Системы нелинейные — Колебания с одной степенью свободы — Колебания

Здесь рассматриваются нелинейные колебания системы с одной степенью свободы. Конечно, колебания системы совсем не затрагивались в первом томе. Сначала рассмотрим колебания системы, выведенной из состояния устойчивого равновесия. [c.275]

Обратимся к особо важному случаю гармонического воздействия и из всего многообразия нелинейных диссипативных систем с одной степенью свободы выберем слабо нелинейные системы, в которых вынужденные колебания при таком воздействии также близки к гармоническим. Требование малости диссипации не столь уж принципиально, но поскольку нас интересуют в основном системы с отчетливо выраженными колебательными свойствами, а не апериодические, то мы в нашем рассмотрении ограничимся случаями небольшого затухания (малой диссипации). [c.112]

В первом томе были рассмотрены некоторые простейшие вопросы теории колебаний материальной точки с одной степенью свободы. В этой главе мы перейдем к изучению теории колебаний систем с несколькими степенями свободы, ограничившись рассмотрением малых колебаний в окрестности положения устойчивого равновесия. Затем вновь остановимся на рассмотрении колебаний системы с одной степенью свободы. Будут изучаться нелинейные и квазигармонические колебания, не встречавшиеся в элементарной теории, изложенной в первом томе. [c.215]

Следует иметь в виду, что системы с одной степенью свободы представляют собой объект, наиболее доступный для исследования возможных колебательных движений при самых разных их нелинейных свойствах. Нелинейные же системы с двумя и большим числом степеней свободы и распределенные системы поддаются последовательному анализу лишь в отдельных частных случаях. Их рассмотрение даже в линейном приближении значительно более сложно, громоздко и не допускает ряда качественных и наглядных приемов, которые возможны для систем с одной степенью свободы. Поэтому изложение материала в гл. 6—12 имеет несколько другой характер, чем в первых главах оно несколько более конспективно, в целях выделения основных физических результатов опускается ряд промежуточных выкладок, особенно при применении изложенных ранее методов анализа. Однако эти различия в изложении отдельных разделов, по нашему мнению, вполне оправдываются спецификой рассматриваемых вопросов, тем более, что значительная часть материала, приведенного в книге, ранее не излагалась в учебных пособиях по теории колебаний. [c.13]

Исследование свободных колебаний в нелинейных диссипативных системах с одной степенью свободы методом поэтапного рассмотрения [c.60]

На примерах релаксационных систем мы убедились в том, что для математического описания движения в реальных автоколебательных системах с одной степенью свободы необходимо пользоваться дифференциальными уравнениями второго порядка. Для систем, описываемых такими уравнениями, можно получить изображение соответствующего движения на фазовой плоскости. В некоторых случаях, когда уравнение нелинейно и не поддается аналитическому решению, построение фазового портрета движения в системе является существенной помощью в определении формы колебаний и динамики их установления. Следует отме- [c.196]

В третьем издании книги раздел Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы дополнен изложением приближенного метода определения амплитуды вынужденных колебаний в случае нелинейного сопротивления. [c.3]

Если рассматривать систему с одной степенью свободы, то функцию Ро д), взятую с обратным знаком восстанавливающую силу, — называют силовой характеристикой. При этом Ео( ) >-0. На рис. 17.32 показаны графики силовых характеристик, первый из них (рис. 17.32, а) относится к упругой системе с линейной, а второй и третий — к упругим системам с нелинейными силовыми характеристиками. В двух последних случаях дифференциальное уравнение колебания системы получается нелинейным. Если значение производной dFo(q)/йд, называемой квазиупругим коэффициентом, увеличивается с увеличением у [c.65]

Для свободных колебаний нелинейных систем характерна зависимость частоты свободных колебаний от начальных условий, т. е. от размахов колебаний. Так, например, если у системы с одной степенью свободы характеристика восстанавливающей силы симметрична (см. рис. 17.33), то [c.221]

Автоколебания описываются нелинейным дифференциальным уравнением (или уравнениями), вследствие чего автоколебания относятся к классу нелинейных колебаний. Так, например, в случае системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение имеет вид ) [c.227]

В 1 были изложены основные условия использования асимптотических методов в теории нелинейных колебаний и приведены уравнения в стандартной форме (5.5) для системы с одной степенью свободы. В гл. IV были выведены уравнения в стандартной форме в предположении, что система испытывает одночастотные колебания и что ее выход является узкополосным процессом с медленно изменяющейся амплитудой и фазой. Воспользуемся этим методом для исследования параметрических систем. [c.204]

Дифференциальное уравнение свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы при нелинейной характеристике восстанавливающей силы составляется аналогично уравнению (И.1), но вместо линейной восстанавливающей силы в него нужно ввести нелинейную силу, конкретное выражение которой определяется упругой характеристикой системы Р (х) [c.71]

Хотя это уравнение выведено для схемы, показанной на рис. 1.1,6, но к аналогичному уравнению можно прийти при решении любой задачи о свободных колебаниях нелинейной системы с одной степенью свободы без трения. Так, для системы, совершающей крутильные колебания, в эту формулу вместо массы т нужно подставить момент инерции /, вместо перемещения X — угол поворота ф, вместо восстанавливающей силы Р х) — восстанавливающий момент М (ф). [c.71]

Ниже будут рассмотрены оба случая, причем речь пойдет о колебаниях нелинейной системы с одной степенью свободы (фиг. 6). По-видимому, решение таких задач должно служить необходимым методическим введением к исследованию упруго-фрикционных систем с распределенной массой. Излагаемый способ, будучи приближенным, в то же время дает совершенно точные результаты в двух крайних случаях (при очень малых и при очень больших контактных давлениях). О пригодности способа в других случаях можно будет судить лишь путем сравнения с точным решением пока это остается делом будущего. [c.228]

Автоколебания в отличие от колебаний вследствие биений и эксцентриситетов могут носить негармонический характер. Причиной автоколебаний является нелинейный характер зависимости силы резания от скорости и наличие трения в системе станок — инструмент — приспособление — деталь (СПИД). Дифференциальное уравнение колебаний системы СПИД с одной степенью свободы при точении (рис. 32) имеет вид [45] [c.110]

Параметрические колебания в линейных системах рассмотрены -в т. 1, гл. VII. В табл 4 приведены некоторые физические модели нелинейных систем с одной степенью свободы и параметрическим возбуждением, уравнение движения для которых приводится к виду [c.168]

Первая лекция. Важность изучения колебательных движений при рассмотрении многих вопросов современной техники. Причины возникновения колебаний. Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Типичные примеры колебания груза на пружине, крутильные колебания диска, колебания груза на конце консоли, малые колебания математического и физического маятника. Условия, при которых упомянутые системы можно рассматривать как системы с одной степенью свободы. Общность рассмотренных задач. Интегрирование дифференциального уравнения свободных колебаний. Параметрическая структура коэффициента жесткости. Возникновение нелинейных задач теории колебаний. [c.22]

Рассмотрим систему с одной степенью свободы, на которую наложены голономные стационарные связи и действуют заданные стационарные силы при этом предположим, что у системы имеет-ся положение устойчивого равновесия. Разложение кинетической, потенциальной и диссипативной функций в окрестности этого положения вплоть до членов второго порядка малости включительно приводит к линейному уравнению. Однако во многих практически важных задачах возникает необходимость исследования колебаний с достаточно большими амплитудами и скоростями. В таких случаях линейное приближение оказывается недостаточным и приходится учитывать последующие члены разложений, приводящие к нелинейным уравнениям. Если при этом отклонения от положения равновесия и скорости точек не слишком велики, то соответствующие уравнения будут описывать малые нелинейные колебания. [c.311]

Нелинейные системы. Большинство задач теоретической и математической физики приводят к нелинейным уравнениям [85-93]. Консервативные системы с одной степенью свободы всегда интегрируемы. В предыдущих лекциях мы получили решения одномерных нелинейных систем частицы в поле Эккарта (см. лекцию 5) и математического маятника (см. лекцию 14), которые демонстрируют типичные свойства нелинейных колебаний 1) периодическое решение, разложенное в ряд Фурье, содержит бесконечное число гармоник основной частоты, 2) период колебаний зависит от полной энергии. [c.161]

Не останавливаясь на подробном анализе существующих теорий, — они достаточно освещены в литературе, — отметим лишь их общие черты. Во всех теориях математический анализ проводится для систем с одной степенью свободы при наличии сухого или граничного трения. Для объяснения автоколебаний в таких системах принята нелинейная зависимость силы трения от того или иного параметра, причем зависимость эта —статическая, полученная экспериментально для установившихся процессов. Определяя условия или область существования релаксационных колебаний, эти теории не определяют поведение системы за пределами этой области или считают, что вне ее движение должно быть устойчиво. [c.50]

Дифференциальное уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы при нелинейной характеристике упругой силы составляем аналогично общеизвестному уравнению [c.121]

Книга разделена на две части в первой обсуждаются колебания и волны в линейных системах и средах, во второй — в нелинейных. С нашей точки зрения, такое разделение значительно облегчает восприятие теории колебаний и волн на современном уровне. Так, распространение плоской гармонической волны в периодически слоистой среде описывается практически той же математической моделью, что и явление параметрической неустойчивости в сосредоточенной системе с одной степенью свободы, и их параллельное рассмотрение вполне естественно. Анализ же, например, автоколебаний в возбудимой среде — ансамбле автогенераторов — представляется непосредственным обобщением задачи о взаимодействии небольшого числа генераторов и т. д. [c.9]

Все эти проблемы рассмотрены применительно к наиболее простому случаю системы с одной степенью свободы без внешней силы (так называемые автономные системы). То же относится и к разобранным в книге конкретным задачам и примерам. Эти вопросы изложены с большой полнотой но читатель не найдет в книге ни задач, связанных с воздействием внешней силы, ни задач, относящихся к системам с несколькими степенями свободы и к системам с распределенными параметрами. Между тем все эти проблемы несомненно важны и интересны. Однако если принять во внимание, как велик объем всего материала, относящегося к нелинейным колебаниям, с одной стороны, и основную цель книги — ввести читателя в круг общих идей и методов — с другой, то выбор авторов станет понятным. Автономные системы с одной степенью свободы — наиболее простые системы, и они в то же время являются теми элементами, которые лежат в известном смысле в основе всех более сложных систем. [c.13]

Как по заданной функции /(лг, х) (которую можно, например, предположить аналитической на всей фазовой плоскости х, х) определить, возможны ли в системе устойчивые автоколебания, и если возможны, то хотя бы приближенно найти характеристики (амплитуду, период, форму) таких колебаний — эта задача является основной для теории нелинейных колебаний в автономных системах с одной степенью свободы. В сущности почти все дальнейшее изложение в той или иной форме связано с этой основной задачей. Однако, прежде чем перейти к систематическому изложению теории, мы [c.231]

Напомним, что, занимаясь изучением нелинейных колебаний систем с одной степенью свободы при интерпретации движения на фазовой плоскости, мы уже касались в неявном виде этих теорем (стр. 132). В самом деле, было указано, что дифференциальное уравнение (3.8) фазовой траектории нелинейной системы, т. е. уравнение [c.207]

Понятие о фазовой плоскости. Обычное описание движения системы с одной степенью свободы в виде зависимости обобщенной координаты от времени q = q t) не является единственно возможным. В ряде случаев, особенно при изучении нелинейных механических колебаний, определенными достоинствами обладает представление движения на фазовой плоскости. [c.18]

Между формой нелинейных характе-I нстик упругого элемента и формой резонансных кривых имеется определенная связь. Для приближенного построения резонансной кривой псевдогармопи-ческих колебаний системы с одной степенью свободы задаются значениями амплитуды А и находят соответствую- [c.345]

Одной нз первых моделей системы, предложенной Н. А. Дроздовым, является модель колебательной системы с одной степенью свободы, взаимодействующей с процессом резания детали, несущей следы от предыдущего прохода резца. Любое, в том числе случайное, возмущение вызывает затухающие колебания системы ее собственной частоты. При этом резец оставляет волнистый след на поверхности детали. При следующем проходе резец срезает слой, имеющий вследствие этого переменную толщину. Изменяющаяся с частотой волнистости, т. е. с собственной частотой системы, сила резания вызывает вновь колебания системы, и так далее. При некоторых условиях происходит раскачка системы, т. е. увелнчгние амплитуды колебаний до значения, ограничиваемого той или иной нелинейностью. Эта модель отражает важную особенность динамической системы станок—резаниэ, существенно влияющую на ее устойчивость. Метод определения условий потери устойчивости, т. е. появления раскачки , описанный выше, показывает, что область отсутствия автоколебаний сужается (по амплитудному значению характеристики разомкнутой системы) по меньшей мере в 2 раза. [c.124]

В случае, когда возмущающая сила х (/) действует на свободную массу т через безынерционный нелинейный элемент, вынужденные колебания механической системы с одной степенью свободы описываются моделью Гаммерштейна [c.361]

При исследовании нелине 1ных колебаний в системах с одной степенью свободы графоаналитические методы применяют как для общих качественных исследований конкретных систем (путем построения соответствующих фазовых диаграмм, см, п. 2 гл. I), так и для непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих нелинейные колебания. Графоаналитические методы могут быть эс[)фективными в случаях, когда не требуется высокой точности решений дифференциальных уравнений низкого порядка. Точность этих методов зависит от способа построения графиков решений н обычно возрастает при увеличении нх масштаба. [c.47]

Определение термина диссипативная система см. в гл. I. О вынужденных колебаниях диссипативных систем см. в гл. V. Ниже приведены сведения, относящиеся к свободным затухающим колебаниям дисснпативпых систем с одной степенью свободы, когда нелинейность обусловлена только силами сопротивления, Предполагаем, что силы сопротивления обладают отрицательной мощностью, т. е. F- q > О, где q) — уравнение характеристики силы сопротивления (/ [ равно взятой с противоположным знаком обобщенной силе сопротивления). В пп. 1—4 рассмотрены случаи, когда силы сопротивления определяются только скоростями системы, а в п,. 5 — случаи, когда силы сопротивления зависят также от координат системы (позиционное трение, внутреь нее трение). [c.150]

В отличие от рассмотренньк выше систем с одной степенью свободы в нелинейных системах с несколькими степенями свободы возможно перераспределение энергии колебаний между координатами, когда твердое тело даже при направленном возбуждении будет совершать сложные пространственные движения. Последние получили название пространственных колебаний [27]. [c.371]

Среди нелинейных задач статистической динамики особое место занимает исследование систем с прощелкиванием , т. е. таких систем, которые обладают несколькими устойчивыми положениями равновесия. Классическим примером являются стаци-онарные случайные колебания системы с одной степенью свободы при нелинейной восстанавливающей силе вида [c.75]

Проанализируем физические особенности вынужденных нелинейных колебаний на примере системы с одной степенью свободы, предполагая, что на систему действует малая нестационарная сила, гармонически изменяющаяся со временем еРеоСозме . С этой целью определим среднюю мощность силы [c.320]

Рассмотрение теории возмущений мы начнем с краткого описания некоторых ее методов, используя простые примеры динамических систем и исследуя движение непосредственно по определяющим его дифференциальным уравнениям. Даже для нелинейного осциллятора с одной степенью свободы (интегрируемая система) разложение только амплитуды колебаний в степенной ряд приводит к появлению неограниченно растущих во времени секулярных членов и расходимости. Решая совместные уравнения для амплитуды и частоты колебаний, Линдштедт [278 J и Пуанкаре [337 ] преодолели секулярность и получили сходящиеся ряды. Их техника описана в п. 2.1а и представлена в общей канонической форме в п. 2.2а. Этот материал составляет основу дальнейшего изложения теории возмущений. [c.82]

Если бы кто-то сказал, что через триста лет после публикации Prin ipia Ньютона в динамике будут сделаны новые открытия, его бы посчитали наивным или неумным. Тем не менее в последние десять лет во всех областях нелинейной динамики были обнаружены новые явления, главное из которых — хаотические колебания. Хаотические колебания — это возникновение неупорядоченных движений в совершенно детерминированных системах. Такие движения и раньше обнаруживались в механике жидкостей, ио недавно их заметили в несложных механических и электрических системах и даже в простых задачах с одной степенью свободы. Вместе с этими открытиями пришло понимание того, что нелинейные разностные и дифференциальные уравнения могут иметь офаниченные непериодические решения, которые ведут себя случайным образом, хотя в этих уравнениях нет случайных параметров. Это способствовало развитию новых математических идей, новых подходов к динамическим решениям, проникающих сейчас в лаборатории. [c.6]

Перейдем теперь к количественному рассмотрению нелинейных динамических систем, ограничиваясь по-прежнему автономными системами второго порядка (с одной степенью свободы). Как мы уже говорили, при современном состоянии теории это количественное рассмотрение (аналитическими методами) может быть удовлетворительно проведено, в сущности, лищь для трех классов систем, имеющих, однако, значительный практический интерес. Один из этих классов составляют системы, близкие к консервативным, и в частности, практически наиболее интересные системы, близкие к гармоническому осциллятору второй класс — это системы, совершающие разрывные колебания. Эти два класса будут рассмотрены соответственно в гл. IX и X. Наконец, третий класс составляют системы, количественное рассмотрение которых может быть проведено при помощи метода точечных преобразований ). Наиболее просто этот метод применяется для так называемых кусочно-линейных систем, т. е. для систем с фазовым пространством, состоящим из областей, в каждой из которых динамические уравнения движения линейны. Количественному рассмотрению таких кусочно-линейных систем и будет посвящена настоящая глава. [c.504]

Рассмотрим теоретическое обоснование и применение метода Галёркина только к случаю колебаний системы с одной степенью свободы, в общем случае нелинейной. Из курса теоретической механики известен вариационный принцип Гамильтона, который в применении к консервативным системам говорит о том, что при сравнении движения по прямому пути (истинное движение) и по окольному пути (возможное движение, близкое к истинному) действие за некоторое время т [c.169]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...