Дифференциальные уравнения аналитической динамики

Дифференциальные уравнения аналитической динамики [c.267]

Общее уравнение динамики (1) мы принимаем за исходное при получении основных дифференциальных уравнений аналитической динамики, которым посвящена данная глава. Фактически все изучаемые ниже уравнения движения материальных систем являются только различными формами записи уравнения (1), к которым оно приводится при тех или иных предположениях о характере активных сил, действующих на систему, и о наложенных на нее связях. [c.267]

В дальнейшем аналитическое направление пошло отчасти по пути, указанному К. Г. Я. Якоби (1804—1851), который на основе исследований Гамильтона разработал новый метод решения и изучения дифференциальных уравнений задач динамики и, в частности, небесной механики, называемый теперь методом Гамильтона — Якоби. [c.326]

Динамика механизмов является разделом прикладной механики, в котором изучается движение механизмов с учетом действующих на них сил. В этом разделе устанавливаются общие зависимости между кинематическими параметрами механизма (его обобщенными координатами, скоростями и ускорениями), массами его звеньев и действующими на него силами, выражающиеся дифференциальными уравнениями. Пользуясь этими уравнениями, можно решать две основные задачи динамики механизмов. Первая задача сводится к тому, что по заданному аналитически или графически закону движения механизма требуется определить силы, действующие на механизм. Вторая задача заключается в том, что по заданным силам требуется определить закон движения механизма. [c.52]

Полное решение основной задачи динамики для системы будет состоять в том, чтобы, зная заданные силы и наложенные связи, проинтегрировать соответствующие дифференциальные уравнения и определить в результате закон движения каждой из точек системы и реакции связей. Сделать это аналитически удается лишь в отдельных случаях, когда число точек системы невелико, или же интегрируя уравнения численно с помощью ЭВМ. [c.273]

В этой главе рассматриваются некоторые методы интегрирования уравнений динамики. В настоящее время теория интегрирования дифференциальных уравнений является одним из основных разделов математического анализа и подлежит отдельному изучению. Поэтому здесь идет речь лишь о некоторых вопросах из этой области, непосредственно связанных с основами аналитической механики. [c.348]

На примерах релаксационных систем мы убедились в том, что для математического описания движения в реальных автоколебательных системах с одной степенью свободы необходимо пользоваться дифференциальными уравнениями второго порядка. Для систем, описываемых такими уравнениями, можно получить изображение соответствующего движения на фазовой плоскости. В некоторых случаях, когда уравнение нелинейно и не поддается аналитическому решению, построение фазового портрета движения в системе является существенной помощью в определении формы колебаний и динамики их установления. Следует отме- [c.196]

Основная область эффективного применения ARM — исследование и анализ объектов, процессов, кинематики и динамики систем, поведение которых в пространстве и времени описано дифференциальными уравнениями, а точное аналитическое их решение громоздко или вообще не осуществимо. Решение линейных и нелинейных дифференциальных уравнений по своей важности оставляет далеко позади все другие возможности использования АВМ в курсе ТММ. Даже такие задачи, как извлечение корней многочленов при решении системы алгебраических уравнений, решаются проще, если их свести к эквивалентным дифференциальным уравнениям. К задачам, эффективно решаемым на АВМ, относятся, как правило, механизмы с упругими (гибкими) связями, пневматические, гидравлические и электрические механизмы. [c.8]

Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай. [c.289]

По поводу различных задач, относящихся к движению системы материальных точек и рассмотренных до сего времени, можно сделать одно важное и интересное замечание Во всех случаях, когда силы являются функциями только координат движущихся точек и когда задачу удалось свести к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка с двумя переменными, оказывается также возможным свести эту задачу к квадратурам. Мне удалось превратить это замечание в общее положение, которое, как мне кажется, дает новый принцип механики. Этот принцип, так же как и другие общие принципы механики, дает возможность получить интеграл, но с той разницей, что другие принципы дают только первые интегралы дифференциальных уравнений динамики, тогда как новый принцип приводит к последнему интегралу. Этот принцип обладает общностью, более высокой, нежели другие принципы, потому что он применим к случаям, когда аналитические выражения сил, а также уравнения, выражающие структуру системы, содержат координаты движущихся точек в любой форме. С другой стороны, принципы сохранения живых сил, сохранения площадей и сохранения центра тяжести во многих отнощениях имеют преимущество перед новым принципом. Прежде всего, эти принципы дают конечное уравнение между координатами движущихся точек и составляющими их скоростей, тогда как интеграл, получаемый на основании нового принципа, требует еще квадратур. Во-вторых, применение нового принципа предполагает, что уже найдены все интегралы, кроме одного, предположение, которое осуществляется лишь в очень небольшом количестве задач. Но это обстоятельство не может уменьшить- ценности нового принципа, в чем, я надеюсь, убедит применение его к нескольким примерам. [c.294]

Открытие Гамильтона, согласно которому интегрирование дифференциальных уравнений динамики стоит в связи с интегрированием некоторого уравнения в частных производных первого порядка, основывалось на выводе результатов геометрической оптики, известных в корпускулярной теории, с точки зрения волновой теории, что имело большое значение в развитии физики своего времени. Теория Гамильтона интегрирования дифференциальных уравнений динамики есть прежде всего не что иное, как всеобщая аналитическая формулировка хорощо известного в физической форме соотнощения между световым лучом и световой волной. В силу изложенного здесь исходного положения делается понятной и та ненужно частная форма, в которой Гамильтон опубликовал свою теорию и из которой исходил Якоби. Гамильтон первоначально исходил в своих исследованиях систем лучей из практических запросов оптического приборостроения. В силу этого он рассматривал только такие световые волны, которые выходят из отдельных точек. Обобщение Якоби, вытекавшее отсюда, состояло в том, что для определения луча должны точно так же применяться и другие произвольные световые волны. Как известно, в оптике посредством так называемого принципа Гюйгенса из специальных волн строят общие [c.513]

Так были заложены основы аналитической механики Гамильтона, ставшие в дальнейшем основой динамики Гамильтона—Якоби. Именно замечательный немецкий математик Якоби блестяще развил, уточнил и значительно обогатил идеи Гамильтона в области интегрирования дифференциальных уравнений движения. [c.825]

Развитие нелинейной динамики машин за последние десятилетия показывает, что решение е наиболее трудных проблем требует органического единства качественных, численных и аналитических методов теории дифференциальных уравнений, математического и функционального анализа, методов приближенных вычислений и теории аппроксимации, аналитической механики голономных и неголономных систем. Предпочтение в выборе тех или других методов диктуется содержанием рассматриваемых задач и целями исследования. Однако почти во всех случаях вопрос [c.29]

Математическое описание элементов динамической системы промышленного робота (ПР) — один из основных этапов решения задачи анализа его динамики. Такое описание может быть получено двумя путями. Первый — составление описываюш ей объект системы дифференциальных уравнений. Это возможно, когда известны и с достаточно точными для практических целей упрощающими допущениями могут быть описаны физические процессы, происходящие в объекте. Полученное подобным, аналитическим путем математическое описание объекта исследования учитывает наиболее общие его конструктивные особенности и поэтому может быть распространено на целый класс аналогичных объектов. Вместе с тем в таком описании практически невозможно учесть локальные особенности конкретного объекта, что приводит к отличию реальных динамических характеристик от теоретических. [c.61]

Исследования динамики привода выемочных машин сводятся к определению вероятностных характеристик динамической нагруженности привода по заданным системе обыкновенных дифференциальных уравнений (7) и вероятностным характеристикам входных случайных функций Мс- Однако эта задача не имеет аналитического решения [12]. [c.58]

Дифференциальные уравнения движения расчетной модели любой механической системы (конструкции, сооружения и т. д.) можно получить на основании общих методов аналитической динамики. Для математического описания расчетной модели можно также использовать принцип Даламбера и методы обобщенных координат. Независимо от выбора метода составления дифференциальных уравнений движения системы их анализ зависит главным образом от выбора математической модели данной системы, которая может быть линейной, нелинейной, с постоянной и переменной структурой. [c.6]

Таким образом, для рассматриваемого способа решения уравнений динамики вся исходная информация содержится в материалах обычных статических расчетов, выполняемых в процессе технического проектирования парогенератора. Для упрощения аналитического решения уравнений динамики дополнительно принимается допущение о возможности решения уравнений энергии и сплошности отдельно от уравнения движения. Уравнение движения упрощается, и снижается общий порядок системы дифференциальных уравнений. [c.112]

Для определения аналитических выражений остальных передаточных функций системы (8-7) необходимо решить систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений (8-1), (8-5) с постоянными по длине коэффициентами, зависящими от комплексного параметра S. Предварительно исключим изменение расхода рабочей среды 8D2(X, s) из системы уравнений динамики теплообменника. Для этого представим уравнение сплошности в интегральной форме [c.114]

Система дифференциальных уравнений (3.1) представляет собой аналитическую запись основных физических закономерностей, которым подчиняются управляемые движения роботов и технологического оборудования, образующих РТК. Чтобы принять систему уравнений (3.1) за обобщенную динамическую модель РТК, нужно охарактеризовать область определения функции F и конкретизировать класс постоянно действующих внешних возмущений я. Областью определения функции F, задающей структуру и свойства уравнений динамики (3.1), является совокупность возможных значений переменных л и и и параметров . Границы этой области определены конструкционными ограничениями вида при всех t [4, trV, [c.59]

В XVIII в. начинается интенсивное развитие в механике аналитических методов, т. е. методов,- основанных на применении дифференциального и интегрального исчислений. Методы решения задач динамики точки и твердого тела путем составления и интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений были разработаны великим математиком и механиком Л. Эйлером (1707—1783). Из других исследований в этой области наибольшее значение для развития механики имели труды выдающихся французских ученых Ж. Даламбера (1717—1783), предложившего свой известный принцип решения зйдач динамики, и Ж. Лагранжа (1736—1813), разработавшего общий аналитический метод решения задач динамики на основе принципа Даламбера и принципа возможных перемещений. В настоящее время аналитические методы решения задач являются в динамике основными. [c.7]

Но для нахождения обобщенных координат с ,- системы необходимо иметь дифференциальные уравнения движения относительно о.. В аналитической динамике выводятся правила составления таких дифференциальных уравнений, если известны силы, действующие на точки системы. Следует учитывать, что каищой совокупности зиа- [c.323]

Методы статики несвободной системы, изложенные в гл. XXVII, обобщаются и на динамику. Подобно тому как использование уравнения принципа возможных перемещений — общего уравнения статики — привело к различным формам уравнений равновесия (в декартовых координатах, в обобщенных зависимых и независимых координатах), точно так же из общего уравнения динамики выводятся аналогичные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы. Уравнения эти получили наименование уравнений Лагранжа, так как были впервые опубликованы в Аналитической механике Лагранжа. [c.385]

Необходимость в сжатое время, отводимое учебными планами на изучение теоретической механлки (особен-чо для немеханических специальностей), обучить студента умению оперировать с основными механическими понятиями неизбежно приводит к упрощенным постановкам решаемых ими задач (углы считаются равными 30", 60, ..., силы — постоянными дифференциальные уравнения динамики фактически трактуются как линейные алгебраические уравнения). Такие упрощенные, наглядные постановки, являясь необходимым начальным этапом обучения студентов, не оставляют места для развитых аналитических методик составления уравнений механики, для применения алгоритмов высшей математики, для применения ЭВМ. [c.3]

В настоящей главе приведены основные уравнения газовой динамики с учетом физико-химических превращений. Даны уравнения газовой динамики в дифференциальной и интегральной формах, а также их запись в дивергентном виде. Выписаны уравнения газовой динамики, в которых в качестве независимых переменных использованы функции тока. Представлены соотношени5г на поверхностях разрывов. Обсуждены наиболее характерные начальные и граничные условия. Выведены соотношения на характеристиках уравнений газовой динамики. Представлены некоторые фундаментальные аналитические решения основных задач газовой динамики обтекания тел, течения в соплах и струях, задача о распаде произвольного разрыва, задача о взрыве. [c.31]

Хотя реально решение этого дифференциального уравнения возможно только для ограниченного класса задач, оказывается, что многие важные задачи теоретической физики принадлежат именно к этому классу. Поэтому наиболее развитая форма аналитической механики остается не только эстетически и логически наиболее удовлетворительной, но и практически важной, потому что она дает ключ к решению многих задач динамики, недоступных элементарным методам [c.21]

Аналитическая форма механики, развитая Эйлером и Ла-гранжем, существенно отличается по своим методам и принципам от механики векторной. Основной закон механики, сформулированный Ньютоном произведение массы на ускорение равно движущей силе ,— непосредственно применим лишь к одной частице. Он был выведен при изучении движения частиц в поле тяготения Земли, а затем применен к движению планет под воздействием Солнца. В обоих случаях движущееся тело могло рассматриваться как материальная точка или частица , т. е. можно было считать массу сосредоточенной в одной точке. Таким образом, задача динамики формулировалась в следующем виде Частица, которая может свободно перемещаться в пространстве, находится под действием заданной силы. Описать движение в любой момент времени . Из закона Ньютона получалось дифференциальное уравнение движения, и решение задачи динамики сводилось к интегрированию этого уравнения Если частица не является свободной, а связана с други ми частицами, как, например, в твердом теле или в жидкости то уравнение Ньютона следует применять осторожно. Не обходимо сначала выделить одну частицу и определить силы которые на нее действуют со стороны остальных, окружа ющих ее частиц. Каждая частица является независимым объектом и подчиняется закону движения свободной частицы Этот анализ сил зачастую является затруднительным Так как природа сил взаимодействия заранее неизвестна приходится вводить дополнительные постулаты. Ньютон полагал, что принцип действие равно противодействию известный как его третий закон движения, будет достаточен для всех проблем динамики. Это, однако, не так. Даже в динамике твердого тела пришлось ввести дополнительное предположение о том, что внутренние силы являются цен- [c.25]

Приобретя широкую известность, трактат Даламбера тем не менее не смог сыграть роли систематической сводки аппарата аналитической динамики материальных систем, ибо оказался лишь малоупорндоченным набором примеров на приложение принципа равновесия потерянных сил, не содержащим никаких методически стройных и единообразных приемов составления дифференциальных уравнений движения материальных систе.м. Главной причиной этого было то, что Даламбер не уделил внимания аналитическому оформлению того принципа статики системы, сочетание которого с принципом Даламбера только и дает возможность завершить составление упомянутых уравнений. Первым систематическим трактатом по аналитической механике систем материальных точек, подчиненных механическим связям, явился лишь трактат Лагранжа Аналитическая механика , вышедший первым изданием в 1788 году. Он сыграл основополагающую роль для дальнейшего развития той разновидности аналитической механики, которая опирается на комбинацию принципа виртуальных перемещений с црин-ципом Даламбера или с петербургским принц1гпом динамики системы. [c.2]

В содержание книги включен не только традпционньп материал курсов аналитической механики. Значительное место удел-ено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о ра Дсляемости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашл свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. [c.2]

В содержание книги включен не только традиционный материал курсов аналитической механики. Значительное место уделено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о разделимости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашло свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. Книга заканчивается теорией периодических орбит. Использование здесь (и в некоторых других местах) простейших понятий и рассужденир теории множеств не может затруднить внимательного читателя. [c.10]

В случае произвольной системы материальных точек простота предыдущей теоремы нисколько не нарушается при условии, что дифференциальным уравнениям динамики дадут ту замечательную форму, в которой их впервые представил Гамильтон и которую отныне следует предпочесть во всех общих исследованиях, относящихя к аналитической механике. Правда, формулы Гамильтона относятся исключительно к случаям, когда составляющие сил являются частными производными одной и той же функции координат однако было нетрудно внести изменения, необходимые для того, чтобы сделать эти формулы применимыми в общем случае, когда силы выражаются любыми функциями координат. [c.296]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Можно сделать попытку обозреть основные этапы развития аналитической динамики до середины XIX в. Первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжева теория вариации произвольных постоянных, а также теория Пуассона. Следующим этапом явились во-первых, представление Гамильтоном интегральных уравнений посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или посредством условия, что она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных, и, во-вторых, установление канонических уравнений движения. Вслед за тем Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений к проблеме нахождения полного интеграла единственного уравнения в частных производных и дал общую теорию связи интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных первого порядка. Наконец, была разработана теория систем канонических интегралов. [c.910]

Излагаются результаты аналитического исследования динамики пневматических измерительных приборов для трех наиболее харак.терных случаев изменения формы размера изделия дискретной, равномерной и периодической. Получены нелинейные и линейные дифференциальные уравнения динамики нпевматических приборов, которые рассматриваются как система, состоящая из одной или двух проточных камер переменного объема с чувствительпым элементом, нагруженным силами инерции, упругости и вязкого трения. Табл. 2, илл. 13, библ. 13 назв. [c.269]

Составлено общее уравнение движущего момента пневмодвигателя вращательного действия и показано, что функции объема поршневых и ротационных пневмодвигателей могут быть представлены однотипными выраженнями. Давление и температура воздуха в рабочих камерах выражены дифференциальными уравнениями на основе первого закона термодинамики для систем с массообме-ном. Аналитическое выражение движущего момента многокамерных пневмодвигателей обеспечивает возможность решения динамики машинных агрегатов, горных и иных рабочих машин. Теоретическая диаграмма давления в рабочих камерах, полученная расчетом на вычислительной машине, сопоставлена с экспериментальной диаграммой, записанной в лаборатории завода Пневматика для ротационного пневмодвигателя РС-32. Даны рекомендации ио решению уравнений динамики для установившегося режима работы. [c.341]

Аналитические методы позволяют описать статику и динамику тепловых объектов регулирования с точностью, достаточной для решения многих задач. Уравнения статики, как правило, получают на стадии теплотехнических расчетов объекта, а описание динамики вновь проектируемых объектов обычно отсутствует. Дифференциальные уравнения являются наиболее общей формой описания динамических свойств объекта. Составление дифференциальных уравнений базируется на использовании физичес- [c.466]

Большие аналитические исследования по динамике парогенерирующих элементов выполнили Е. П. Серов и Б. П. Корольков [Б-52], [В-53] и особенно [Б-54]. Решается задача для труб панели. Используется обычная система дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнения решаются в линеаризованном (по методу малых приращений) виде. Принято, что изменением давления вдоль поверхности можно пренебречь. Определяются передаточные функции теплосодержания и расхода среды на выходе из трубы. [c.10]

Система дифференциальных уравнений переноса совместно с начальными и граничными условиями отображает в аналитической форме основные черты изучаемого процесса, т. е. является его математической моделью. Решение модели позволяет получить полную картину распределения потенциалов переноса в теле или системе тел, проследить изменение полей потенциалов во времени и на этой основе дать детальный анализ кинетики и динамики процесса. Никакие эмпирические методы исследования или приближенные методы 1полуэмпирического характера не могут заменить аналитических методов исследования. Большие успехи, достигнутые за последние годы теплофизикой, самым непосредственным образом связаны с широким использованием аналитической теории, роль которой непрерывно увеличивается. Поэтому разработка надежных и эффективных методов решения краевых задач теории переноса является актуальной и важной задачей теплофизики. [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...