Подинтегральная функция

Интеграл, определяющий действие, принял, таким образом, окончательный вид (3). Подинтегральная функция есть квадратный корень из квадратичной формы от величин д ). [c.228]

Для решения этой задачи рассмотрим скорость изменения данного интеграла при варьировании функции у = f x). Начнем с варьирования самой подинтегральной функции F y, у, А ), происходящего при варьировании у (напомним, что F — заданная функция трех переменных у, у и х, которая не меняется в процессе варьирования) [c.80]

Существенная разница, по сравнению с рассмотренным только ЧТО случаем точки Р, внешней относительно тела (т. е. относительно области, занятой притягивающими массами), состоит в том, что функция [x/j" под знаком интеграла в выражении потенциала Z7 обращается в бесконечность в точке Р, если Р является внутренней для 8, или стремится к бесконечности, если точка Р (предполагаемая внешней) неограниченно приближается к телу. Необходимо поэтому исследовать, как влияет особая точка, которую им ет подинтегральная функция, на потенциал U, на его производные, на проекции X, Y, Z силы притяжения, на соотношения [c.72]

Очевидно, что если притягиваемая точка Р х, у, з) совпадает или стремится к совпадению с некоторой точкой Q ( ,т), С) притягивающего тела, то подинтегральная функция обращается в бесконечность но так как порядок бесконечности равен 1 (т. е. меньше 3), то, как мы уже знаем (п. 1,0), подинтегральная функция остается интегрируемой и потенциал U будет конечным и непрерывным не только вне притягивающей массы, но также и на поверхности и внутри нее. Кроме того, внутри области 8 существуют также и частные производные от функции [>-jr по координатам х, у, z притягиваемой точки если точка является внутренней для тела С, то частные производные обращаются в ней в бесконечность порядка не выше 2, тогда как во всем остальном теле они остаются конечными и непрерывными. Отсюда заключаем (п. 11), что потенциал И представляет собой дифференцируемую и потому непрерывную функцию не только вне притягивающей массы, но также на поверхности и внутри нее производные потенциала также будут непрерывными функциями и получатся путем дифференцирования под знаком интеграла, т. е. определятся формулами (4) п. 7. [c.75]

Если, далее, мы будем рассматривать потенциал U поверхностного распределения материи, то, как и выше, увидим, что он будет конечным и непрерывным в точках поверхности, благодаря тому что функция ijr при совпадении притягиваемой точки Р (ж, у, г) с точкой Q ( , тг). С) притягивающей поверхности остается все еще бесконечно большой величиной первого порядка. Но здесь, вследствие того, что речь идет об интеграле по области двух измерений, на основании критерия п. 10 уже для производных первого порядка от подинтегральной функции будет иметь место сомнительный случай интегрируемости, так как эти производные при совпадении точки Р с Q обращаются в бесконечность порядка не выше 2. Подобно тому, как мы поступили выше, в п. 12, мы ограничимся и здесь утверждением, что первые производные от U существуют даже тогда, когда притягиваемая точка безгранично приближается к притягивающей поверхности или лежит на ней, но представляют разрывы при переходе через поверхность и не могут получиться прямым дифференцированием под знаком интеграла. [c.76]

Так как интегралы берутся между одинаковыми пределами, а функция г os 9 является убывающей, то подинтегральная функция в первом интеграле всюду меньше, чем во втором, и мы получаем [c.107]

Так как все соответствующие уравнения движения можно вывести из принципа Гамильтона в его объединенной форме (11.15), то, следовательно, могут быть представлены и взаимодействующие системы. В результате установления соответствия между выведенной и принятой формой уравнений было найдено значение постоянной а, которое иначе было бы произвольным. Так получилось потому, что все выражение было записано как однородная функция и все члены подинтегральной функции в равенстве (11.15 ) соответствовали энергии или плотности энергии. Это можно усмотреть из равенства [c.162]

Так как движение по прямому пути совершается в соответствии с уравнениями (35.1), то подинтегральная функция в последнем выражении равна нулю следовательно, мы доказали, что [c.361]

Подинтегральная функция в выражении (42.4) зависит от t, q и q следовательно, в силу уравнений (42.7) и (42.8) она представится функцией от тех же 2s-[-2 аргументов t ,q ,q -, а потому, выполнив указанное в формуле (42.4) интегрирование, мы в функции тех же аргументов выразим и действие W [c.447]

Обозначая подинтегральную функцию [c.353]

Формулы Тэйлора и Маклорена позволяют вычислять приближенно значения функции /(х) для этого суммируют первые п слагаемых правой части и отбрасывают остаточный член R , точное значение которого неизвестно. Величина R оценивается путем замены неизвестного значения [а + Q (л —а)] или значения подинтегральной функции максимальным по модулю значением этих функций, принимаемым ими в промежутке изменения аргумента. [c.142]

С — произвольная постоянная-, f (д ) — подинтегральная функция-, f(x)dx подинтегральное выражение-, J —знак интеграла. [c.154]

I sin " os"x dx приводится к интегралу от рациональной функции подстановкой t = sin л (если п нечетно) или t= os X (если т нечетно) если же оба числа man положительные и четные, то нужно подинтегральную функцию выразить через тригонометрические функции кратных дуг. [c.162]

Если подинтегральная функция не содержит никаких других радикалов, кроме У—х , то берется подстановка дг = а sin или X = а os t. [c.165]

Возьмем любую точку из области устойчивости и найдем в ней выражение для -rj при х—уоо. Поскольку в выбранной точке характеристическое уравнение имеет корни с отрицательной вещественной частью, то сумма вычетов подинтегральной функции в полюсах, являющихся корнями характеристического уравнения, стремится к нулю (ибо она имеет вид и интеграл будет [c.200]

Разлагаем подинтегральную функцию в ряд по степеням г и, предполагая, что а мало, получаем приближенное решение в виде [c.166]

Интеграл исчезает на дугах круга бесконечно большого радиуса, соединяющих контур Р в точках оо с действительной осью, и, кроме того, подинтегральная функция не имеет ни одного полюса внутри полученного замкнутого контура. [c.192]

Подинтегральная функция в выражении (7) не имеет ни одного полюса в этой области, и потому интеграл по всему [c.194]

Подинтегральная функция имеет полюсы в точках а = [c.197]

Полагая а = й + гЬ, мы видим, что при 6 = оо os (а — 0) должен быть отрицательным для того, чтобы подинтегральная функция не обращалась в бесконечность. [c.209]

Заштрихованные части фиг. 18 представляют именно такие части а-плоскости. Если взять 6 — 6 <т , то контур, охватывающий точку = (/, можно преобразовать в контур, показанный на фиг. 18. Этот новый контур состоит из двух симметричных кривых линий, простирающихся в бесконечность, и двух прямых линий, отстоящих друг от друга на расстояние 2п. Интегралы по этим прямым взаимно уничтожаются, так как подинтегральная функция периодична и интегрирование происходит в противоположных направлениях. Две оставшиеся криволинейные части контура мы будем называть контуром А в плоскости а для данного значения б. [c.209]

Рассмотрим интеграл по замкнутому контуру фиг. 16, состоящему из контура Р и дуги окружности, имеющей центр в начале координат и лежащей над контуром Р. Таким образом, подинтегральная функция не имеет ни одного полюса внутри этого контура, и потому интеграл по всему контуру равен нулю. Когда радиус окружности стремится к бесконечности, интеграл по дуге этой окружности равен нулю при х положи- [c.222]

Каждая из подинтегральных функций в этой сумме не имеет особенностей в начале координат. Поэтому контур Р можно заменить действительной осью. Прим. перев. [c.232]

Мы опять не можем дифференцировать выражение (5) под знаком интеграла, если мы будем основываться только на теореме F. S. 78, так как подинтегральная функция терпит разрыв в точке x = i. Но мы можем распространить эту теорему а ра такие случаи аналогичным образом. Пусть [c.253]

В случае программного управления подинтегральная функция уравнения (87 ) известна для любого момента времени t, так как для любого момента времени известно значение s и s . Полученная зависимость от t должна быть осуществлена с помощью соответственно профилированного кулака. [c.210]

Интегрирование часто более удобно производить, когда подинтегральная функция выражена в координатах S и т). Отделяя действительную и мнимую части, можно найти значения а и р. [c.146]

Рассматривая предыдущее выражение, видим, что при приближении т к нулю подинтегральная функция в (5.079) остается конечной когда же т велико, под-интегральная функция близка к величине так что интеграл будет без- [c.373]

Разложим подинтегральную функцию в выражении (22.53) в ряд по формуле бинома Ньютона примем во внимание известную формулу Валлиса (Wallis) [c.221]

Члены вне знака интеграла равны нулю, так как начальное и конечное положения частицы остаются при вариировании неизменными обращение же в нуль подинтегральной функции приводит нас к таким уравнениям [c.363]

Член вне знака интеграла равен нулю по условию вариирования следовательно, равен нулю интеграл, а значит, и подинтегральная функция (ввиду произвольности интервала интегрирования). Таким образом, мы приходим к прежнему результату (35.27) [c.372]

По тем же соображениям, что и при выводе уравнений равновесия (36.20) из равенства (36.19) на стр. 377, мы должны приравнять нулю коэффициенты при всех вариациях как вне знака интеграла, так и в подинтег-ральном выражении. Тогда подинтегральная функция даст нам следующее уравнение равновесия для внутреннего элемента нити [c.398]

Если подинтегральная функция есть произведение двух функций, из которых 9дна может быть представлена как степень функции, производной от [c.155]

Если подинтегральняя функция рациональна относительно sin kx, os Ix, tg pjt, rje fe, I, p, — целые [c.162]

Написанный интеграл равен сумме вычетов подинтегральной функции в полюсах, являющихся корнями характеристического уравнени , плюс вычет в точке ) 0, т. е. [c.199]

Для доказательства, как и раньше, образуем замкнутую кривую, представленную на фиг. 16. Так как подинтегральная функция (5) не имеет полюсдв в этой области, то интеграл по всему контуру исчезает. Но когда радиус окружности увеличивается до бесконечности, то интеграл по окружности исчезает при условии, что сумма ж + а —2а отрицательна. Значит, интеграл (5) по контуру Р равен нулю. [c.197]

Интеграл в левой части можно заменить произведением из площади этой поверхности S на среднее значение подинтегральной функции, т. е. заменить 8 и ос их средними значениями, которые обозначим I и а. Таким путем мы приходим к равенстиу [c.116]

Подинтегральная функция y=f( ia) в (3.7) изображается кривой, подобной гиперболе, а при j5= onst т т [c.98]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...