Уравнение характеристическое для главных

Несмотря на то что любую поверхность можно описать уравнением вида (5), не всякую поверхность можно выбрать в качестве поверхности прочности более того, поверхность прочности не может быть мнимой и должна быть односвязной. Условия, которым должны удовлетворять коэффициенты f , Fij,. .. для того, чтобы выполнялись эти требования, изучаются в курсах геометрии. Геометрическая интерпретация полезна при установлении ограничений на Fi, Fij,. .. и при определении главных осей. При плоском напряженном состоянии поверхность прочности является трехмерной, так как определяется тремя компонентами напряжений о, ог и Ос,. Ради краткости изложения мы ограничимся — при рассмотрении геометрических интерпретаций и изучении корней уравнения (5) — лишь плоским напряженным состоянием и трехмерными поверхностями прочности. Метод определения характеристических направлений в и-мерном евклидовом пространстве позволяет распространить полученные ниже результаты на случай трехмерных напряженных состояний и шестимерные поверхности прочности. Развернув уравнение (56) для случая плоского напряженного состояния, т. е. для i,j = 1, 2, 6, получим уравнение поверхности прочности второго порядка [c.451]

Соотношение (42.33) между характеристической и главной функциями устанавливается из следующих простых соображений. Когда материальная система консервативна, то в уравнение (42.21) для главной функции время t явно не входит, так как оно не входит явно в функцию Н. Поэ- [c.456]

Поскольку уравнение (82) является решением однородной системы дифференциальных уравнений (49) для одного из корней характеристического уравнения, то с учетом всех форм главных колебаний общее решение системы дифференциальных уравнений (49) [c.56]

Отметим, что по формуле (5.65) определяются критические значения коэффициентов затухания для главных зон динамической неустойчивости, количество которых зависит от числа корней характеристического уравнения (5.18а). [c.214]

Условия разрешимости этих уравнений приводят к характеристическому уравнению для главных значений тензора деформаций [c.35]

Соответственно характеристическая функция 5 (уравнение (5.39)) теперь состоит из трех частей одна — для падающей асимптоты, другая —для главного луча внутри линзы и еще одна — для выходящей асимптоты. Также очевидно, что если главный луч ищется в виде [c.311]

Отметим, что тип линейного дифференциального уравнения с частными производными высокого порядка более просто можно установить из исследования главной части дифференциального оператора, для которой составляется характеристический многочлен формальной заменой символов дифференцирования . Например, для уравнения (3.3) характеристический многочлен главной части оператора имеет вид [c.25]

Решение характеристического уравнения для девиатора О (Т) можно представить в тригонометрической форме, зто приводит к следующим формулам для главных значений тензора Т [c.35]

В этом уравнении входит в элементы главной диагонали. Преобра.зо-вание А. Н. Крылова позволяет представить характеристическое уравнение в такой форме, что частоты будут принадлежать элементам первого столбца определителя, находящегося в левой части характеристического уравнения. Это преобразование можно рассматривать как некоторый метод исключения N — 1 неизвестной функции из системы уравнений (II. 185) и получения дифференциального уравнения порядка 2N для определения некоторой функции из общего количества N функций qj. [c.241]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

Обращаясь к формулам (22) и (25), видим, что определенные здесь коэффициенты Pi и Рг не только по обозначению, но и по их механическому значению совпадают с коэффициентами форм главных колебаний. Отсюда следует, что для определения главных координат можно применить другой путь сначала решить характеристическое уравнение (15), а затем определить коэффициенты форм по формулам (19) и (24). Любая задача [c.563]

А, В, С, р — постоянные, которые надо определить так, чтобы выражения для частных интегралов удовлетворяли системе (1.5.1). Подставляя в нее эти интегралы, получим систему алгебраических уравнений относительно этих постоянных. Решения такой системы имеют вид А = Д1/Д, В = AJA, С = Д3/Д, где Д — главный (характеристический) определитель, Д1, До, Дз — частные определители системы. Так как в нашем случае правые части алгебраических уравнений равны нулю, то также равны нулю и все частные определители системы. Следовательно, для получения нетривиальных (отличных от нуля) решений должно удовлетворяться равенство нулю главного определителя. [c.40]

Резюме. Движение произвольной механической системы вблизи положения устойчивого равновесия удобно изучать с помощью пространства конфигураций. В этом случае пространство евклидово, а переменные qi служат в нем прямолинейными координатами. Главные оси квадратичной формы потенциальной энергии определяют п взаимно ортогональных направлений в пространстве конфигураций, которые могут быть выбраны в качестве осей естественной системы координат. С-точка совершает гармонические колебания вдоль этих направлений с частотами, меняющимися от одной оси к другой. Амплитуды и фазы этих колебаний, называемых нормальными , произвольны и зависят от начальных условий. Произвольное движение системы является суперпозицией нормальных колебаний. В результате такого движения С-точка описывает фигуры Лиссажу в пространстве конфигураций. Для устойчивости равновесия требуется, чтобы корни характеристического уравнения были положительны, так как в противном случае нарушается колебательный характер движения. [c.189]

Для того же чтобы получить для любой группы внутренних или относительных отметок положения два уравнения в частных производных, которым должна удовлетворять характеристическая функция V, относительного движения и которые представляют (как мы убедимся далее) главный способ раскрытия ее формы, а именно уравнения, аналогичные тем, которые обозначены (р) и (О), нам только нужно исключить приращения отметок положения системы, которые определяют конечные и начальные компоненты относительных скоростей ее точек согласно закону переменного относитель- [c.198]

Три уравнения (К ) в том случае, когда вспомогательная постоянная исключается посредством формулы (Ь ), строго представляют (согласно нашей теории) три конечных интеграла трех известных уравнений второго порядка (М ) для относительного движения бинарной системы (т,- т ) и дают для такой системы три переменные относительные координаты 1, 0 как функции их начальных значений и начальных скоростей а р,, v , а, / , т и времени /. Подобным же образом три уравнения (I ), по исключении посредством (Ь ), представляют собой три промежуточных интеграла этих же известных дифференциальных уравнений движения той же бинарной системы. Эти интегралы перестают быть строгими, когда мы вводим возмущения относительного движения этой частной или бинарной системы (т,/Пп), возникающие вследствие притяжений или отталкиваний других точек т, всей предполагаемой множественной системы. Однако они могут быть исправлены и сделаны строгими путем использования остающейся части У/2 полной характеристической функции относительного движения V вместе с главной частью приближенного значения Уравнения (Х ), (У ) двенадцатого параграфа дают строго [c.227]

Главные напряжения определяются как корпи характеристического уравнения для тензора напряжений [c.405]

Задача построения напряженного состояния, соответствующего т-у члену разложения потенциальной функции в тригонометрический ряд по 0, принципиально решена до конца. Однако полученные формулы слишком громоздки, и в дальнейшем нашей главной задачей будет упрош,ение выведенных в предыдуш,их параграфах соотношений за счет отбрасывания второстепенных членов. Для этого прежде всего надо изучить корни характеристического уравнения. [c.349]

Аналогично тому, как это было выполнено при рассмотрении тензора напряжений, можно изучить, в каких направлениях имеются только относительные деформации и отсутствуют сдвиги. Можно показать, что эти направления соответствуют также экстремальным значениям относительных деформаций, которые называются главными относительными деформациями и обозначаются через 1, 82, з- Для определения главных деформаций может быть использовано характеристическое уравнение [c.28]

Bee три корня уравнения (11.1.13) вещественны. Действительно, по математической классификации задача (11.1.11) является задачей па собственные значения для системы линейных уравнений, матрица которой в силу парности касательных напряжений — симметрическая. А собственные значения симметрической матрицы, являющиеся корнями ее характеристического (векового) уравнения (11.1.13), всегда вещественны. Каждому из них соответствует собственный вектор, являющийся в нашем случае решением систем (11.1.11) и определяющий единичный вектор нормали к главной площадке. Если корни различны, то соответствующие им собственные векторы ортогональны и поэтому три главные площадки взаимно перпендикулярны. [c.333]

Частоты главных колебаний со и соз не зависят от системы координат, которая выбрана для расчетов, поэтому (II. 1.42) совпадает с теми значениями частот, которые получают при решении характеристического уравнения (И. 1.28). [c.41]

Согласно данному критерию, все коэффициенты характеристического уравнения должны отличаться от нуля и иметь одинаковый знак. При этом условии в системе не могут возникнуть монотонно расходящиеся процессы. Для того чтобы в системе отсутствовали расходящиеся колебательные процессы, необходимо, чтобы были положительны главные определители матрицы Гурвица (или должны выполняться условия критерия Рауса). [c.46]

Коэффициенты регулятора (их число равно pxm), однако, нельзя определить однозначно, задавая m коэффициентов а- характеристического уравнения. Поэтому необходимо задать дополнительные требования. Как показано в [2.22], выбор определенного вида структуры матрицы К или Р упрощает вычисление коэффициентов а,. Например, для введения обратной связи можно использовать только переменные состояния главного элемента передачи или кроме них учитывать перекрестные связи при формировании прямых связей. В такой упрощенной структуре можно однозначно определить коэффициенты регулятора, задавая коэффициенты щ характеристического уравнения. Другие подходы к синтезу регуляторов с заданным расположением полюсов описаны, например, в работе [2.19]. [c.344]

Соответствующие системы уравнений для определения напряженного и деформированного состояний принадлежат к параболическому типу и характеристические поверхности ортогональны к направлению третьего главного напряжения. [c.30]

Характеристическое уравнение для девиатора напряжений, записанное через главные значения девиатора, получается приравниванием нулю определителя [c.105]

В каждой точке деформируемого твердого тела всегда есть три взаимно ортогональные оси, для которых угловые деформации равны нулю. Такие оси называются главными, а линейные деформации в направлении этих осей — главными линейными деформациями. Главные линейные деформации определяются из характеристического кубического уравнения [c.36]

Вопрос об устойчивости линейной системы (7) решается непосредственно на основе изучения характеристических чисел этой системы (а иногда еш,е и структуры элементарных делителей фундаментальной интегральной матрицы решений системы). Но, как видно, и для нелинейной системы вопрос об устойчивости получает полное решение, если все характеристические числа % отрицательные (а система первого приближения правильная или неправильная, но обладает дополнительными свойствами) или если есть хотя бы одно ки > 0. Мы видим, таким образом, что первый метод позволяет не только решать задачу об устойчивости нулевого решения (безусловной или условной), но и получать уравнения интегральных кривых. Вместе с тем, пользуясь этим представлением решений, можно получить различные дополнительные сведения о поведении решений рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Выделяя главную часть этих представлений, можно получить решение с необходимой точностью в виде элементарных функций. При этом мы увидим различное влияние на происходящий процесс параметров, входящих в правую часть рассматриваемых дифференциальных уравнений. Например, если имеет место асимптотическая устойчивость, то можно видеть, как эти параметры влияют на скорость приближения точки ( 1 ( ),. . Хп ( )) к началу координат при - оо. [c.71]

Известно, ЧТО собственные значения вещественного симметричного тензора второго ранга являются всегда вещественными числами. Для тензора напряжений это можно непосредственно доказать, если исходить из характеристического уравнения. Один корень кубического уравнения должен быть всегда вещественным. Предположим, что это главное напряжение аь действующее в главном направлении х, тогда [c.27]

Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр называется характеристическим, или собственным, значением системы. С задачами на собственные значения инженер сталкивается в различных ситуациях. Так, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими значениями. При динамическом анализе механических систем собственные значения соответствуют собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют моды этих колебаний. При расчете конструкций собственные значения позволяют определять критические нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости. [c.49]

Рассмотрим теперь рещения уравнений (3.10), называемые квазипоперечными волнами, в которых главное изменение претерпевают компоненты щ и П2. Малость коэффициентов Ф j при г ф j позволяет пользоваться при рещении приближенным методом. В качестве нулевого приближения для характеристических скоростей квазипоперечных волн возьмем рещение (3.6) линейной задачи, в котором />0 1,2 = а = /. Это позволяет выразить из последнего уравнения (3.10) йиз через йщ и 2- Ограничиваясь только главными членами, получим [c.164]

Мы нашли, таким образом, характеристическое уравнение для системы, имевшей вначале т степеней свободы, движение которой ограничено г связями. Форма этого уравнения определяется главным образом тем, что оно должно оставаться неизменным при перестановке как любых букв, так и любых индексов. Можно было также предвидеть, что оно теряет свой смысл, если два из условий, выражающих связи, совпадают. Если г = т—1, [c.148]

Оба эти представления для решений справедливы, что видно из уравнения (ж). Как и в общем случае однородных алгебраических уравнений, здесь могут быть получены только такие решения, которые содержат произвольные постоянные. Таким образом, абсолютная величина амплитуд не может быть определена, а можно найти только их отношения или формы колебаний. Второй индекс (1 и 2) в выражениях (3.20а) и (3.206) для амплитуд означает собственные (или главные) формы колебаний, соответствующие корням р и р1-Как и в п. 3.1, решения (3.19) характеристического уравнения записаны так, что выполняется условие рх < р2. Меньшее значение представляет круговую частоту первой или основной формы колебаний, а большее соответствует второй форме колебаний. [c.216]

Пример I. На рис. 4.1, а показана система, состоящая из трех масс, соединенных друг с другом и с основанием тремя пружинами. Движение этой системы с тремя степенями свободы определяется координатами перемещений Ху, Ха. Пусть для простоты имеем — гпз= т и ку = к2 = кз = й. Используя уравнения в усилиях, определить характеристические значения и главные формы колебаний. [c.248]

Главные оси и ограничения на коэффициенты Fi и которые будут исследованы только для этих двух типов иоверхио-стей, можно определить путем анализа двух характеристических матриц уравнений (83) [c.452]

Все корни являются действительными, и потому главные оси — это п действительных, векторов в п-мерном евклидовом пространстве. Корин Л,- алгебраического уравнения л-й степени являются, вообще говоря, комплексными-, то обстоятельство, что они оказываются действительными для характеристического уравнения (5.10.23), обусловлено си.мметрией элементов детермината aik и [c.182]

XLIII. ГЛАВНАЯ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ НЕСВОБОДНОГО ДВИЖЕНИЯ В КООРДИНАТАХ, СВЯЗАННЫХ УСЛОВНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ [c.461]

Для шарнирного несущего винта Zq = 0, а Z мало, так что последний член близок к —Для винта с относом ГШ или бесшарнирного винта влияние полета вперед на характеристическое уравнение проявляется главным образом через член —Mwixs . В общем случае характеристическое уравнение можно аппроксимировать следующим [c.754]

Процедура нахождения матрицы тензора в главном множестве координат по его матрице, заданной в произвольном множестве координат (П1.29), называется диаготлтацией тенила. Для трехмерного пространства выполнение этой процедуры сводится к решению кубического уравнения (П1.59) с непрошенным соблюдением условия (П1.62). Отметим, что для симметричных тензоров корни характеристического уравнения (П1.59) всегда являются действительными числами. При этом всегда выполняется неравенство [c.249]

Пример 11.1. Пайдем главные напряжения для папря-женного состояния, показанного слева на рис. 11.5. Для него о ж = O / = o z — О, Тху — Tyz — Tzx = "Г- Поэтому характеристическое уравнение (11.1.12) имеет вид [c.334]

Чтобы получить характеристическое соотношение вдоль траектории, вытекающее из уравнения неразрывности, запишем его в виде vdp/dl+f) = 0 (здесь ф/t//—производная от р в направлении скорости V—модуль скорости s—скорость объемной деформации). Выразим нормальную скорость деформации S[ через е. Для этой цели используем формулы (1.4), в которых заменим напряжения на компоненты тензора скоростей деформаций. Обозначим угол, который составляет направление скорости с направлением первого главного напряжения сть через 0. Тогда из (1.4) получаем 8( = 0,5е + 0,5 (8i —s2) os20 56 [c.56]

Однако, выражения (3.4) для Ф, показывают, что диагональные члены матрицы Ф, имеют конечную величину в то время, как недиагональные являются малыми порядка е или меньше. Это значит, что в одной волне изменение компоненты из будет главным, а изменения других имеют величины на порядок (по е) меньше, чем у основной. Такие волны принято называть ква-зипродольными В двух других волнах изменение из на порядок меньше, чем у сдвиговых компонент их,и2. Такие волны называются квазипоперечными. Вычисление характеристических скоростей из уравнения (3.5) можно проводить, используя малые поправки к решению (3.7). Это будет сделано в следующих параграфах. [c.158]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...