории пологих оболочек и теории И. Снмондса [82] практически совпадает. Эта задача с учетом изгиба ребер в цитированной статье Ф. Фишера решена впервые. Характер особенностей решения в окрестности приложенной силы, однако, в работе не выведен. Но можно отметить, что как и в задаче Мелана, касательные усилия взаимодействия между ребром и оболочкой будут иметь логарифмическую особен- ность в точке приложения силы. К задаче включения можно приписать и задачу [c.322]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...