Первая краевая задача (задача Дирихле)

Особый практический интерес представляет рассмотрение областей с криволинейными контурами, когда граница не совпадает с линиями ортогональных сеток (рис. 38). В этом случае следует различать контур заданной области Ь и контур сеточной области М, аппроксимирующей заданную. При расчете в этом случае граничные значения должны быть заданы в точках сеточной области, тогда как известны они на границе первоначальной области. При решении первой краевой задачи (задачи Дирихле), когда на границе задаются значения искомой функции, необходимо эти значения перенести на контур сеточной области так, чтобы после отыскания решения значения искомой функции на контуре первоначальной области совпали с теми граничными значениями, которые были заданы на этом контуре. Но такой переход может быть выполнен лишь после того, как будут найдены значения функции во внутренних точках области, т. е. тогда, когда будет решена поставленная задача. В связи с этим удовлетворение граничных условий может быть выполнено лишь путем последовательных приближений, причем переход к точкам контура может быть произведен по формулам [c.88]

Первая краевая задача (задача Дирихле) состоит в определении гармонической функции ф (х, у, г) (интеграла уравнения Лапласа) регулярной внутри области О ио заданным значениям этой функции на границе 5. [c.19]

Чтобы применить теорию интегральных уравненнй к первой краевой задаче (задаче Дирихле), нужно рассмотреть классическую систему дифференциальных уравнений теории упругости как однородную систему с неоднородными граничными условиями и представить решение в виде потенциала двойного слоя, соответствующего фундаментальной матрице решений, которую для этой системы дифференциальвых уравнений построили лорд Кельвин [14] и Сомильяна [40]. [c.143]

Наконец, если в рассматриваемой задаче начальные условия отсутствуют и имеются лишь граничные (краевые), то такую задачу математической физики называют краевой задачей (ее называют также стационарной задачей). При этом, если в краевой задаче используются граничные условия или I, или II, или III родг, то ее называют соответственно или первой, или второй, или третьей краевой задачей (первую краевую задачу называют также задачей Дирихле, вторую — задачей Неймана). [c.126]

Задача (4.16), (4.17) есть, очевидно, первая краевая задача, или задача Дирихле. В тепловых терминах задача (4.16), (4.17) состоит в отыскании стационарного поля температуры и в объеме т по заданному распределению температуры на границе S этого объема. [c.127]

Рассмотрение итерационных процессов выполнения граничных условий позволяет сделать и некоторые чисто математические заключения. В теории оболочек можно говорить о возмущенной и невозмущенной краевых задачах. Под первой подразумевается интегрирование неупрощенных уравнений с учетом всех (тангенциальных и нетангенциальных) граничных условий, а вторая заключается в интегрировании предельных (при = 0) уравнений с учетом одних тангенциальных условий. Возмущенная краевая задача в теории оболочек всегда представляет собой корректно поставленную задачу типа Дирихле. Однако вырожденная задача теории оболочек может оказаться в том или ином смысле некорректной. В ней может иметь место несовпадение числа граничных условий с порядком уравнений, несоответствие типа уравнений типу краевой задачи (может получиться, например, задача Дирихле для гиперболической системы или задача Коши для эллиптической системы) и т. д. Очевидно, что все такие неправильности невозмущенной задачи оказывают существенное влияние на характер напряженного состояния оболочки, и их полезно иметь в виду при разработке любых подходов к фактическому решению задачи (в том числе и непосредственного счета на ЭЦВМ). Если стать на путь приближенных подходов к решению краевых задач теории оболочек, то здесь результаты настоящего раздела находят непосредственное применение. Исходное приближение каждого из рассмотренных итерационных процессов можно рассматривать как приближенный метод решения соответствующей краевой задачи. Получаемые таким образом результаты при желании можно уточнять, увеличивая количество итераций. [c.272]

Здесь мы рассмотрим несколько задач на плоскости, или, вернее, в области Q на плоскости, ограниченной гладкой кривой Г. Нашей целью в первую очередь будет сопоставление с дифференциальным видом этих задач, содержащих оператор Лапласа А и бигармонический оператор А , эквивалентной вариационной формулировки. Это означает, что в вариационной постановке мы должны подобрать допустимые пространства, в которых ищется решение. Естественно, что эти пространства зависят от краевых условий, и, как и в случае одномерной краевой задачи, условия Дирихле (главные условия) будут отличаться от условий Неймана (естественных условий). Примеры привести очень легко, но они представляют собой простейшие модели плоского напряженного состояния и изгиба пластины, так что полезнее еще раз проиллюстрировать основные идеи [c.81]

В заключение остается проверить, действительно ли полученные таким образом ряды будут сходящимися и приведут к решению краевой задачи. Доказательство (ввиду его простоты) проведем при более сильном (чем использованное при построении решения) ограничении. Будем требовать, чтобы функции o v и имели первые производные, удовлетворяющие условиям Дирихле (см. 1 гл. I). При этом ряды [c.404]

Для нахождения единственного решения этого уравнения, отвечающего конкретной задаче, необходимо задание температуры на всей границе области (краевые условия первого рода, задача Дирихле). В рассматриваемом случае задана лишь часть краевых условий, в то время как другая часть неизвестна и ее требуется определить. [c.79]

Как нетрудно видеть, запись (1.6) объединяет три хорошо известных типа граничных условий для краевых задач математической физики [38, 3, 59]. Действительно, при yi=0 имеем граничное условие первого рода (условие типа Дирихле), когда задано распределение изучаемой характеристики на границе среды. При -у2=0 получаем условие второго рода (типа Неймана), когда задана нормальная составляющая градиента поля /(гз, т) на границе среды наконец, при 71=5 0 и 72=7 0 имеем условие третьего (ньютоновского) типа. [c.11]

Рассмотрены различные типы граничных условий на боковой поверхности слоя — статические и кинематические. В первом случае имеем краевую задачу Дирихле, во втором — задачу Неймана (раньше задача Неймана не была сформулирована, так как кинематические условия не исследовались). [c.31]

Если заданы краевые условия типа Дирихле, то ГИУ представляет собой интегральное уравнение (ИУ) первого рода, а при краевых условиях типа Неймана — второго рода ). В случае смешанной задачи ГИУ позволяет найти неизвестные на соответствующих участках границы значения функции и ее производной (или некоторой комбинации производных). [c.184]

Вернемся к граничным условиям. Первый тип граничных условий (7) аналогичен условиям в краевой задаче Дирихле [c.115]

Первый этап указанного выше хода решения нашей задачи ставит нас перед необходимостью решить краевую задачу Дирихле для гармонических функций 0)1, и)2, шз [см. формулы (9.79)]. Однако эта задача, как показал Буссинеск, легко решается в том случае, когда нагрузка состоит из одной сосредоточенной силы, приложенной к какой-либо точке границы отсюда к случаю произвольной нагрузки можно перейти примерно таким же приемом, какой мы в 49 применили к соответственной плоской задаче. [c.270]

Следовательно, справедливо уравнение Ax(x,//) = 0 с граничным условием Xr = + i/ )/2 + onst. В результате задача кручения в такой постановке сведена к так называемой задаче Дирихле (или первой краевой задаче теории гармонических функций). В общем случае доказано, что эта задача имеет единственное рещение, и с помощью подходящих гармонических функций могут быть получены многочисленные точные решения задач кручения для некруговых поперечных сечений. [c.160]

Задача определения поля по заданному потенциалу (звуковому давлению) ф =/ (5) называется задачей Дирихле или первой краевой задачей. Определение поля по заданной производной [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...