Суперпозиция нормальных колебаний

Итак, представим реальные тепловые смещения п-го атома решетки в виде суперпозиции нормальных колебаний [c.132]

Так же как для систем с двумя степенями свободы, в рассматриваемых системах можно ввести нормальные координаты. Число нормальных координат равно числу степеней свободы системы. Движение каждой нормальной координаты происходит независимо от остальных. Поэтому каждая нормальная координата совершает гармоническое колебание с собственной, или нормальной, частотой. Любые свободные и вынужденные колебания можно представить в виде суперпозиции нормальных колебаний. [c.281]

Таким образом, при собственных колебаниях системы каждая нормальная координата совершает гармоническое колебание с соответствующей собственной частотой. Любое собственное колебание представляет суперпозицию нормальных колебаний. [c.285]

Резюме. Движение произвольной механической системы вблизи положения устойчивого равновесия удобно изучать с помощью пространства конфигураций. В этом случае пространство евклидово, а переменные qi служат в нем прямолинейными координатами. Главные оси квадратичной формы потенциальной энергии определяют п взаимно ортогональных направлений в пространстве конфигураций, которые могут быть выбраны в качестве осей естественной системы координат. С-точка совершает гармонические колебания вдоль этих направлений с частотами, меняющимися от одной оси к другой. Амплитуды и фазы этих колебаний, называемых нормальными , произвольны и зависят от начальных условий. Произвольное движение системы является суперпозицией нормальных колебаний. В результате такого движения С-точка описывает фигуры Лиссажу в пространстве конфигураций. Для устойчивости равновесия требуется, чтобы корни характеристического уравнения были положительны, так как в противном случае нарушается колебательный характер движения. [c.189]

СВЯЗАННЫЕ колебания — свободные колебания связанных систем, состоящих из взаимодействующих одиночных (парциальных) колебат. систем. С. к. имеют сложный вид вследствие того, что колебания в одной парциальной системе влияют через связь (в общем случае диссипативную и нелинейную) на колебания в другой. В нелинейных системах С. к. могут быть представлены в виде суперпозиции нормальных колебаний, чис- [c.471]

Это означает, что в линейном приближении изменения нормальных координат независимы друг от друга и что произвольное малое колебание системы представляет собою суперпозицию нормальных колебаний. Напомним, что к-и нормальным колебанием системы называется частное решение уравнений (1.12) вида [c.252]

Определим скорость с, исходя из представления о биениях, как суперпозиции нормальных колебаний. Для этого вначале перепишем дисперсионное соотношение (3.55) в виде [c.63]

J СУПЕРПОЗИЦИЯ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИИ 219 [c.219]

Суперпозиция нормальных колебаний [c.219]

СУПЕРПОЗИЦИЯ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ [c.221]

Рис. 215. Сила Р, оттягивающая струну, приложена а—в точке х—ЬГ2, б—в точке х=Ь/Ъ. В момент г=0 сила Р исчезает и начинаются колебания струны, представляющие собой суперпозицию нормальных колебаний.

Электромагнитные волны в сосуде можно рассматривать как суперпозицию нормальных колебаний. Пусть г есть частота -го нормального колебания, щ — квантовое число этого колебания, которое может рассматриваться как квантовый гармонический осциллятор. Тогда энергия электромагнитной волны, характеризуемой квантовыми числами (по,. . . ), будет [c.272]

Общее решение системы дифференциальных уравнений возмущенного движения (7.47) есть наложение (суперпозиция) нормальных колебаний, частоты которых называются собственными частотами колебаний консервативной системы. [c.459]

Колебат. Л. с. подразделяются на консервативные, сохраняющие свою энергию, и неконсервативные, получающие или отдающие энергию. Собственные движения в консервативных Л. с., как с сосредоточенными, так и с распределёнными параметрами, можно представить в виде суперпозиции нормальных колебаний , в неконсервативных, неавтономных колебат. Л. с., строго говоря, это невозможно. [c.347]

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (собственные колебания), колебания в механич., электрич. или к.-л. др. системе, совершающиеся при отсутствии внеш. воздействия за счёт первоначально внесённой энергии (потенциальной или кинетической, напр, в механич. системах через нач. смещения или нач. скорости). В реальных системах вследствие рассеяния энергии С. к. всегда затухающие. В линейных системах С. к. представляют собой суперпозицию нормальных колебаний. Подробнее см. Колебания, [c.671]

Одно из замечательных свойств типов колебаний состоит в том, что они не преобразуются друг в друга. В этом отношении они аналогичны нормальным колебаниям механической системы, с помощью которых любое движение связанной системы точечных масс можно рассматривать как наложение одномерных колебаний, происходящих независимо друг от друга ). Аналогичным образом и общая задача об определении поля в резонаторе разбивается на более простые задачи об изучении парциальных полей с неизменной во времени геометрической конфигурацией (т. е. типов колебаний), а полное поле конструируется затем как суперпозиция типов колебаний. Такой подход характерен. для физики вообще, и простейшим примером его применения может служить разложение движения материальной точки на три парциальных движения в адекватных системах координат (декартова система в случае инерциального движения или однородного поля сил, цилиндрическая система координат для кругового движения и т. п.). [c.810]

Таким образом, в наиболее общем случае решетки с базисом движение атомов может быть представлено как суперпозиция 3rN нормальных колебаний, или мод. Каждое нормальное колебание с механической точки зрения представля- [c.160]

Переход от реальных тепловых колебаний решетки к нормальным колебаниям. Атомы кристаллической решетки совершают тепловые колебания относительно положений равновесия—узлов решетки. В идеальной решетке все атомы физически равноправны. В такой структуре взаимосвязанных атомов смещение любого из атомов распространяется по всему коллективу по кристаллической решетке бежит волна — типичное коллективное движение. Совокупность коллективных движений может быть представлена Б виде суперпозиции плоских монохроматических волн (так называемых нормальных волн) вида [c.132]

Так же как в системе, состоящей из отдельных масс, выбором соответствующих начальных условий в стержне можно возбудить то или иное из свойственных ему нормальных колебаний. При произвольном выборе начальных условий в стержне сразу возбуждаются в той или иной степени все нормальные колебания, которыми обладает эта система. Всякое колебание стержня, возникающее в результате начального толчка, представляет собой суперпозицию тех или иных нормальных колебаний. В системе, состоящей из отдельных масс, возникновение тех или иных нормальных колебаний определяется характером начальных отклонений всех масс. Точно так же в струне возникают различные нормальные колебания в зависимости от характера начального отклонения струны. Оттягивая струну в различных точках, мы будем возбуждать в ней, вообще говоря, различные нормальные колебания. Поэтому и характер звука, издаваемого струной, будет, вообще говоря, различным. [c.652]

Возникновение нормальных колебаний в результате начального отклонения системы было рассмотрено в 148 на примере струны. При этом были высказаны качественные соображения о характере нормальных колебаний в сплошных телах. Сейчас мы обратимся к рассмотрению колебаний в упругом стержне. В результате этого анализа во многих случаях можно будет получить не только качественные, но для простейших колебательных систем и количественные данные о нормальных колебаниях в сплошной системе. Эта возможность связана с тем, что всякие собственные колебания, возникающие в сплошной системе (как и в связанных системах с конечным числом степеней свободы), представляют собой суперпозицию тех или иных нормальных колебаний, свойственных данной системе. Поэтому гармониками спектра тех собственных колебаний, которые могут возникнуть в какой-либо сплошной системе, должны являться нормальные колебания, свойственные данной системе. Изучить спектры собственных колебаний какой-либо достаточно простой колебательной системы можно элементарными методами зная же эти спектры, можно опре- [c.658]

Суперпозиция части или всех гармонических колебаний, описываемых выражениями (18.16) и (18.17), охватывает все те собственные колебания, которые могут возникнуть в стержне со свободными концами. Кратковременное внешнее воздействие, обладающее очень широким спектром частот, способно возбудить практически все нормальные колебания, свойственные системе. Число этих нормальных колебаний теоретически бесконечно велико (поскольку k может быть любым), но практически оно, конечно, ограничено хотя бы вследствие того, что воздействие имеет конечную продолжительность и поэтому не может возбудить сколь угодно быстрых колебаний. [c.667]

Величины Ds и определяются начальными условиями. Собственное колебание л-го звена цепочки представляет суперпозицию N нормальных колебаний. Распределение амплитуд по координатам для каждой собственной частоты происходит по синусоидальному закону. [c.300]

Координаты 1, I2, In называются главными или нормальными координатами колебательной системы колебание, при котором изменяется лишь одна главная координата, а остальные все время равны нулю, называется главным колебанием. Мы говорим, что в главном колебании соответствующая главная координата возбуждена, а остальные координаты находятся в покое. Как видно из формулы (9.1.14), в г-ж главном колебании координата изменяется по гармоническому закону с периодом 2п рг- Всего имеется п таких периодов, не обязательно различных их называют собственными периодами или периодами свободных колебаний системы. Периоды свободных колебаний являются инвариантами системы и не зависят от лагранжевых координат, выбранных первоначально для описания системы. Главное колебание с наибольшим периодом и, стало быть, с наименьшей частотой, т. е. колебание с наименьшим р, называется основным колебанием. Поскольку q зависят от I линейно, любое колебание может быть представлено как суперпозиция главных колебаний. [c.142]

Возвратимся к вопросу о сложении гармонических колебаний, хотя и не настолько существенному здесь, как в оптике, но все же требующему некоторого дальнейшего внимания. Если в системе, совершающей свободные колебания, обратить внимание на какую-либо отдельную частицу, мы увидим, что направления, в которых она колеблется при различных типах нормальных колебаний, вообще говоря, различны. Суперпозиция этих колебаний, конечно, происходит тогда по законам геометрического сложения, или сложения векторов. [c.70]

НОЙ системе движение, создаваемое любыми начальными условиями, совместными с ее устройством, можно получить путем суперпозиции разных нормальных колебаний с соответственно подобранными амплитудами и начальными фазами. Отсюда мы заключаем, что самый общий случай движения конечной струны можно представить формулой [c.97]

Любое сложное колебательное движение можно рассматривать как суперпозицию со ряда гармонических осцилляторов. Такие колебания называются нормальными . Классическая механика позволяет рассчитать как частоты нормальных колебаний, так и направления и величины смещения ядер-шариков, если из эксперимента или путем оценок известно их расположение в пространстве для равновесного состояния и упругие силы (силовые постоянные) пружинок. [c.87]

I ругая трактовка равновесного излу-иения, восходящая к Рэлею, состоит в том, чтобы само электромагнитное поле в полости рассматривать как набор осцилляторов. Можно говорить о собственных колебаниях этого поля и применить к ним методы статистической механики, а не вводить вспомогательный планковский осциллятор, взаимодействующий с излучением. Пусть для определенности полость имеет форму куба с ребром а ее стенки — зеркальные. Собственные нормальные колебания поля в таком объемном резонаторе представляют собой стоячие волны различных частот. Полное поле можно представить как суперпозицию таких стоячих волн, и в энергетическом отношении оно ведет себя как система невзаимодействующих гармонических осцилляторов. Для нахождения спектральной плотности энергии поля нужно подсчитать число независимых стоячих волн в полости с частотами в интервале от ы до о)-1-с]а). Как и в одномерном случае струны, закрепленной на концах, здесь для любого нормального колебания необходимо, чтобы вдоль каждого ребра укладывалось целое число полуволн. Пусть направление во ны (нормаль к плоскостям равных фаз) образует углы а, р и V с ребрами куба. Проекция любого ребра на это направление должна быть равна целому числу полуволн [c.435]

Из-за наличия гироскопических членов хц—х//) 4/система уравнений (1.15) не может быть преобразована к виду (1.12) с помощью введения новых координат. Однако, как показал Уиттекер, это может быть выполнено при помощи контактного преобразования. Поэтому главное свойство колебаний около положения равновесия сохраняется и в системе с гироскопическими силами, а именно всякое колебание можно рассматривать как результат суперпозиции гармонических нормальных колебаний. [c.254]

Нетрудно теперь понять, что любое колебание связанной линейной системы с двумя степенями свободы (а именно такие системы мы будем далее рассматривать) может быть представлено в виде суперпозиции двух нормальных колебаний (3.3) и (3.4) [c.49]

Таким образом, уравнение (3.29) и равенство (3.30) позволяют полностью рассчитать параметры каждой из двух мод. Движение каждой из масс, как уже неоднократно отмечалось, является суперпозицией двух нормальных колебаний [c.55]

Обратимся вначале к колебаниям трех одинаковых масс т, закрепленных на равных расстояниях а на натянутом легком резиновом шнуре, как показано на рис. 3.13а. Любое колебание этой системы может быть представлено как суперпозиция трех нормальных колебаний с частотами 0)1, 0)ц и о) . Опуская на время вопрос о величине частот, найдем конфигурацию этих мод. Примем во внимание, что квадрат частоты колебаний каждой массы в данной моде должен быть одинаков. Этого можно добиться в случае, когда отношения [c.58]

Из линейности волнового уравнения и граничных условий следует, таким образом, что суперпозиция произвольного числа нормальных колебаний упругого тела удовлетворяет волновому уравнению и условиям на границах и является одним из возможных его движений. [c.219]

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (собственные колебания) — колебания колебательной системы, совершаемые при отсутствии виеш. воздействия за счёт первоначально сообщённой энергии (потенциальной или кинетической, напр. в механич, системах через нач. смещения или нач. скорости). Характер С. к, определяется гл. обр. собственными параметрами системы (массой, индуктивиостьвд, ёмкостью, упругостью и др.). В реальных системах С. к. всегда затухающие вследствие рассеяния энергии, а при больших её потерях — апериодические. В линейных системах С. к. представляют собой суперпозицию нормальных колебаний. Подробнее см. Колебания. в. Г. Шехав. [c.471]

На самом деле, как уже говорилось, тепловые колебания ионов могут быть представлены как суперпозиция нормальных колебаний, или мод системы связанных осцилляторов. Каждая мода частоты ю обладает энергией, кратной йю, где Н = к12п (/г = 6,67 10 " Дж/с — постоянная Планка). [c.91]

Особенности волновых процессов в нелинейных системах удобно пояснить на примере одномерных возмущений в энергетически пассивной, слабонелине1шой однородной среде, когда спектральный язык ещё не утрачивает свою пригодность. В линейном приближении поле В. есть суперпозиция нормальных гармонич. В. с частотами й) и волновыми числами к, подчиняющихся дисперс. ур-нию (8). А в нелинейном режиме гармонич, В. взаимодействуют, обмениваясь энергией и порождая В, на новых частотах. В частности, затравочное возмущение на частоте ш сопровождается появлением высших гармоник на частотах 2<в, Зи и т. д. Энергия колебаний как бы перекачивается вверх по спектру. Эффективность этого процесса зависит от дисперс. свойств системы м может быть велика даже при очень слабой нелинейности. Действительно, если дисперсии нет. то В. всех частот распространяются синхронно с одинаковыми Уф, и их взаимодействие будет иметь резонансный, накапливающийся характер, поэтому на достаточно больших длинах (в масштабе к) перекачка энергии может осуществляться весьма эффективно. Если дисперсия велика, то фазовые скорости гармонич. возмущений, имеющих разные частоты, не совпадают, с.т1едовательно, фаза их взаимных воздействий будет быстро осциллировать, что приведёт на больших длинах к ничтожному результирующему эффекту. Наконец, возможны специальные, промежуточные случаи, когда я системе с сильной дисперсией только две (или несколько) избранные В. с кратными частотами имеют одинаковые 1 ф и поэтому эффективно взаимодействуют. В ряде случаев достигается своеобразное спектральное равновесие, когда амплитуды всех синхронных гармоник сохраняются неизменными и суммарное поле имеет вид стационарной бегущей Б, вида (1), при этом в случае сильной дисперсии ф-ция f x—vt) близка к синусоиде, а при слабой — она может содержать участки резкого изменения поля (импульсы, ступеньки и др.), поскольку число гармоник в её спектре велико. [c.324]

Динамика колебаний. Свободные, пли собственные, К. являются движением системы, предоставленной самой себе, в отсутствие внеш. воздействий. При малых отклонениях от состояния равновесия движения системы удовлетворяют суперпозиции принципу, согласно к-рому сумма двух произвольных движений также составляет допустимое движение системы такие движения описываются линейными (в частности, дифференц.) ур-ниями. Если система ещё и консервативна (т. е. в ней нет потерь или притока энергии извне), а её параметры не изменяются во времени (о переменных параметрах будет сказано ниже), то любое собств. К. может быть однозначно представлено как сумма нормальных колебаний, синусоидально изменяющихся во времени с определ. собств. частотами. В колебат. системах с сосредоточенными параметрами, состоящих из JY связанных осцилляторов напр., цепочка из колебат, электрич. контуров или из соединённых упругими пружинками шариков), число нормальных К. (мод) равно 7V. В системах с распреде лёнными параметрами (струна, мембрана, полый или открытый резонатор) таких К. существует бескопечное множество. Напр,, для струны с закреплёнными концами длиной L моды отличаются числом полуволн , к-рые можно уложить на всей длине струны L — nX 2 (д=0, 1, 2,. . ., оо). Если скорость распространения волн вдоль струны равна v, то спектр собств. частот определится ф-лой [c.401]

Движение системы является суперпозицией независимых гармонических движений, происходяшдх одновременно. Эти гармонические движения называются нормальными колебаниями или нормальными модами (либо просто модами). Определенная мода характеризуется собственной частотой и пространственной конфигурацией системы, задаваемой вектором ит ц) Для возбуждения фиксированной моды необходимо выбрать специальные начальные условия. [c.145]

Ф-ция вычислялась для решетки, атомы к-рой совершают гармонич. колебания [В]. Р. н. рассматривалось как суперпозиция процессов, в к-рых происходит рождение или уни-чтощепие того или иного числа фононов. Число фононов, участвующих в данном столкновении, определяет фононную кратность процесса. Для представления сечения Р. н. в виде суммы сечеиий фононных процессов различной кратности проводят разложение смещений у (() по нормальным колебаниям. Для решеток Браве это разложение имеет вид [c.346]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...