Интеграл движения центра тяжести

Так как в рассматриваемой нами системе не имеется какой бы то ни было неподвижной точки, мы можем избрать начало координат где угодно, и, как мы видели в отделе III, в данном случае всегда имеется три конечных интеграла движения центра тяжести, равно как три первых интеграла площадей и, наконец, интеграл живых сил Г + К = //. [c.135]

Закон движения центра тяжести и интеграл площадей являются частными случаями циклических интегралов. 23 [c.167]

Теперь А н В HQ равны. Можно получить четыре первых интеграла, прилагая теорему движения центра тяжести G, теорему кинетической энергии и теорему моментов относительно оси Gzi. [c.228]

Что касается движения центра тяжести С, то это —движение тяжелой точки по поверхности вращения, параллельной заданному эллипсоиду (п. 276). На основании теоремы кинетической энергии и теоремы моментов относительно оси Oz получим два первых интеграла, определяющих движение (Пен леве, там же, стр. 31). [c.229]

Из теоремы о движении центра тяжести в проекции на ось Ог получим первый интеграл уравнений движения. Действительно, так как реакции в точкам А к В нормальны к А и то [c.231]

Принцип сохранения движения центра тяжести дает нам три интеграла, а именно [c.173]

Остановимся теперь на важном для нас случае столкновения двух частиц. Выберем в качестве одной из координатных плоскостей плоскость, проходящую через траектории обеих частиц перед столкновением. В этом случае четыре интеграла движения тождественно обращаются в нуль (две компоненты моментов импульса и по одной компоненте импульса и скорости движения центра тяжести). Остаются, таким образом, шесть интегралов, которые, однако, еще в некоторых отношениях существенно неравноправны. Действительно, как мы увидим далее, скорость системы координат, связанной с центром тяжести, целиком определяется энергией и импульсами сталкивающихся частиц, и поэтому оставшиеся интегралы не независимы. [c.10]

Приложения закона движения центра тяжести. Закон этот не дает интеграла уравнений движения, а представляет только очень простую картину движения во многих случаях такая картина дает важные указания на свойства движения. [c.163]

Так как на систему не действуют никакие внешние силы, то движение ее центра тяжести будет прямолинейным и равномерным, что дает три конечных уравнения движения. По тем же соображениям можно применить теорему площадей относительно трех координатных плоскостей, что дает три первых интеграла. Можно, наконец, получить еще один интеграл при помощи теоремы кинетической энергии. [c.53]

Движение тяжелого стержня в пустоте. Пусть тяжелый стержень АВ (рис. 195), рассматриваемый как материальная прямая, брошен в пустоте. Центр тяжести О описывает параболу. Если через эту точку провести оси Gx, Gy, Gz постоянного направления, то сумма моментов внешних сил относительно каждой из них равна нулю, так как внешними силами являются веса, которые имеют равнодействующую, приложенную в G. Следовательно, для относительного движения по отношению к осям х, у, г можно написать три интеграла (3) и (4). Пусть р—точка стержня, расположенная на расстоянии, равном единице, от точки G в каком-нибудь определенном направлении, а, Ь, с — ее координаты относительно осей Gx y г, т — точка, находящаяся на расстоянии г от О, причем г положителен или отрицателен в зависимости от того, имеет ли Gm тот же знак, что Gp или противоположный. Координатами точки т являются [c.60]

С другой стороны, моменты относительно оси вращения АВ внешних сил, каковыми являются вес и реакции линеек, равны 0. Поэтому если исследовать движение тела вокруг своего центра тяжести G, для которого АВ является главной осью инерции, то одно из уравнений Эйлера покажет, что в этом движении составляющая г по оси АВ мгновенной угловой скорости вращения тела постоянна. Отсюда еще один первый интеграл. [c.230]

Эти четыре первых интеграла совпадают с теми, которые мы нашли непосредственно (л. 407) путем применения общих теорем. Два первых выражают, что горизонтальная проекция центра тяжести совершает прямолинейное и равномерное движение третий показывает, что составляющая г мгновенной [c.370]

Третий интеграл движения получаем на основании теоремы живых сил. Пусть С есть постоянное расстояние точки опоры О от центра тяжести Г. Это — положительная величина, представляющая собой относительную координату центра тяжести Г. Ес и j — вертикальная координата той же точки, то — = С os б. Следовательно, вес имеет силовую функцию [c.115]

Отметим еще как непосредственное следствие равенства (5) что если результирующий момент внешних сил относительно прямой а, неподвижной или проходящей через центр тяжести и сохраняющей неизменное направление, постоянно равен нулю, то во все время движения (скалярный) результирующий момент Ка количеств движения относительно прямой а будет оставаться постоянным (интеграл скалярного момента количеств движения). [c.261]

Чтобы вычислить осевой кинетический момент К, заметим, что на самом деле интеграл моментов существует только в том случае, если центр приведения моментов берется в точке, неизменно связанной с галилеевой системой отсчета (или в центре тяжести) в нашем случае, когда начало галилеевой системы выбрано в центре тяжести (находящемся в равномерном и прямолинейном движении), имеем Qi = — Qa = О поэтому при равенстве нулю результирующей количеств движения выбор центра моментов является совершенно безразличным, и если возьмем этот центр в теле Ро, то для интеграла моментов найдем явное выражение [c.330]

По поводу различных задач, относящихся к движению системы материальных точек и рассмотренных до сего времени, можно сделать одно важное и интересное замечание Во всех случаях, когда силы являются функциями только координат движущихся точек и когда задачу удалось свести к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка с двумя переменными, оказывается также возможным свести эту задачу к квадратурам. Мне удалось превратить это замечание в общее положение, которое, как мне кажется, дает новый принцип механики. Этот принцип, так же как и другие общие принципы механики, дает возможность получить интеграл, но с той разницей, что другие принципы дают только первые интегралы дифференциальных уравнений динамики, тогда как новый принцип приводит к последнему интегралу. Этот принцип обладает общностью, более высокой, нежели другие принципы, потому что он применим к случаям, когда аналитические выражения сил, а также уравнения, выражающие структуру системы, содержат координаты движущихся точек в любой форме. С другой стороны, принципы сохранения живых сил, сохранения площадей и сохранения центра тяжести во многих отнощениях имеют преимущество перед новым принципом. Прежде всего, эти принципы дают конечное уравнение между координатами движущихся точек и составляющими их скоростей, тогда как интеграл, получаемый на основании нового принципа, требует еще квадратур. Во-вторых, применение нового принципа предполагает, что уже найдены все интегралы, кроме одного, предположение, которое осуществляется лишь в очень небольшом количестве задач. Но это обстоятельство не может уменьшить- ценности нового принципа, в чем, я надеюсь, убедит применение его к нескольким примерам. [c.294]

Вопрос о движении тяжелого твердого тела в случае, когда центр его тяжести находится в точке опоры, аналитически исследован Эйлером, который написал обширный трактат па эту тему но полное решение его было дано с помощью изящного геометрического метода Пуансо, показавшим, что интеграла живых сил и площадей вполне достаточно, чтобы дать полную картину движений. Второй случай, который поддался решению, соответствовал таким обстоятельствам, при которых эллипсоид инерции относительно точки опоры есть эллипсоид вращения и па оси вращения этого эллипсоида лежит центр тяжести тела. Задача [c.64]

Здесь (ж, у, г) — координаты центра тяжести в главных осях эллипсоида инерции. Уравнения движения имеют частный интеграл (типа Ф = О, когда Ф = 0), который в переменных X, С, I, g можно записать так [c.105]

Кроме этого интеграла имеется, разумеется, еще шесть линейных интегралов количества движения, которые означают, что центр тяжести движется по прямой линии с постоянной скоростью если мы выберем систему координат таким образом, чтобы центр тяжести был неподвижен и находился в начале координат, то эти шесть интегралов примут вид [c.261]

Применяя этот интеграл к движению относительно Земли в случае, когда центр тяжести неподвижен, и пренебрегая -, получаем [c.52]

Мы будем рассматривать задачу, известную в науке под именем проблемы трех тел, т.е. задачу о движении трех тел, которые мы будем считать материальными точками, притягивающимися по закону Ньютона. Эти точки мы обозначим через Ро, Р1, Рг их массы соответственно через то, тх, тг, а через го, п, Гг обозначим расстояния между точками Р1 и Рг, Ро и Рг, Ро и Р1. Кроме того, через р мы обозначим расстояние точки Рг от центра тяжести точек Ро и Р . Движения точек мы будем описывать в координатах Якоби пусть х, у, г — координаты точки Р1 относительно осей с началом в точке Ро и г], ( — координаты точки Рг относительно осей с началом в центре тяжести точек Ро и Рг. Координатные оси обеих систем предполагаются параллельными. Интеграл энергии в координатах Якоби имеет вид [c.115]

Интеграл (31) следует из теоремы об изменении кинетической энергии см. п. 88 левая часть (31) есть кинетическая энергия шара она постоянна, так как работа внешних сил, приложенных к шару, равна нулю). Существование интегралов (32) и (33) следует из теоремы об изменении кинетического момента в ее общей форме (см. формулу (7) п. 87). Действительно, момент внешних сил (силы тяжести и реакции плоскости) относительно точки касания шара и плоскости равен нулю. А так как скорость геометрической точки , которая вычерчивает след шара на плоскости, очевидно, равна скорости центра масс шара, то из теоремы об изменении кинетического момента следует, что кинетический момент Ко шара относительно точки касания остается во все время движения неизменным. Но, воспользовавшись формулой (4) п. 81, легко получить, что [c.323]

Винтовое исчисление Котельникова выросло из доказанной им теоремы 340 о так называемых винтовых интегралах , частными случаями которых являются интеграл движения центра тяжести системы материальных точек и интеграл площадей. Изучая образование из двух винтовых интегралов третьего при помощи скобок Пуассона, Котельников приходит к операции умножения винтов, аналогичной векторному умножению векторов. Эта операция вместе с операциями, определенными Боллом, позволила Котельникову построить исчисление винтов, вполне аналогичное векторному исчислению. Вияты, представляющие собой совокупности двух коллинеарных, скользящего и свободного, векторов а и а, он записывал также в форме параболических бивекторов a=a-f-ea (е2=0) Клиффорда. По аналогии со скалярным и векторным произведениями Гамильтона Котельников определял скалярное и винтовое произведения винтов аир как скалярную и винтовую части 5ар и Fap произведения ар бивекторов аир. Заметим, что относительный момент двух винтов у Болла представляет собой сумму скалярных произведений скользящих и свободных векторов двух винтов. [c.340]

После этого для окончательного определения движения достаточно будет четырех интегралов. Два интеграла вытекают из теоремы движения центра тяжести, показывающей, что горизонтальная проекция центра тяжести совер-щает прямолинейное и равно.мерное движение. [c.229]

Тем более подобные ситуации возможны при распространении метода Гамильтона — Якоби на системы с неголономными связями. Мы проиллюстрировали предложенный нами описанный способ применения метода Гамильтона — Якоби к неголономным системам на примере частного случая задачи Каратеодори — Чаплыгина, а также на примере движения без скольжения однородного шара по горизонтальной плоскости. Для данной задачи уравнение Гамильтона — Якоби было составлено в нормальных неголономных координатах, полный интеграл был найден и с его помощью выявлен один первый интеграл уравнений движения — неизменность проекции угловой скорости шара на вертикаль. Этого было достаточно для решения всей задачи в силу наличия двух дифференциальных уравнений связей, интеграла энергии и вытекавшей из элементарных соображений общей механики прямолинейности движения центра тяжести шара. Наши работы по данному вопросу получили в дальнейшем отклик. В конце сороковых годов итальянский механик Пиньедоли опубликовал статью по данному вопросу с той же методикой. В настоящее время данной проблемой занимались в своих кандидатских диссертациях молодые научные работники (Назнев X. А., Титкова С. И.). [c.8]

Мы имеем здесь, очевидно, интеграл живых сил, наличие которого всегда moiJKHo было предвидеть. Действительно, обращаясь к неподвижным осям, мы видим, что в настоящей задаче связи (закрепление центра тяжести и возможность движения гироскопической оси только в плоскости л) по предположению являются идеальными и не зависят от времени поэтому все будет происходить так, как если бы активные силы сводились для каждой точки к сложным центробежным силам. Всякая такая сила будет перпендикулярна к скорости V точки приложения поэтому во всякий элемент времени dt ее элементарная работа будет равна нулю. Следовательно, нулю же будет равна и элементарная работа dL активных сил уравнение живых сил будет поэтому иметь вид dT = О, что непосредственно следует из уравнения (106). [c.163]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Задача двух тел в плоскости.) Покажите, что для системы двух точечных м в плоскости с таким же законом взаимодействия, как в предыдущем упражнении, четь интеграла (энергия, угловой момент н координаты скорости центра тяжести) независи Опишите движение относительно центра тяжести. [c.208]

Это — движение твердого тела вокруг его центра тяжести. Размерность фазового пространства равна б. Существует 4 первых интеграла, независимых и однозначных энергия Т и три составляющие момента количества движения т относительно фиксированных осей. Точки фазового пространства, для которых Тит принимают заданные значения, образуют в общем случае многообразие М размерности 2 = 6 — 4, являющееся тором. Так как многобразие М инвариантно относительно динамического потока ipt, М несет инвариантную меру л (теорема Лиувилля). Следовательно, (М, / , ( ) — классическая система. Это доказывает также, что М несет на себе поле касательных векторов, не имеющее особых точек, — инфинитезимальный генератор потока (р . [c.118]

Пусть I = ОМ (рис. 367) — радиус сферы, по которой движется точка (длина нити). Направим из центра О сферы вертикально вниз ось Ог и будем определять положение маятника сферическими координатами ф и 0, где ф — угол отклонения радиуса ОМ от вертикали, а 0—угол между вертикальными плоскостями MOz и xOz. На маятник М действуют сила тяжести mg и реакция сферы (или натяжение нити) /V. Для составлершя уравнений движения воспользуемся первыми интегралами энергии и площадей. Так как сила mg потенциальная, а связь идеальная и склерономная, то имеет место интеграл энергии (42) [c.427]

Эти общие соображения С. А. Довбыш применил к известной задаче о вращении несимметричного твердого тела с неподвижной точкой в слабом однородном поле силы тяжести. Малым параметром здесь служит произведение массы тела на расстояние от центра масс до точки подвеса. Факторизацией по группе вращений вокруг вертикали задача сводится к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. Фиксируя еще положительное значение постоянной интеграла энергии и применяя метод Уиттекера изоэнергетической редукции, уравнения движения можно привести к гамильтоновым уравнениям с 3/2 степенями свободы и периодическим по новой переменной времени гамильтонианом рассмотренного выше типа (все детали можно найти в книге [83]). В этой задаче диаграмма сепаратрис невозмущенной задачи Эйлера (в несимметричном случае) имеет вид, изображенный на рис. 29 (точки и 2з совпадают, так как фазовым пространством системы является цилиндр, а не плоскость). Особенностью этой задачи является совпадение характеристических чисел для гиперболических положений равновесия и 2. Выделим сепатрисы Г1, Гг и Гз, как показано на рис. 29. [c.290]

Замечание 3. Интеграл Гесса, как и интеграл Лагранжа, имеются в более сложной системе с пятью степенями свободы [41] — тело, подвешенное на невесомом жестком стержне струне), движется в поле тяжести [153]. Для интегрируемости этой системы даже при наличии указанных интегралов не хватает еще трех инволютивных интегралов. Они неизвестны, а единственный случай интегрируемости связан с полным разделением движений, когда точка закрепления тела на струне совпадает с центром масс. [c.250]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...