Точка — Движение Радиус и вектор

Пример 3.15.2. Рассмотрим движение материальной точки в вертикальной плоскости в поле параллельных сил тяжести. Материальная точка соединена нитью длины I с неподвижной точкой О. Нить реализует одностороннюю связь вида г < /, где г — радиус-вектор материальной точки, имеющий начало в точке О. Когда нить натянута, материальная точка описывает окружность радиуса /, и ее движение подчиняется уравнению [c.294]

Покажем, что ускорение любой точки М плоской фигуры (так же, как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры. Положение точки М по отношению к осям Оху (см. рис. 146) определяется радиусом-вектором г=гл+г, где г —AM. Тогда [c.140]

Обозначая аир углы, соответственно образуемые радиусом-вектором г точки М и вектором v скорости этой точки с осью х, составляем дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах [c.258]

С твердым телом может быть связана геометрическая твердая среда (см. гл. I), т. е. система отсчета. Поэтому все кинематические соотношения, полученные в гл. I для движения одной системы отсчета относительно другой, полностью применимы и к движению твердого тела относительно какой-либо системы отсчета, не связанной с телом. В частности, при движении тела в каждое мгновение существует вектор угловой скорости (о такой, что скорости точек тела распределены по закону г ,-= + и хг,-л, где /4 — произвольно выбранная точка тела, а — радиус-век-тор, проведенный к г-й точке тела из точки А. [c.167]

Векторная величина, характеризующая быстроту изменения направления и числового значения скорости, называется ускорением. Обратим внимание на некоторые особенности изменения вектора ускорения. Допустим, что точка Л движется по криволинейной траектории, и для простоты представим, что на некотором участке радиус р кривизны траектории остается неизменным (точка движения по дуге окружности). Пусть в момент времени х точка занимает положение Лх и ее скорость х (рис. 1.105, а), а через Д(= = 2—ti в положении Л а скорость точки 2- За это время направление скорости изменилось на угол ф (угол смежности), а модуль скорости изменился на Па—Пх. Вычитанием вектора г а из г х определим геометрическое (векторное) изменение скорости Де =г а— х за время Д(. Разделив вектор изменения скорости Д на Д(, получим век- [c.84]

Существуют и другие способы задания движения точки. При векторном способе задания закона движения радиус-вектор г движущейся точки М (рис. 3.1) дается как функция времени г = г 1). Связь между радиусом-вектором г и декартовыми координатами точки выражается равенством [c.217]

Движение материальной точки под действием центральной силы происходит в плоскости, проходящей через вектор-радиус и начальную скорость точки. Для его исследования удобно ввести полярные координаты и использовать формулу Бине [c.14]

При изучении курса физики установлены основные понятия кинематики точки и твердых тел. При движении точки по траектории скорость и ускорение точки рассматриваются как векторные величины. При этом вектор скорости V направлен по касательной к траектории, и его модуль (числовое значение) равен первой производной от пути по времени v = ds вектора скорости по времени а = с1 и/с1/. Он может быть разложен на две составляющие вектор касательного ускорения а , направленный по касательной к траектории и равный по модулю а = dv di и вектор нормального ускорения направленный по главной нормали к траектории в данной точке в сторону вогнутости кривой и имеющий модуль а, == у-/р, где р — радиус кривизны траектории. Модуль вектора ускорения а = ] а + я- [c.28]

Для тех случаев, когда тело совершает сложное движение, например вращается вокруг оси в то время, как эта ось поворачивается, удобно изображать угловую скорость вектором, направленным вдоль оси вращения Величина и положение вектора показывают величину угловой скорости и положение оси вращения. Но вектор угловой скорости, как и вектор момента силы относительно точки, отличается от прочих известных нашим читателям векторов (скорость точки, ускорение точки, радиус-вектор, сила и др.) тем, что, изображая его стрелкой соответствующей длины, отложенной вдоль оси вращения, надо (вполне произвольно) условиться относительно направления стрелки. В нашем курсе мы всюду пользуемся правой системой координат, поэтому установим и для вектора угловой скорости правило правого винта, т. е. будем направлять вектор угловой скорости вдоль оси вращения к той ее стороне, с которой вращение тела представляется происходящим против вращения часовой стрелки. Так, например, вектор угловой скорости земного шара, вращающегося с запада на восток, мы направим к северному полюсу глядя с северного полюса, мы увидели бы Землю вращающейся против часовой стрелки. [c.167]

Итак, в этой плоскости расположен вектор скорости точки в данное мгновение и в мгновение бесконечно близкое, когда точка Ml сколь угодно близка к точке М. Ускорение характеризует изменение скорости точки в данное мгновение, следовательно, вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости. Нормальная составляющая ускорения направлена перпендикулярно скорости 3 этой плоскости по так называемой главной нормали к траектории S сторону вогнутости, и при всяком криволинейном движении по модулю равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории. [c.38]

Q. Опустим из точки О, принятой нами за центр момента, перпендикуляр (плечо) h на вектор Q или на его продолжение. Соединим центр моментов О с началом и с концом вектора. Произведение количества движения на плечо, или, что то же, удвоенную площадь треугольника ОКБ, изобразим вектором Lo, направленным от центра О перпендикулярно плоскости ОКВ. Вектор Ъо условились восставлять с той стороны плоскости, с которой вектор Q представлялся бы поворачивающимся вокруг центра О против хода стрелок часов. Вектор Lq выражает момент количества движения точки К относительно точки О. Пользуясь понятиями векторной алгебры, скажем, что момент количества движения Lo точки К относительно какой-либо точки О (центра) выражается векторным произведением радиуса-вектора г = ОК на количество движения Q этой точки [c.144]

Вычисление функции 1/(1) завершает решение задачи Коши об определении закона движения материальной точки по заданным начальным значениям радиуса-вектора и вектора скорости. [c.263]

Радиус-вектор гу и вектор скорости Уу служат начальными условиями для движения свободной материальной точки в поле параллельных сил тяжести. [c.295]

Плоскость Лапласа перпендикулярна вектору кинетического момента системы и не меняется при движении материальных точек. Сами точки не обязаны перемещаться в плоскости Лапласа. В случае задачи двух тел зта плоскость может быть построена как геометрическое место линий пересечения плоскостей 7 1 и образованных радиусами-векторами и векторами скорости соответственно каждого из тел. [c.389]

Пример 5.5.1. Положение точки на плоскости можно задавать полярными координатами г и v (рис. 5.5.1), а траекторию точки — функциями r t) и fit). Обозначим a(t) площадь, заметаемую радиусом-вектором при его движении по заданному закону. Между радиусом-вектором, полярным углом и площадью сг имеется следующее кинематическое соотношение [c.422]

Рассмотрим систему материальных точек с массами и радиусами-векторами г . Движения точек стеснены связями. По аксиоме об освобождении от связей последние можно заменить реакциями, действующими на точки системы. Пусть Н означает вектор удара, получающегося как предел импульса реакции (см. 3.15). Уравнения удара для каждой точки можно записать в виде [c.432]

Случай круговой траектории. Из закона неизменности секторной скорости в случа( движения точки по окружности под действием центральной силы следует, что скорость точки сохраняет постоянную величину и направление ее перпендикулярно к направлению полярного радиуса-вектора. Точка имеет только нормальное ускорение [c.506]

Векторный способ. В этом способе положение интересующей нас точки А задают радиусом-вектором г, проведенным из некоторой неподвижной точки О выбранной системы отсчета в точку А. При движении точки А ее радиус-вектор меняется в общем случае как по модулю, так и по направлению, т. е. радиус-вектор г зависит от времени t. Геометрическое место концов радиуса-вектора г называют т р а е к т о р и -е й точки А. [c.10]

Это значит, что вектор скорости v точки в данный момент времени равен производной от радиуса-вектора г по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения точки А (как и вектор dr). Модуль вектора v равен [c.11]

Выберем в пространстве неподвижную точку О и проведем из этой точки в точку М, движение которой изучается, радиус-вектор г (рис. 15). Ясно, что радиус-вектор г однозначно определяет иоложение точки М. Каж--------------— [c.71]

Конечно, существует непосредственная связь между векторным и координатным способами определения движения точки в пространстве. Легко заметить, что траектория движения точки есть годограф радиуса-вектора точки ). Уравнение (И.2) является уравнением годографа г=г (/) в параметрической форме. [c.73]

Здесь принимается, что силы, действующие на точку, могут зависеть от времени I, от положения точки, определяемого ее радиусом-вектором г и от скорости движения точки у= г. [c.318]

Уравнение пройденного пути позволяет определить скорость движения, но оно ничего не говорит о направлении движения. Желая одновременно знать и величину скорости движения и направление движения, введем понятие вектора скорости. Для этого будем определять положение движущейся по траектории точки М вектор-радиусом ее г. Каждому моменту времени соответствует свой вектор г по аналогии с обычным понятием функции можно назвать вектор г вектор-функцией аргумента I и обозначить через > (/). [c.163]

Отсюда можно сделать следующий общий вывод поле скоростей в фигуре, совершающей плоское движение, в каждый момент таково, как будто фигура вращается вокруг неподвижного мгновенного центра. При этом скорость любой точки плоской фигуры перпендикулярна к вектор-радиусу, соединяющему эту точку с мгновенным центром, и направлена в сторону вращения фигуры, а по величине пропорциональна расстоянию точки до мгновенного центра (рис. 157). [c.241]

Рассмотрим движение точки М массы т, подверженной действию силы F, линия действия которой во все время движения проходит через неподвижный центр О такая сила называется центральной ( 85, пример 77). Заметим, что траектория будет расположена в плоскости П (рис. 244), проходящей через начальный вектор-радиус Го и вектор начальной скорости v . Доказательство того, что траектория движения под действием центральной силы является плоской кривой, будет дано ниже. [c.52]

Пусть точка М движется по отношению к прямоугольной системе осей координат Охуг (рис. 152). Построим вектор г=ОМ, соединяющий произвольно выбранное условно неподвижное начало координат О с движущейся точкой М. Этот вектор называется радиусом-вектором точки Л1. При движении точки М ее радиус-вектор г будет с течением времени изменяться по модулю и по направлению, и поэтому он представляет собой некоторую векторную величину, зависящую от време- [c.221]

При вычислении кинетического момента системы относительно данного неподвижного центра О удобно разделить сложное движение системы на поступательное движение со скоростью центра масс системы и на движение около центра масс как неподвижной точки. Пусть Г/ — радиус-вектор к-н точки системы, определяющий ее положение относительно неподвижных осей координат, Гс — радиус-вектор центра масс системы, определяющий положение центра масс относительно этих же осей координат и г — радиус-вектор й-й точки, определяющий ее положение относительно подвижных осей координат Сх у г. Тогда в любой момент движения [c.608]

Рассмотрим равномерное движение материальной точки по окружности радиуса Я с центром О (рис. 14, а). Пусть за малый промежуток времени точка переместится из точки А траектории в близкую к ней точку В. При этом скорость движущейся точки изменится только по направлению (так как v = vI ). Вектор изменения скорости Ду за А определим, отложив вектор У[ от точки А и соединив концы векторов у и У] (рис. 14,6). [c.17]

Если ввести радиус-вектор дисперсных частиц г = х и соответствующую безразмерную величину г = r/( ,oi ) = 5 , то уравнение движения частиц может быть переписано в следующем виде с точностью до членов О(е ) [c.363]

Аналоги скоростей и ускорений. Аналогом скорости точки называется первая производная радиуса-вектора точки по обобщенной координате механизма. Пусть, например, за обобщенную координату выбран угол ф1 поворота звена 1, а звено i, на котором расположена рассматриваемая точка, совершает прямолинейно-поступательное движение. Радиус-вектор этой точки можно выбрать так, что он станет равным перемещению Si. Тогда аналог скорости Si =ds /d[c.34]

Мы принимаем за оси Oxyz главные оси Рис. 136 эллипсоида инерции тела, построенного относительно неподвижной точки О. Обозначим К — количество движения тела, и — вектор мгновенной угловой скорости вращения тела, Fv — действующие на твердое тело активные силы, R — реакцию неподвижной точки. Радиусы-векторы точек тела обозначим через г, а через т — массы, через обозначим радиус-вектор центра тяжести тела. Скорость точки тела равна [со, г] отсюда вектор количества движения К определяется соотношениями [c.188]

О круг радиуса а. Из точки тп, определяю- — щей положение КА на эллиптической орбите, восставляют перпендикуляр к Ряс. 2.3. К определению большой полуоси, который продлевают геометрическогосмысла до пересечения с окружностью, и из эксцентрической точки пересечения проводят радиус-аномалии вектор в центр О. Пусть движение начинается из перицентра, т.е. х = 0. Тогда время полного оборота по орбите даст нам период обращения Т. Итак, 360° = пТ или п = 360°/Т — средняя угловая скорость движения КА или среднее движение. Величину М называют СРВДНЕЙ АНОМАЛИЕЙ. Действительно, М возрастает пропорционально времени и равно нулю при = т, т. е. когда КА находится [c.70]

Производная dKo/di определяет скорость точки К конца вектора Ко относительно неподвижной в пространстве (латинской) системы координат. Рассмотрим теперь движение этой точки К как сложное движение. Производная df(o/dt определяет абсолютную скорость точки К. Переносной является скорость той точки тела, с которой совпадает в данный момент точка К, а эта скорость равна (а X Гк = (й X Ко, так как радиус-вектор г , проведенный из неподвижной точки к точке К, равен как раз вектору Ко- Относительной скоростью точки К служит скорость ее по отношению к греческой системе координат, связанной с телом. Обозначим скорость конца вектора Ко по отношению к этой греческой системе (dKo/dt). Тогла в силу формулы (61) и обычных представлений о сложном движении имеем [c.193]

При движении точки М ее радиус-вектор г = ОМ изменяется, причем начало радиуся-вектора всегда находится в одной неподвижной точке, например в точке О (рис. 3), а конец М скользит по траектории (описывает траекторию). Напомним, что всякую линию, описываемую концом переменного вектора, выраженного функцией времени и выходящего из одной точки, называют годографом этого вектора. Следовательно, траектория точки является годографом ее радиуса-вектора. [c.18]

Построение вектора скорости и вектора ускорения точки показано на рис. 109. Так как движение точки равномерное (о = onst) и точка имеет только нормальное ускорение, то вектор скорости направлен по касательной к окружности, а вектор ускорения — по радиусу к центру окружности. [c.115]

Как мы установили выше, ldpi/ds =d9/ds есть угловая скорость вектора Pi при движении вдоль траектории, т. е. эта величина характеризует искривление кривой. Угол dф есгь угол смежности между касательными в двух бесконечно близких точках, отстоящих на расстоянии ds. Для окружности радиуса имеем ds = ) d9, где центральный угол dф равен углу смежности. Тогда Xi = d(p/ds= 1// , т. е. кривизна окружности есть величина, обратная радиусу и имеющая постоянное значение. Кривизна произвольной плоской кривой меняется от точки- к точке. Если через три близкие точки кривой провести окружность, то в пределе при стягивании их в одну точку А окружность будет лежать в соприкасающейся плоскости. Эта предельная окружность называется соприкасающейся окружностью или окружностью кривизны. Центр окружности кривизны называется центром кривизны, а радиус этой окружности— радиусом кривизны кривой в данной точке Л. Если р — радиус окружности кривизны, то Xi = l/p. [c.23]

Ампера передается на тело. Например, если боковые стенки кольцевого сосуда, наполненного проводягцей жидкостью, являются электродами, к которым подведен ток, а дно представляет собой изолятор, установленный на полюсе прямого магнита, то ток течет по радиусам, а вектор магнитной напряженности параллелен стенкам. В этом случае жидкость в сосуде приходит в круговое движение (сила действует в одном и том же направлении на положительные и отрицательные заряды, так как они движутся в противоположных направлениях). [c.190]

Решение. Подвижную систему координат Oiyz жестко свяжем с ко.ть-цом. Тогда переносным движенпел будет вращение вокруг оси Оу с постоянной угловой скоростью Ше = (О, а относительным — движение жидкости по окружности радиусом г с центром в точке О с постоянной относительной скоростью Vr (изобразим векторы этой скорости в точках А, В, С и D). Очевидно, что переносные скорости п ускорения точек жидкости, находящихся на оси вращения кольца, т. е. в точках [c.85]

Аналоги скоростей и ускорений. Аналогом скорости точки называется первая производная радиуса-вектора точки но обобщенной координате. Пусть, иапрнмер, за обоби1еиную координату ф1 выбран угол поворота звена /, а звено i, на котором расположена рассматриваемая точка, совершает прямолинейно поступательное движение. Радиус-вектор этой точки можно вы-, брать так, что его величина окажется равной перемен1,ению. s . Тогда аналог скорости 5 == ris/f/tp, связан со скоросг и.о ё, - = = dsi/di соотиошешюм [c.67]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...