Нормальные решения уравнения Лапласа

Нормальные решения уравнения Лапласа [c.94]

Решение. Выбираем полярные координаты г, 0 в плоскости поперечного сечения, перпендикулярной к линии пересечения плоскостей, с началом в вершине угла. Угол 0 отсчитывается от одной из прямых, образующих сечение угла. Пусть а есть величина обтекаемого угла при а < л течение происходит внутри угла, при а > л — вне его. Граничное условие исчезновения нормальной составляющей скорости гласит rfq>/d0 = О при 0 = О и а. Удовлетворяющее этому условию решение уравнения Лапласа пишем в виде ) [c.45]

Задача нахождения решения уравнения Лапласа по заданному значению нормальной производной на границе называется задачей Неймана. В случае, если область бесконечна, имеем внешнюю задачу Неймана с граничными условиями в виде (2.5). [c.131]

В случае удара тела, плавающего на поверхности идеальной несжимаемой жидкости, задача сводится к решению уравнения Лапласа для потенциала скоростей, когда на поверхности тела задана нормальная составляющая скорости, а на свободной поверхности задан потенциал, который остается неизменным в период удара. В этом случае движение жидкости непосредственно после удара однозначно определяется движением тела и ве ь эффект сводится к присоединенным массам (инерциям), [c.46]

В данном рассмотрении предполагается, что искомое решение уравнения Лапласа в виде синусоидальных волн в заполненной водой области 2 О удовлетворяет условию (13) на верхней границе 2 = 0. Мы должны также наложить подходящее граничное условие на нижней стационарной границе массы воды для безвихревого течения этим условием будет стремление к нулю нормальной составляющей скорости жидкости, т. е. производной по нормали потенциала скорости ф. Любое полученное таким образом решение для безвихревого течения дает, однако, ненулевое значение тангенциальной составляющей скорости на границе. В случае вязкой жидкости оно должно быть согласовано с точным граничным условием равенства нулю скорости жидкости на стационарной твердой поверхности посредством введения тонкого диссипативного пограничного слоя (разд. 2.7) между поверхностью и безвихревым потоком. [c.260]

Определение поля скоростей для потенциального течения несжимаемой жидкости сводится к решению уравнения Лапласа (3.45). Граничным условием при обтекании твердых тел является условие непротекания, т. е. равенство нулю нормальной составляющей скорости на поверхности тела Wnw= д( 1дп)уу=0. [c.48]

В дополнение к физическому условию, чтобы свободная поверхность при гравитационном течении, соответствующая вышеуказанному типу фильтрации из канавы или канала, стала асимптотой к водонепроницаемому ложу песчаника, распределение потенциала должно принять асимптотический вид, что соответствует линейному течению поверхности воды. Таким образом, эквипотенциальные линии на большом расстоянии от канавы или канала должны быть нормалями к водонепроницаемому ложу с постоянным их размещением, пропорциональным наклону водонепроницаемого ложа. Поэтому ясно, что точные решения уравнения Лапласа, которые даются в гл. VI, пп. 7, 8, 9, где предполагается асимптотическое приближение к вертикальному свободному падению, не могут быть приняты в качестве физического воспроизведения практических фильтрационных течений в песчаниках с конечной толщей 1, где фильтрационное течение сливается с нормальным зеркалом [c.287]

Классическим случаем некорректной задачи является пример Адамара. Рассмотрим задачу Коши для уравнения Лапласа. Пусть в полуплоскости г/ о требуется определить гармоническую функцию и х,у), обращающуюся на линии у = 0 в нуль и имеющую нормальную производную, равную du/dy = со пх)/п. Решение такой задачи имеет вид [c.190]

С увеличением п приходим к значению нормальной производной, равному нулю, что соответствует решению, тождественно равному нулю. Из вида выражения (16.1) следует, что для любого п можно подобрать такие значения у, что решение будет больше любого наперед заданного числа. Отсюда следует, что предел решения (по параметру п) не будет стремиться к решению для предельных краевых условий, а, значит, решение задачи Коши для уравнения Лапласа с несколько измененными краевыми условиями может привести к решениям, существенно различающимся между собой. [c.190]

В 8 гл. 1 отмечался класс смешанных краевых задач для уравнения Лапласа в случае полупространства с линией раздела краевых условий вдоль эллипса, для которых можно построить эффективное решение в явном виде. Имеется в виду, что внутри эллипса задана сама функция и, являющаяся полиномом степени п, а вне эллипса нормальная производная обращается в нуль. Выражение для нормальной производной на эллиптической площадке представляется в этом случае в виде [c.605]

Особенности постановки граничных условий в задачах гидродинамики пучков как пористых тел. Уравнения фильтрации, сведенные к уравнению типа уравнения Лапласа относительно потенциальной функции (функции тока или давления), решаются при следующих граничных условиях на твердых стенках — условие непроницаемости (нормальная к стенке компонента скорости п = 0), на открытых границах — задание функции. Показано, что назначение на стенках или на некоторых фиктивных стенках условия прилипания при учете некоторой эффективной вязкости в уравнениях фильтрации мало изменяет решение. Профиль стационарного фильтрационного потока в плоском канале выстраивается по закону гиперболического косинуса, а в трубе— по закону Бесселевой функции, но заполненность этих профилей очень велика, а пристенный слой тонок. Поэтому практического значения условие прилипания не имеет, тем более что физический смысл этого условия здесь теряется в класси-200 [c.200]

Областью неоднородности внешнего (линейного) решения в пространственной задаче является трубка с малым поперечным масштабом, охватывающая окрестность острой передней кромки. Внутренняя задача сводится к решению двумерного уравнения Лапласа для внутреннего потенциала в плоскости, нормальной к передней кромке в некоторой ее точке, с условием Римана-Гильберта на гранях клина , образующего кромку в окрестности рассматриваемой точки. Приведены примеры равномерно пригодных решений для разных режимов входа с постоянной скоростью, нормальной к свободной поверхности жидкости, тонких конических тел с ромбовидным поперечным профилем и формулы для давления на передних кромках. Рассмотрены особенности построения равномерно пригодного решения в случае входа тонкого циклически-симметрического тела (ЦСТ), представляющего собой связку из целого числа симметрично расположенных вокруг [c.660]

Например, если в падающем поле д/ду О (нормальное падение плоской волны), то уравнение Лапласа с этим граничным условием имеет простое решение u At x,y). В области промежуточной, при /гл <С 1, х а решение волнового уравнения должно перейти в это решение. Но при х а t = x — согласно (20.18). Следовательно, вдали от гофры она действует как плоская металлическая поверхность, смещенная на расстояние [c.206]

Согласно линеаризованной теории в области течения нижнее полупространство) существует потенциал скоростей ф, удовлетворяющий уравнению Лапласа. На глиссирующей поверхности известна нормальная или, что эквивалентно, вертикальная скорость. В случае больших чисел Фруда, когда силой веса можно пренебречь, на горизонтальной поверхности перед глиссером (р = 0. За глиссером равна нулю частная производная потенциала скорости по времени д(р/д1. Если в случае установившегося движения продолжить течение в верхнее полупространство, то окажется, что течение во всем пространстве представляет собой течение вокруг тонкого крыла. При этом подъемная сила глиссирующей поверхности равна половине подъемной силы тонкого крыла, а точки приложения этих сил совпадают. Поправка на конечный размах, вводимая в теории тонкого крыла, полностью переносится и на подъемную силу глиссирующей поверхности Л. И. Седов, 1937). Вообще всякое решение задачи [c.11]

Решение смешанной граничной задачи теории потенциала. Смешанной называется граничная задача, в которой на одной части границы заданы условия первой граничной задачи, а на остальной— условия второй граничной задачи. В частности, для уравнения Лапласа смешанная задача состоит в построении гармонической внутри В, функции, если известны ее значения на части общей границы 5 и ее нормальная производная на остальной части 2 = 5 — границы. [c.414]

Задачи второго типа возникают при рассмотрении фильтрации и противодавления под плотинами, длина которых сравнительно велика по отношению к их ширине. В этом случае соответственной динамической переменной будет потенциальная функция Ф, так как вследствие того, что течение осуществляется в вертикальной плоскости, линии тока будут нормальны скорее к эквипотенциальным поверхностям, чем к поверхностям равного напора. Однако в процессе математического решения можно применить и р и Ф, так как они оба удовлетворяют уравнению Лапласа [c.129]

Выражая искомое решение через потенциалы продольных и поперечных волн и подвергая полученные соотношения преобразованию Лапласа по времени и преобразованиям Ханкеля нулевого и первого порядка по г, автор устанавливает интегральную зависимость между изображениями о/ и да , где <3г и да— нормальные. напряжения и перемещения точек границы полупространства. С помощью обратного преобразования Ханкеля и учета граничных условий исключается а" и выводится интегральное уравнение для ш . Последнее заменяется другим, близким интегральным уравнением, решаемым точно по методу Винера — Хопфа. Дается явное приближенное выражение сначала для хю, а затем для СГг. [c.337]

Птак, получается, что обш,ее нормальное решение уравнения Лапласа в координатах ц, V имеет вид [c.131]

Равенство (14.5) определяет нормальную производную ср на поверхности, что с точностью до постоянной определяет единственное решение уравнения Лапласа (14.4). Поэтому из условий divA = 0 н j =0 вытекает единственный выбор калибровки. При такой калибровке А внутри массивного образца стремится к нулю. Если сделан какой-либо другой выбор, то (14.1) должно быть написано в иной форме. [c.702]

Уравнение (4.3) называют уравнением Лапласа. Как видно, нестационарные процессы распространения тепла описываются уравнением теплопроводности, стационарные — уравнением Лапласа или Пуассона. Огметим, что уравнения (4.1). .. (4.3) описывают и многие другие физические процессы, а не только связанные с переносом тепла (например, диффузию). Любые функции класса т. е. непрерывные вместе с производными до второго порядка включительно, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими функциями. Задачи, связанные с отысканием решений уравнения Лапласа, называют гармоническими задачами. При постановке и решении гармонических задач важное значение имеет следующее свойство гармонических функций интеграл по замкнутой поверхности от нормальной производной гармонической функции равен нулю. Пусть функция и (М) (D). Воспользуемся формулой Остроградского—Гаусса применительно к вектору grad и [c.120]

Однако не следует думать, что задача теории упругости может быть сведена к интегрированию системы (8.5.5) или что величина 0 может быть найдена по известным методам решения уравнения Лапласа. Величина 0 никогда не бывает задана на границе и определить ее, решая задачу Дирихле, не удается. Система (8.5.5) представляет собою систему двенадцатого порядка, тогда как исходная система (8.5.3) шестого порядка. Чтобы определить бигармоническую функцию, на границе области необходимо задать два условия, например, щ и dujdn, т. е. нормальную производную от Ui, тогда как для решения системы [c.249]

Наметим только основные идеи, применяемые при решении. Как и в п. 20.4, надо построить два решения уравнения Лапласа, четным и нечетным образом продлив их за линию, соединяющую провода решетки. Это продление будет обеспечено, если для четного решения на этой линии обратится в нуль нормальная производная, а для нечетного — сама функция. На самом металле должно выполняться условие (20.23). Четное решение U x, у) есть просто постоянная. Для получения нечетного решения П2 х, у) можно использовать конформное преобразование. Надо перевести линию С в ось /=0 с горизонтальными отрезками т = onst, расположёнными на расстоянии а друг от друга (рис. 20.6). В отличие от преобразования, позволяющего получить четное решение для Я-поляризации (см. рис. 20.5), надо преобразовать промежутки между решетками в отрезки оси t — Q (без промежутков), а участки контура проводов — в отрезки т = onst. Тогда искомое нечетное решение, опять для простейшего случая нормального падения плоской волны, будет U2 h x, у) ( ). Разумеется, это преобразование не совпадает с преобразованием, которое использовалось для нахождения четного решения для Я-поляризации. [c.215]

Однако не следует думать, что задача теории упругости может быть сведена к интегрированию системы (3.11) или что величина в может быть найдена с помощью известных методов решения уравнения Лапласа. Величина в никогда не бывает задана па границе. Определить ее, решая задачу Дирихле ), не удается. Система (3.11) имеет двенадцатый порядок, тогда как исходная система (3.6) — шестого порядка (порядок системы можно определить как произведение порядка максимальной производной на количество уравнений). Чтобы определить бигармоническую функцию, па границе области необходимо задать два условия, например щ и дщ/дп, т. е. нормальную производную от щ, тогда как для решения системы (3.6) достаточно задать только величины щ в каждой точке поверхности. Относительно легко построить три бигармопические функции, принимающие на границе заданные значения, но они могут не удовлетворять уравнениям (3.6). [c.58]

В случае тела общей формы приведенное выше решение для ближайшего поля не будет описывать действительное поле вблизи тела, потому что распределение напряженности источника по поверхности становится, вообще говоря, неверным, поскольку не будет удовлетворено соответствующее граничное условие непрерывности нормальной составляющей скорости на поверхности. Правильное решение для ближайшего поля может быть получено введением поправки, которая является локальным решением уравнения Лапласа с такой величиной нормальной к поверхности составляющей скорости, которая необходима для устранения этого расхождения. Это решение, однако, дает нулевую полную напряженность источника, а также нулевую полную напряженность диноля (поскольку движение центра инерции тела учитывается отдельно при рассмотрении присоединенной массы), и поэтому выражением для дальнего поля можно пренебречь по сравнению с оставленными чле- [c.77]

Таким образом, внутренняя задача свелась к решению двумерного уравнения Лапласа (1.12) для потенциала в плоскости, нормальной к передней кромке тонкого пространственного тела в некоторой ее точке, с условием Римана-Гильберта (1.13) [9] на одной из граней клина Zi = еАтпц. Здесь опущены члены порядка по сравнению с единицей. Во внутренней области эта точке является образом линии пересечения поверхности г = е/ х у) с указанной плоскостью. Переменные и — параметры внутренней задачи. Если плоскость г = о — плоскость симметрии пространственного тела в малой окрестности передней кромки, то к условию (1.13) следует добавить краевое условие = 0 при Zi = 0, пц < 0. В более об- [c.663]

При решении нашей гидродинамической задачи можно также отыскивать в первую очередь потенциал скорости ср. Он также дол жен удовлетворять в области течения уравнению Лапласа Дср = 0. Однако граничные условия па контуре примз т для функции ср другой вид. По самому определению потенциала скорости нормальная проекция скорости прилегающей к контуру частицы жидкости есть [c.240]

Задача об определении в некоторой области О функции ср, удовле-Т1юряющей уравнению Лапласа, по известным значениям нормальной производной функции ср на контуре области О, носит название задачи Неймана. Таким образом наша гидромеханическая зад ача сводится к решению некоторой задачи Неймана. [c.241]

Подход А. А. Никольского послужил основой для рассмотрения ряда экстремальных задач в рамках линейной теории двумерных и пространственных течений. М. Н. Коган (1957) применил этот подход к решению задачи о крыле конечного размаха заданной формы в плане, имеющем максимальное аэродинамическое качество при заданной подъемной силе. Для крыла с прямой задней кромкой, нормальной набегающему потоку, М. Н. Коган привел вариационную задачу к краевой задаче для уравнения Лапласа. Такое приведение для произвольной задней кромки было сделано Ю. Л. Жилиным (1957). В. Н. Жигулев и Ю. Л. Жилин (1959) дали решение задачи о теле вращения с протоком, имеющем минимальное сопротивление при заданных объеаге и радиусах входного и выходного сечений. [c.179]

Общая постановка задач о трещинах продольного сдвига, где распределению смещений соответствует случай так называемой антиплоской деформации (напряженное состояние в бесконечном цилиндрическом теле, возникающее под действием постоянных нагрузок, направленных вдоль образующих цилиндра), рассмотрена в работе Г. И. Баренблатта и Г. П. Черепанова (1961). В отличие от трещин нормального разрыва и трепщн поперечного сдвига, в этом случае возможно получить эффективные точные решения многих задач, так как единственное отличное от нуля смещение w удовлетворяет в этом случае уравнению Лапласа. Здесь возможно непосредственное применение широко развитых методов и результатов гидродинамики благодаря очевидной аналогии задач теории упругости для антиплоской деформации и задач плоской гидродинамики. В указанной работе были получены точные решения задач для бесконечного тела, содержащего круговое отверстие с одной или двумя трещинами, нагруженного на бесконечности постоянным касательным напряжением (аналог задач О. Л. Бови для трещин нормального разрыва),и смешанной задачи для изолированной прямолинейной трещины, на части которой задано постоянное смещение (аналог задачи о расклинивании клином конечной длины, рассмотренной И. А. Маркузоном. в 1961 г.). Здесь же исследованы задачи взаимодействия бесконечной системы одинаковых трещин, расположенных вдоль действительной оси, и случай, когда равные трещины расположены в виде вертикальной однорядной решетки. При рассмотрении задачи о развитии криволинейных трещин продольного сдвига, а также трепщн, форма которых мало отличается от прямолинейной или круговой, авторы использовали гипотезу о том, что развитие криволинейной трещины продольного сдвига происходит по направлению максималь- [c.386]

Уравнение Лапласа имеет единственное решение в односвязной области, если на границе ее заданы либо значения функции (задача Ди-рихле ), либо значения ее нормальной производной (задача Неймана ). [c.120]

Сопоставляя выясненные нами граничные условия с теми, которые относятся к задаче о дифракции относительно полубезграничного экрана при нормальном падении (см. 25 и рис. 77), мы убеждаемся, что обе системы граничных условий различаются только постоянным слагаемым, равным единице. Но если так, то и решения обеих задач различаются на то же слагаемое, так как ясно, что функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа или волновому уравнению, не перестанет быть решением этих уравнений после прибавления к ней любой постоянной величины. [c.375]

НЁЙМАНА ЗАДАЧА — задача о нахождении решения Лапласа уравнения Дп = О или Пуассона уравнения Др = —f в области G (внутр. Н. з.) или вне её (внеш. Н. 3.), шмеющего на границе S области G заданную непрерывную нормальную производную uj (соответственно внутри и извне i5). При постановке внеш. Н. з. требуется, чтобы решение на бесконечности стремилось к нулю в трёхмерном и было ограниченным в двумерном случаях. [c.254]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...