Краевая задача в первом приближении

Краевая задача в первом приближении [c.215]

Таким образом, искомые функции определяются как решения линейной системы уравнений в известной области с линейными граничными условиями на известной поверхности Sq. По найденным функциям для возмущенного движения в результате решения краевой задачи в первом приближении можно определить малые деформации границы S. [c.348]

Замечание 8.3. Здесь получена формула для параметра на-гружения Л = Лр + е + е +. .., в которой старшее слагаемое Ар определяется при решении краевой задачи в нулевом приближении, слагаемое е учитывает локализацию формы потери устойчивости в окрестности наиболее слабой образующей. Для граничных условий, входящих в одну группу, первые два 172 [c.172]

Чтобы записать уравнения и граничные условия краевой задачи для первого приближения в виде, аналогичном (3.1.53)-(3.1.61), представим для первого приближения поправки для всех величин, характеризующих напряженно-деформированное состояние, в виде суммы линейного оператора от вектора перемещений для этого приближения и квадратичного оператора от векторов перемещений для нулевого приближения. Для каждой величины ту часть поправки, которая не зависит от вектора [c.57]

Преобразуем теперь уравнения и граничные условия краевой задачи для первого приближения таким образом, чтобы в левой части каждого из них содержался линейный оператор от вектора [c.60]

Чтобы записать уравнения и граничные условия краевой задачи для первого приближения в виде, аналогичном (3.6.37)- [c.108]

Таким образом, решение нелинейной краевой задачи оказывается сведенной к совокупности решений и линейных задач. При первом приближении интегралы в правых частях отсутствуют и решается линейная задача. Далее определяются поправки к правой части и снова повторяется решение линейной задачи и т. д. [c.670]

Если Re>l, то бС/, т. е. у поверхности тела образуется сравнительно тонкий слой подторможенной жидкости, для которого в первом приближении справедливы сделанные нами упрощения. Таким образом, теория пограничного слоя приобретает характер метода упрощения математической формулировки краевой задачи и связанной с этим возможности решения. [c.141]

В задаче изгиба длинной узкой полосы (Ь а) можно в первом приближении не учитывать краевых условий на коротких ее сторонах у = Ь в мембранной аналогии это соответствует предположению, что прогиб (как и нагрузка мембраны) линейно зависит от у. Тогда по (4.4.1), (4.4.2) [c.436]

Еще одна особенность теории оболочек, определяющая характер изложения, заключается в ее практической направленности. Это объясняется как тем, что оболочка весьма широко используется в реальных конструкциях, так и тем, что значение точных решений возникающих в ней краевых задач в значительной степени обесценено погрешностями, содержащимися в их формулировке. Поэтому на первый план здесь выдвигаются приближенные подходы, и основное внимание уделяется тем свойствам тонкой оболочки, на которых могут базироваться те или иные упрощения расчета. [c.9]

Сказанного достаточно, чтобы приступить к изложению алгоритма численного решения поставленной задачи. Решая в первом приближении линейную краевую задачу (7.1)-(7.3) в предположении, что все компоненты вектора тождественно равны нулю, находим вектор решений, описывающий напряженно-деформированное состояние геометрически линейной оболочки типа Тимошенко. После решения краевой задачи [c.129]

В первом приближении приходим к краевой задаче, состоящей из уравнений (1.7) и граничных условий [c.168]

Учитывая постановку краевой задачи для нулевого приближения [соотношения (3.1.108)-(3.1.116)], а также уравнения и граничные условия для первого приближения, можно записать постановку задачи для нулевого и первого приближений в общем виде следующим образом [c.63]

В работе [49] показано, что обычные краевые условия, заданные на поверхности тела и внешней границе пограничного слоя, и начальные условия не позволяют единственным образом определить решения задачи для режимов умеренного и сильного взаимодействия даже в первом приближении. Чтобы выделить единственное решение, необходимо задать дополнительное краевое условие — еще одну постоянную. Ею может быть величина донного давления за донным срезом, положение точки отрыва, которая может быть получена из условий совместности с решением, описывающим течение вниз по потоку. В работе [49] проведен анализ характера неединственности решения для течения около плоской пластины при х = °о (сильное взаимодействие). [c.258]

Для приближенного решения амплитудной краевой задачи можно применить интегральный метод, аналогичный методу Кармана — Польгаузена в теории пограничного слоя (см. [ ]). Согласно этому методу, решение аппроксимируется с учетом граничных условий и с последующим определением параметров аппроксимаций из интегральных соотношений. В нашем случае v и i 2 удовлетворяют одинаковым граничным условиям, поэтому в первом приближении, содержащем минимальное число параметров, можно положить [c.257]

В первом приближении по степеням е, что отвечает гу = О, т. е. гу = а, получим невозмуш енные краевые задачи и их решения [c.56]

Уравнения и краевые условия, получающиеся в первом приближении, — (1.32) и (1.33). Исследуем поведение задачи (1.33) при хз +оо. Для этого удобно ввести переменную [c.35]

Рассмотрим режимы течения, для которых точка отрыва пограничного слоя отстоит на конечном расстоянии (при Де оо, М оо) от концов пластины. Поскольку в срывных зонах такого типа давление и отношение поперечного характерного размера к продольному определяется течением в окрестности точки отрыва, то для такого типа зон отрыва р т , у/х т. Но при таком масштабе функций течения х 1, и 1 и X 0(1)) течение в первом приближении описывается уравнениями пограничного слоя (хотя в области, содержащей и < О, постановка краевой задачи и характер передачи возмущений требуют дополнительных исследований). Однако доказательство того, что в таком течении не могут появиться области с градиентом давления на теле, большим по порядку величины, чем О(т ), остается в силе. Из этого следует, что при углах отклонения щитка, больших по порядку, чем 0(т), точка отрыва должна сместиться вверх по течению в малую окрестность передней кромки. [c.151]

Для построения течения в этой области можно опять использовать переменные и асимптотические разложения (8.4), в которых индекс 3 следует поменять на индекс 2 . Подстановка таких разложений в уравнения Навье-Стокса приведет, очевидно, в первом приближении при е О к системе уравнений Эйлера (8.12), решению для возмущения энтальпии (8.13) и к краевой задаче (8.14) для функции тока (всюду с индексами 2 вместо индексов 3 ), решение которой можно представить в виде малых возмущений относительно сдвигового потока — пристеночной части невозмущенного пограничного слоя на пластине [c.384]

Подстановка разложений (8.160), (8.179) в уравнения Павье-Стокса и совершение предельного перехода при е О, еЬ < с< Ь, <С 6 1 показывают, что течение в области 3 в первом приближении будет описываться прежней краевой задачей (8.13 5), (8.139), (8.162) и (8.165) компенсационного режима обтекания узких неровностей, для которой не определены пока краевые условия при гз оо. Поэтому рассматривается еще возмущенная область 4 с характерными размерами Ах Ь и [c.423]

Вместе с тем полезно не упускать из виду возможность практического приложения новых результатов, ожидаемых при выполнении программы пересмотра теории. Оболочка, как правило, является только элементом конструкции. Чтобы рассчитать оболочку, нужно определить, вообще говоря, условия упругой заделки ее краевого сечения. Нередко эта задача может быть решена только в первом приближении путем выражения условия заделки через ограниченное число коэффициентов жесткости (или податливости). При этом кинематические условия сопряжения оболочки окаймляющей оболочку конструкции формулируются через такое же число обобщенных перемещений (отнесенных к линии пересечения срединной и контурной поверхностей оболочки). [c.231]

Итак, в основу теории теплового регулярного режима положена известная математическая теория, а в качестве решений краевых задач берутся их приближенные значения в виде первого слагаемого бесконечного ряда (3-30). Следовательно, в стадии регулярного режима температурное поле /per подчиняется зависимости [c.84]

Серьезной задачей является увеличение однородности поля в месте пробоя это условие соблюдается только в образцах с лунками (рис. 6-2) при небольшой толщине Л диэлектрика в центральной части наибольшая напряженность поля будет в этой центральной части здесь, где поле может считаться однородным, и происходит пробой. При использовании иных образцов (например плоских) на краях электродов наблюдается сгущение силовых линий, напряженность поля здесь выше определяемой по (6-1). Под влиянием краевого эффекта пробой образца чаще всего происходит у края электрода, в неоднородном поле,-Для выравнивания электрического поля при испытании на пробой образец с электродами помещают в среду, имеющую высокую электрическую прочность и одновременно высокую диэлектрическую проницаемость. Если плоский образец материала с диэлектрической проницаемостью Б) помещен в жидкость с диэлектрической проницаемостью В2, то у края электрода в первом приближении напряженности поля в образце , и жидкости обратно пропорциональны значениям и (рис. 6-6, а) [c.156]

Уравнения (20.44) и (20.45) эквивалентны исходной краевой задаче, математически эквивалентной уравнениям (20.38) — (20.40), если выполняются указанные выше условия. Но теперь для решения задач (20.44) и (20.45) требуется определить лишь функции е Х, Х2,1) и хту,[хи Х2,1), т. е. размерность задачи уменьшена на единицу. Сохраняя в бесконечных системах уравнений (20.44) или (20.45) операторы только до определенного порядка, будем получать усеченные системы— гиперболические аппроксимации. Это эквивалентно сохранению всех членов до определенной степени [2.521 (1961). Например, из уравнений (20.44) в первом приближении следует одномодовая гиперболическая аппроксимация — обобщенное плоское напряженное состояние [c.140]

Для толстостенных трехслойных оболочек с податливым слоем заполнителя при исследовании локальных краевых эффектов в окрестности приложения сосредоточенных сил и закреплений, а также при коротковолновых формах потери устойчивости и колебаний расчет проводят с учетом деформаций поперечного сдвига и сжатия в слое заполнителя. Наиболее простая модель, позволяющ,ая в первом приближении учитывать указанные деформации, может быть получена с использованием предположения о линейном законе распределения всех компонент вектора перемещений по толщине заполнителя [11]. Рассмотрим основные соотношения и вариационные формулировки решения задач статики, устойчивости и колебаний, соответствующие данной модели. [c.218]

Тгжим образом, решение стохастической краевой задачи теории упругости в перем цениях (3.17), (3.18) имеет вид (в первом приближении) [c.45]

Переход от общей теории оболочек к безмоментной теории сопровождается понижением порядка уравнений. Поэтому необходимо условиться, какие краевые задачи должны ставиться для безмоментных уравнений, чтобы их решение представляло определенный физический интерес. Напрашивающийся ответ на этот вопрос заключается в том, что безмоментные уравнения надо интегрировать с учетом таких граничных условий и таких условий сопряжения, которые связаны с тангенциальными (параллельными касательной плоскости) направлениями, т. е. что в безмоментной теории, должны быть сохранены только тангенциальные граничные условия и условия тангенциальной непрерывности. Эта точка зрения и будет принята в настоящем разделе книги. Она оправдана результатами, полученными в части П. Во всех рассмотренных там примерах оказалось, что решение сфорл улиро-ванной таким образом безмоментной краевой задачи определяет в первом приближении напряженно-деформированное состояние оболочки с точностью [c.211]

Рассмотрение итерационных процессов выполнения граничных условий позволяет сделать и некоторые чисто математические заключения. В теории оболочек можно говорить о возмущенной и невозмущенной краевых задачах. Под первой подразумевается интегрирование неупрощенных уравнений с учетом всех (тангенциальных и нетангенциальных) граничных условий, а вторая заключается в интегрировании предельных (при = 0) уравнений с учетом одних тангенциальных условий. Возмущенная краевая задача в теории оболочек всегда представляет собой корректно поставленную задачу типа Дирихле. Однако вырожденная задача теории оболочек может оказаться в том или ином смысле некорректной. В ней может иметь место несовпадение числа граничных условий с порядком уравнений, несоответствие типа уравнений типу краевой задачи (может получиться, например, задача Дирихле для гиперболической системы или задача Коши для эллиптической системы) и т. д. Очевидно, что все такие неправильности невозмущенной задачи оказывают существенное влияние на характер напряженного состояния оболочки, и их полезно иметь в виду при разработке любых подходов к фактическому решению задачи (в том числе и непосредственного счета на ЭЦВМ). Если стать на путь приближенных подходов к решению краевых задач теории оболочек, то здесь результаты настоящего раздела находят непосредственное применение. Исходное приближение каждого из рассмотренных итерационных процессов можно рассматривать как приближенный метод решения соответствующей краевой задачи. Получаемые таким образом результаты при желании можно уточнять, увеличивая количество итераций. [c.272]

Намеченная цель достигается при помощи двух итерационных процессов итегрирования трехмерных уравнений теории упругости. Первый из них позволяет строить внутреннее напряженно-деформированное состояние оболочки. Оно в однородном случае соответствует внешним воздействиям, не самоуравновешенным по толщине оболочки (т. е. на любом отрезке нормали к срединной поверхности), и в исходном приближении описывается двумерными уравнениями (часть I). Второй итерационный процесс позволяет строить так называемые погранслои, т. е. краевые напряженные состояния, соответствующие самоуравновешенным по толщине краевым воздействиям ). В исходном приближении нахождение погранслоев сводится к интегрированию уравнений плоской и антиплоской задач теории упругости. [c.387]

Укоренилось мнение, что в параметрических системах возможна неустойчивость только с указанными признаками. Это безусловно справедливо в сосредоточенных системах, для которых в сущности и развита теория Флоке. Применительно же к распределенным системам оно вызывает серьезные возражения во-первых, краевые задачи в частных производных сводятся к решению независимых уравнений с периодическим коэффициентом типа Хилла, как правило, лишь приближенно и, во-вторых, в последние годы появились теоретические и экспериментальные исследования по параметрической неустойчивости распределенных систем, обладающей свойствами принципиально отличными от указанных выше [4.5-4.15, 4.18-4.20]. [c.139]

Если взаимодействие на основной части тела не является слабым, то градиент давления, который индуцируется при обтекании внешним потоком эффективного тела, образованного толш,иной вытеснения пограничного слоя, влияет на течение в пограничном слое уже в первом приближении. Таким образом, распределение давления на внешней границе пограничного слоя нельзя считать заданным и его необходимо определять при совместном интегрировании уравнений для невязкого гиперзвукового потока и пограничного слоя. При этом математическая постановка краевой задачи на всей длине тела аналогична ее постановке в локальных областях течений со свободным взаимодействием для режима умеренных сверхзвуковых скоростей [18]. Поэтому можно было ожидать появление эффектов передачи возмуш ений вверх по потоку на всей длине тела, т. е. зависимости решения от краевых условий, заданных вниз по потоку. [c.258]

Бесконечный фюзеляж с круглым сечением. В первом приближении заменим крыло прямой несущей линией, пересекающей ось круглого цилиндра (фиг. 35.9). Пусть точка пересечения О будет началом системы координат Охуъ и Ъ — полным размахом крыла. Для упрощения задачи предположим, что циркуляция распределена равномерно по всему размаху. В этом случае вместо пелены свободных вихрей, простирающейся по всему размаху вне фюзеляжа, мы будем рассматривать два краевых вихря в точках В ж отстоящих друг от друга на расстоянии [c.407]

Рассмотренные в 1.2 и 2.2 задачи относились к течениям сжатия и разре-жения на плоской пластине. Однако весьма общая и простая форма закона подобия для течений со свободным взаимодействием, относительно простая форма уравне-ний и краевых условий и, наконец, то обстоятельство, что получаемые результаты уже в первом приближении имеют удовлетворительную точность при не слишком больших амплитудах возмущений, являются точными в пределе и приводят к четко-му представлению о вкладе различных физических эффектов, стимулируют развитие приложений теории к более широкому классу течений. Для некоторых из этих течений (обтекание угла, близкого к тг, область взаимодействия ударной волны с пограничным слоем) получены численные решения. Для других приведена лишь постановка задач, уравнения, краевые условия и соображения о характере течения. [c.52]

Для нахождения решения краевой задачи (4.89) при Х2 > Х2 нужно учитывать, что пограничный слой отсоединяется от поверхности и преобразуется в слой смешения между набегающим потоком и пристеночной областью невязкого течения. Эжекцион-ные свойства слоя смешения, или расход газа, подсасываемого из застойной (в первом приближении) области, заранее не определен и должен находиться из решения. Таким образом, первое из краевых условий (4.89) должно при Х2 > Х2 быть опущено и заменено на краевое условие г(ж2, 0) = 0. [c.169]

Краевая задача (4.89) с модифицированным краевым условием т х2 > 5,0) = О проинтегрирована численно. В результате получены распределения функций т х2) при Х2 < Х2 и V2w x2) = dr/du2)w при Х2 > xj, которые изображены на рис. 4.13. Здесь же приведено распределение т х2), которое получено в работе [ atherall D., Stewartson К., Williams P.O., 1965]. Следует отметить, что распределения т х2) согласуются между собой. При больших значениях Х2 решение краевой задачи (4.89) описывается в первом приближении автомодельным уравнением, описывающим течение в слое смешения между равномерным потоком и застойной областью. Решение автомодельной задачи приводит к следующему результату для функции [dr/du2)w при Х2 оо [c.169]

Краевая задача, аналогичная (4.93), сформулирована в теории тонкого слоя [Матвеева Н.С., Нейланд В. Я., 1970 Левин В.А., 1973], описывающей сверхзвуковое обтекание пористых плоских поверхностей для скорости вдува 0 е) < < 0(1), при которой отсоединение происходит в малой окрестности передней кромки. Для такого режима последнее краевое условие в (4.93) имеет вид /(Х2,1) = О, так как слой смещения поглощает нулевой в первом приближении расход газа. Другое отличие от исследованного ранее режима течения заключается в том, что Р(0) = onst (в теории тонкого слоя при постоянной скорости вдува возмущение давления имеет вблизи передней кромки логарифмическую особенность). Величина возмущения давления Р(0) заранее не определена и зависит от донного перепада давлений. Краевая задача (4.93) описывает процесс передачи возмущений вверх по потоку от донного среза до точки отсоединения. Результаты численного интегрирования (4.93) представлены на рис. 4.14, где изображены рещения Р Х2) для Р(0) = 1,01 и 1,03. Следует отметить, что Р(0)>0, в противном случае область невязкого течения не существует. Рост [c.170]

Подстановка разложений (8.149) в уравнения Навье-Стокса и совершение предель ного перехода при е О и 5 показывают, что в первом приближении возмущение давления в области 1 описывается решением краевой задачи [c.416]

Ряд исследований был посвящен так называемой обратной задаче о построении профиля по заданному теоретическому распределению скоростей на его поверхности. Исходные предпосылки для решения обратной задачи были сформулированы немецким ученым В. Манглером. При решении обратной задачи используется связь между плоскостью годографа скорости и физической плоскостью течения. Трудности широкого практического применения обратной задачи связаны с тем, что произвольно заданному распределению скоростей не всегда соответствует контур, имеющий реальный смысл. Необходимо, во-первых, выполнить условие замкнутости контура и, во-вторых, избежать такого распределения скоростей, при котором получается самопересекающийся контур. В работе Л. А. Симонова (1947) приводится решение обратной задачи для профиля, близкого к данному. В ней задается деформация известной эпюры скоростей. теоретического профиля и находится соответствующее изменение контура. Формулы, приведенные в этой работе, могут быть использованы не только для решения обратной, но и для решения прямой задачи. В работе В. М. Шурыгина (1948) при произвольном предварительном задании распределения давления на поверхности искомого профиля предлагается приближенный прием коррекции этого распределения с целью устранения упомянутого выше самопересечения. Подробное рассмотрение обратных краевых задач для стационарных и нестационарных течений несжимаемой и сжимаемой жидкости, а также для других задач математической физики содержится в работе Г. Г. Тумашева и М. Т. Нужина (1955). (Первые публикации Тумашева по данному вопросу относятся к 1946 г.) Наряду с общей математической постановкой ряда обратных краевых задач в этой работе обсуждаются вопросы корректности и единственности их решения, формулируются условия, которые нужно наложить на заданное распределение скоростей для получения замкнутого контура, сопоставляются способы задания распределения скоростей по дуге искомого контура и по хордовой координате. [c.87]

Сложность одновременного точного выполнения всех краевых условий на поверхностях цилиндра заставила искать приближенных путей решения задачи так, С. И. Тренин (1952) представлял напряженное состояние двумя тензорами основным и корректирующим, причем последний не дает напряжений на боковой поверхности (однородные решения), а его параметры определяются энергетическим путем. Более общая (не осесимметричная) задача о полом цилиндре рассматривалась аналогичным образом В. И. Ионовым (1957) Я, С, Шаин (1962) дал построение корректирующего тензора в первом приближении. [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...