Уравнения интегральные второй первой краевой задачи

Интегральные уравнения первой краевой задачи. Решение представляется в форме второго потенциала теории упругости (3.6.6) с неизвестным вектором плотности Ь(Мо) [c.185]

В настоящей книге применение комплексного переменного к плоской задаче ограничено примерами решения наиболее простых краевых задач (первой и второй). Смешанные краевые задачи, решение которых требует применения средств теории линейного сопряжения и сингулярных интегральных уравнений, полно представлены в последних изданиях книги [2], а также в [149, 150] в книге [148] основное место уделено применению интегральных уравнений. [c.923]

Интегральные уравнения. В первой краевой задаче вектор перемещения и Q), принимающий заданное значение v Q на поверхности О (объема Vi во внутренней задаче, полости во внешней задаче), разыскивается в форме второго потенциала теории упругости с неизвестной плотностью Ь М) [c.13]

Введенные выше потенциалы позволяют решение основных краевых задач теории упругости свести к интегральным уравнениям второго рода. Начнем с первой основной задачи. Пусть для упругого тела, занимающего область D, ограниченную поверхностью S, требуется определить смещения, предельные значения которых будут принимать заданные значения iF (< ) (см. (1.1) гл. III). Будем разыскивать смещения в виде обобщенного упругого потенциала двойного слоя (1.8). Тогда в соответствии с формулой (1.21) приходим к интегральным уравнениям [c.557]

Интегральные уравнения второй краевой задачи. Решение однородных уравнений теории упругости в перемещениях разыскивается в форме первого потенциала (3.6.1) [c.187]

Сопоставление интегральных уравнений первой и второй краевых задач. Полученные в пп. 4.2 и 4.3 интегральные уравнения перепишем в такой последовательности [c.190]

В изложении пп. 4.2—4.8 (вывод интегральных уравнений первой и второй краевых задач и доказательства существования решений) использована книга [c.914]

Методы граничных элементов (МГЭ) — нетрадиционный термин, который в последнее время появился в зарубежной литературе для обозначения совокупности быстро развивающихся и успешно применяемых универсальных численных методов решения теоретических и прикладных задач. Уже само название выделяет характерную особенность МГЭ возможность решения задачи с использованием дискретизации лишь границы области (в отличие от методов конечных элементов (МКЭ) и методов конечных разностей (МКР). применение которых требует дискретизации всей области). Естественно, что реализация такой возможности в МГЭ предусматривает предварительный переход от исходной краевой задачи для дифференциальных уравнений, описывающих некоторый процесс, к соотношениям, связывающим неизвестные функции на границе области (или ее части). Эти соотношения, по существу, либо представляют собой граничные интегральные уравнения, либо выражаются некоторыми функционалами (они могут и не выписываться явно, а сразу заменяться их дискретными аналогами). В первом случае МГЭ сводятся к методам граничных интегральных уравнений (ГИУ), во втором — к вариационным методам. [c.5]

Рассмотрим теперь возможные варианты граничных интегральных уравнений на поверхностях трещин й. Как правило, поверхности трещин в твердых телах свободны от нагрузки. Граничная задача с заданной нагрузкой на берегах трещины получается, например, если исходная задача для тела с трещинами, берега которых свободны от нагрузки, представляется в виде суперпозиции двух задач для тела без трещин и для тела с трещинами, к берегам которых приложена нагрузка полученная из решения первой задачи, взятая с обратным знаком (см. разделы 3.2 и 3.3). Нагрузка на берегах трещин возникает также при учете контактного взаимодействия берегов трещин. В первом случае на берегах трещин задаются граничные условия в напряжениях (вторая краевая задача), во втором — условия с ограничениями в виде неравенств (5.6) (задачи типа Синьорини). Ниже будет показано, что решение задачи Синьорини приводит к последовательности граничных задач в напряжениях. Учитывая это, предположим, что на берегах трещин задана поверхностная нагрузка и граничные условия имеют вид [c.126]

Таким образом, даны три эквивалентные математические формулировки динамических контактных задач с односторонними ограничениями для упругих тел с трещинами. Первая свелась к начально краевой задаче (3.1) — (3.3) с односторонними ограничениями, вторая вариационная заключается в нахождении седловой точки граничного функционала (4.56) на множествах допустимых вариаций (4.55) и (4.57), третья предполагает выполнение прямого и обратного преобразования Лапласа и решение бесконечного множества систем граничных интегральных уравнений (5.81) с учетом односторонних ограничений [c.131]

В случае системы двух линейных уравнений с частными производными первого порядка с постоянными коэффициентами для двух независимых функций щ и 2 эту систему можно свести к одному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами для функции щ или 2. Тогда решения краевых задач можно определить в аналитическом виде 24, 62]. В этом случае можно также использовать интегральное преобразование Лапласа (см., например, п. 15). Этот метод, однако, непригоден в некоторых случаях, именно тогда, когда вместе с решением данной системы уравнений необходимо определить границу области, в которой ищется решение, например при определении волны разгрузки для упругопластической среды (с кусочно линейной характеристикой материала). [c.68]

Рассмотрим резонатор, образованный круглыми плоскими зеркалами и заполненный неоднородной усиливающей средой, характеризующейся комплексным пользователем преломления п (г) (цилиндрическая симметрия задачи). Выбор такой геометрии резонатора для этой задачи определен тем, что во-первых, большинство конструкций газового лазера имеет цилиндрическую симметрию во-вторых, для этой симметрии методом дифференциальных уравнений нами уже получено аналитическое решение АР, что дает возможность проверки метода интегральных уравнений. В дальнейшем мы покажем, что полученные интегральные уравнения для плоского АР легко трансформировать на резонаторы произвольной геометрии. Исходным будем считать уравнение (2.73) этого параграфа, которое описывает поле заданного резонатора. Взамен этого дифференциального уравнения мы должны получить интегральное уравнение. Как известно, в случае вакуума п = 1) при краевых условиях Кирхгофа интегральное уравнение имеет вид [c.98]

Литература, посвященная этим задачам, очень обширна по следующим причинам во-первых, они имеют важное значение в радиотехнике во-вторых, краевые условия оказались не так просты, как можно было ожидать, и, кроме того, часто получали неверные решения в-третьих, они оказались благодатным полем для применения вариационного метода. Этот метод основывается на возможности составления интегральных уравнений таким образом, что пробное решение ограниченной точности дает другое решение более высокого порядка точности. Несколько числовых примеров приводятся в разд. 16.22 и 16.23. [c.39]

Типичная схема использовапия этого метода заключается в следуюш,ем в результате разделения переменных при удовлетворении прочих граничных условий выполнение смешанных граничных условий, заданных на одной из ограничиваю-Ш.ИХ упругое тело координатных поверхностей, сводит исходную краевую задачу к паре связанных функциональных уравнений это может быть пара интегральных уравнений в случае сплошного спектра или пара сумматорных уравнений, если спектр задачи на собственные значения оказывается дискретным. Далее с помо-ш,ью различных приемов эти парные уравнения сводятся к удобным для исследования и проведения вычислений функциональным уравнениям интегральным (первого или второго рода,сингулярным или регулярным), к системам алгебраических уравнений и т.д. [c.116]

Метод прогонки. Этот метод применяется не к интегральному, а к дифференциальному уравнению переноса. Значительная трудность при его решении создается тем обстоятельством, что задаются не начальные, а граничные условия, так что надо решать не задачу Коши, а краевую задачу, что всегда сложнее. После дискретизации дифференциального уравнения по глубине, углам и частотам получающееся разностное уравнение решается сначала от верхней границы в сторону возрастающих глубин, а затем обратным ходом. Однако в первом случае не известна интенсивность излучения, идущего вверх, а во втором — вниз. Поэтому при прямом проходе находится решение не с определенным граничным значением интенсивности выходящего излучения, а рассчитываются обратные матрицы на случай как бы произвольных ее значений, причем заданных для всех значений углов. Затем решение выбирается так, чтобы удовлетворить условию на нижней границе [45]. После этого вычисляется интенсивность восходящего излучения. В теории переноса такая процедура, которая применяется для расчета как рассеяния в линии, так и при монохроматическом рассеянии, носит название метода Фотрие. [c.201]

В приведенном здесь виде интегральные уравнения первой и второй краевых задач получили также Н. Киносита и Т. Мура (1956), но они не обратили внимания на указанную трудность. [c.15]

Выше рассмотрены два вида (по характеру линейной независимости) алгоритмов приближенного решения векторных интегральных уравнений, получающихся из краевых задач. Первый из них целесообразно использовать в случае, когда аппроксима-ционные свойства функций (/, т), /, й = 1, 2,. . ., п, существенно различны. Второй вид алгоритмов целесообразно использовать, когда аппроксимационные свойства Яу ( , т) являются достаточно близкими. [c.97]

Предположим, что можно задать как пробную, так и весовую функции таким образом, что они удовлетворят дифференциальному уравнению точно. В результате погрешность по области будет точно равна нулю. Теперь остается лишь удовлетворить граничным условиям некоторым образом по взвешенным невязкам. Отсюда следует, что в некоторых задачах необходимо лишь дискретизировать границу области. Подобые методы называются методами граничных элементов. Для задач линейной теории упругости известны два метода, которые были изучены достаточно подробно метод интегральных уравнений [57, 58] и метод краевых функций [59]. В первом из них в качестве весовых функций выбираются сингулярные решения определяющего дифференциального уравнения, в то время как во втором весовые функции удовлетворяют однородным дифференциальным уравнениям. [c.203]

Если заданы краевые условия типа Дирихле, то ГИУ представляет собой интегральное уравнение (ИУ) первого рода, а при краевых условиях типа Неймана — второго рода ). В случае смешанной задачи ГИУ позволяет найти неизвестные на соответствующих участках границы значения функции и ее производной (или некоторой комбинации производных). [c.184]

В большинстве рассмотренных работ, связанных с контактными задачами, предполагалось, что трение между штампом и упругим телом отсутствует. Значительно большие математические трудности представляет другой предельный случай, когда штамп и основание находятся в условиях сцепления (такая задача есть частный случай основной смешанной задачи теории упругости). В отличие от более простых смешанных задач, в этом случае дело сводится к отысканию двух гармонических в полупространстве функций с неразделенными краевыми условиями первого и второго рода. Впервые такая задача для кругового штампа была решена В. И. Моссаковским (1954) путем сведения ее к плоской задаче линейного сопряжения двух аналитических функций. Впоследствии Я. С. Уфлянд (1954, 1967) дал непосредственное решение этой задачи с помощью тороидальных координат и интегрального преобразования Мелера — Фока. В статье Б. Л. Абрамяна, Н. X. Арутюняна и А. А. Баблояна (1966) осуществлен еще один подход к той же задаче, основанный на использовании парных интегральных уравнений. Контактным задачам при наличии сцепления посвящена также работа В. И. Моссаковского (1963). Решение основной смешанной задачи теории упругости для полупространства с прямолинейной границей раздела краевых условий дано Я. С. Уфляндом (1957) с помощью интегрального преобразования Конторовича — Лебедева. [c.36]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...