Движение п плоскости орбиты

Уравнения эллиптического движения в плоскости орбиты образуют систему четвертого порядка. Следовательно, для общего решения необходимы четыре постоянные. Разложение, полученное в этом разделе, содержит четыре постоянные я, е, со и Яо. Постоянная я входит как постоянная, дающая размеры орбиты и (посредством п) период, однако разложения и g не зависят от значения я. Следовательно, полученные разложения, позволяя менять значение а, представляют полное решение этих дифференциальных уравнений. [c.86]

Предположим, что па это движение спутника Земли наложены некоторые возмущения (это равносильно тому, что при отделении спутника от последней ступени ракеты незначительно нарушены условия, которые должны были обеспечить движение искусственного спутника по круговой орбите радиуса Г(,, лежащей в плоскости п). В результате наложенных возмущений спутник начнет совершать возмущенное движение, в частности, орбита уже не будет круговой, движение не будет происходить в плоскости я, угловая скорость ф вращения радиуса-вектора но будет равна [ fx/rjj. [c.26]

Для движений, соответствующих положениям относительного равновесия, вектор абсолютной угловой скорости тела направлен по нормали к плоскости орбиты, а величина абсолютной угловой скорости тела равна величине угловой скорости п кругового движения центра масс тела, т. е. период вращения тела равен периоду движения центра масс. Отсюда следует, что тело все время обращено к притягивающему центру одной и той же своей стороной. В природе примером такого движения является движение Луны (она смотрит на Землю одной стороной) и многих спутников планет, в технике — большое количество искусственных спутников Земли. [c.251]

Если А > Б, то уравнение (26) будет уравнением движения физического маятника. Его движение подробно исследовано в п. 93-96. Если же А < В то мы снова можем получить уравнение маятника, если вместо замены переменной 2ip = а сделаем замену 2ip = а - - т . Если А = Б, то = О, т. е. тело равномерно вращается вокруг нормали к плоскости орбиты с произвольной угловой скоростью. [c.253]

Укажем также, что для движений, при которых достигаются положения относительного равновесия, вектор угловой скорости тела ортогонален плоскости орбиты, причем модуль этого вектора равен величине п угловой скорости кругового движения центра масс. В этом случае период вращения тела совпадает с периодом движения центра масс. Имеем эффект, когда тело т обращено к притягивающему центру М одной своей стороной все время движения. Примером такого эффекта в природе служит орбитальное движение Луны вокруг Земли. [c.421]

Положение объекта определяется в системе орбитальных координат эксцентрической аномалией Е (см. ч. П, гл. 2) ), девиацией D и радиальным расстоянием Го. Девиация D измеряется в плоскости, перпендикулярной к плоскости орбиты в момент времени t = to, углом между плоскостью орбиты в этот момент и геоцентрическим направлением на объект. Радиальное расстояние го измеряется от центра масс Земли до положения объекта в момент t = Iq. Эксцентрическая аномалия Е отсчитывается в плоскости орбиты от перигея П в направлении движения объекта от 0° до 360°, девиация D положительна над основной плоскостью и меняется от —90° до +90°. Обычно D полагают равным нулю. [c.81]

Одной из основных задач механики космического полета является расчет маневров космического аппарата (КА). Маневром называют целенаправленное изменение параметров движения КА, в результате которого первоначальная траектория свободного полета начальная орбита) меняется на некоторую другую конечная орбита или траектория полета). Обычно маневр осуществляется с помощью двигательной установки. Длительность работы, направление вектора тяги и число включений двигателя зависят от начальной и конечной орбит. При расчете маневра необходимо его оптимизировать, т. е. определить такие условия проведения маневра, при которых расход топлива оказывается минимальным. Это — наиболее часто встречающийся критерий оптимальности, хотя в некоторых задачах рассматриваются и другие критерии, например время перелета с одной орбиты на другую, обеспечение высокой точности конечных (терминальных) параметров движения п др. Для некоторых маневров оказывается возможным использовать вместо двигательной установки (или для частичного уменьшения расхода топлива) аэродинамические силы, возникающие при движении КА в атмосфере планеты. Например, торможение КА в атмосфере при совершении посадки, частичное торможение КА при переводе его с подлетной гиперболической траектории на орбиту спутника планеты, поворот плоскости движения в процессе непродолжительного погружения в атмосферу и т. п. [c.134]

Пусть 1 — единичный вектор, направленный из притягивающего центра О в перицентр П, j — единичный вектор в плоскости орбиты, нормальный 1 и направленный по движению, а единичный вектор к дополняет систему векторов до правой (рис. 8.2), Тогда можно представить df/di через составляющие по направлениям ], к [c.339]

Спутник, рассматриваемый как материальная точка, обращается с угловой скоростью I2 вокруг планеты, которая в свою очередь вращается с угловой скоростью п вокруг оси, перпендикулярной к плоскости орбиты спутника. Показать, что момент количеств движения h системы относительно ее центра тяжести и энергия Е определяются формулами [c.336]

Теория движения больших планет. Дифференциальные уравнения движения п тел интегрируются в небесной механике приближенно, с помощью разложения в ряды (аналитические методы) или численным интегрированием (численные методы). Если решение ищется в виде рядов, расположенных по степеням малых параметров, то такими параметрами обычно являются массы планет, так как масса даже самой большой планеты солнечной системы — Юпитера — в 1047 раз меньше массы Солнца. Малыми параметрами, по которым ведется разложение в ряды, являются также эксцентриситеты и наклоны орбит больших планет, так как все орбиты лежат почти точно в одной плоскости и мало отличаются от круговых. Члены ряда называются возмущениями или неравенствами и имеют следующую форму [c.6]

Начало ее располагается в центре Земли. Основная плоскость — плоскость орбиты. Опорная ось Оу направлена в точку перигея П орбиты, ось Ох располагается в плоскости орбиты и направлена в сторону движения в перигее, ось Ог дополняет систему до правой. [c.54]

Пример 1 (Ограниченная задача ТРЕХ ТЕЛ (см. п. 124)). Пусть точка Р малой массы движется под действием притяжения двух точек S и J конечных масс, не оказывая влияния на движение последних. Будем считать, что точка J движется относительно точки S по круговой орбите, а точка Р движется в плоскости этой орбиты (т. е. рассматривается так на- Р с. 138 зываемая плоская круговая ограниченная задача трех тел). [c.325]

Угол V отсчитывается от направления из центра притяжения на перигей орбиты это направление не является неподвижным в пространстве, а составляет переменный угол соя с некоторым фиксированным направлением. В силу центральности возмущения в уравнения оскулирующих элементов не входит уравнение для определения угла 1 наклона орбиты к экватору и долготы Д восходящего узла орбиты, так как угол / остается постоянным ( = 0), а движение узла суммируется с движением перигея орбиты в общий эффект вращения орбиты в ее плоскости, описываемый уравнением (П 2.12). [c.405]

Здесь рассматривается планетный вариант задачи п тел (п—1 планета и центральное тело), т , Пк — масса и среднее движение А -й планеты, а , — большая полуось и эксцентриситет ее орбиты, л-наклон А-й планеты относительно плоскости Лапласа (см. ч. IV, 1.01). Интегралы (10.3.24) и (10.3.25) впервые были найдены Лапласом. [c.839]

Зная истинную аномалию, можно из уравнения орбиты (2.2.31) определить г — расстояние спутника до притягивающего центра. Радиальная Vr и трансверсальная F составляющие скорости вычисляются по формулам (2.3.5) и (2.3.7). Пусть г и п — единичные векторы, направленные соответственно по радиусу- вектору и по нормали к нему в плоскости движения. Тогда радиус-вектор спутника [c.100]

Поэтому для решения многих задач могут использоваться суточные (синхронные) спутники на круговых и эллиптических орбитах, плоскость движения которых наклонена под большим углом к плоскости экватора. За счет выбора элементов орбиты суточного спутника можно добиться наибольшего эффекта в его использовании для целей связи или наблюдения. На рис. 4.12 построены трассы суточных спутников Земли с наклонением I = 60°, эксцентриситетом е = 0,6 и различными положениями перигея, обозначенного буквой П [66]. [c.133]

Г а было у кс показано п примеро 2 2А>, стацпонарньго дпи-женпя искусственного спутника нр( д(танляют собой движения в плоскости Оху но круговым орбитам радиуса с постоянными угловыми скоростями. Исключая n i равенств (3.34) н (3.36) параметр с, найдем [c.92]

Описанная картина движения отвечает только нерезонансным случаям. Если же между характерными частотами движения существуют соотношения, близкие к резонансным, то картина усложняется и в первом приближении появляются возмущения в движении вектора кинетического момента, в величине этого вектора и в движении относительно вектора кинетического момента, как это обнаружил А. П. Торжев-ский (1967) для случая гравитационных возмущений. Например, в случае быстрого вращения тела с трехосным эллипсоидом инерции при соизмеримости двух основных частот эйлерова невозмущенного движения оказывается что вектор кинетического момента X прецессирует вокруг нормали к плоскости орбиты (аналогично нерезонансному случаю) и, кроме того, совершает нутационные колебания (по углу р) относительно нормали к плоскости орбиты при этих колебаниях L и р меняются так, что [c.292]

Теоретическое исследование закона Кассини. Движение твердого тела вокруг удаленного притягивающего центра исследовалось в предположении, что движение центра тяжести тела происходит в одной плоскости. Из уравнений (2) п. 552 следует, что движение в случае, когда центр тяжести тела описывает круговую орбиту, а само тело всегда вращается вокруг главной оси инерции, направленной к притягивающему центру, является стационарным. Предыдущие исследова1шя также показывают, что это движение устойчиво при всех возмущениях, которые не изменяют плоскости движения при условии, что момент ииерции относительно главной оси, которая направлена к притягивающему центру, меньше момента инерцин относительно другой главной оси, лежащей в плоскости орбиты. Теперь остается определить эффект от этих возмущений в наиболее общем случае, когда движение происходит в пространстве. [c.423]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

Рассмотрим представленную па рис. П1.1 орбитальную геоцентрическую систему координат OXYZ, связанную с КА, где КА предполагается неподвижным ("замороженным"), а орбитальное движение представляется вектором, с осью вращения, направленной по оси Y - нормали к плоскости орбиты. След КА на новерхности Земли представлен кривой, близкой к окружности (нри Оз.п Ока), проходящей через точки А (восходящий узел) и F (подспутниковая точка на оси Z). Радиус-вектор вращения Земли Q3 направлен вертикально вверх через нолюс N. При ориентации КА во ОСК и отсутствии ошибок ось Z [c.156]

Перейдем к вычислению потенциальной энергии центробежных сил инерции. При движении центра масс ИСЗ по круговой орбите центробежная сила, действующая иа элемент массы dm, определяется равенством (o dmt, где а — угловая скорость вращения радиуса-вектора R центра ииерции ИСЗ, а г —вектор, проведенный от оси Оув до элемента dm параллельно плоскости орбиты (на рис. 14.9 вектор г не показан). Очевидно, что проекции вектора г на орбитальные оси координат %, i/i, г, равны х,. О, / - - г, соответственно. Поэтому потенциальная энергия центробежной силы элемента dm будет равна (см. формулы (3.50) п (3.25)) [c.647]

Третье (магнитное) квантовое число т определяет пространственное расположение орбиты и связано с орбитальным магнитным моментом электрона, возникающим вследствие его движения вокруг ядра /П принимает все значения целых чисел в интервале от —I до +/ или до величины 2/-Ы. Важным является взаимоортогональное расположение плоскостей орбит электронов р-подоболочки. [c.7]

П. обращается вокруг Солнца по сильно вытянутой орбите на ср. гелиоцентрич. расстоянии 39,439 астрономической единицы (а. е.) (5,91.10 км). Одинполпый оборот (сидерич. период обращения) составляет 248,6 земного года, ср. скорость движения по орбите 4,7 км/с. Вследствие большого эксцентриситета орбиты (0,247) планета в перигелии заходит внутрь орбиты Нептуна, однако из-за большого наклонения орбиты П. к плоскости эклиптики (17,1°) мин. расстояние между орбитами остаётся не менее 2,5 а. е. Вследствие же наличия резонансов (соизмеримостей в движении Плутона, Нептуна и Урана, в результате чего их периоды обращения находятся в отношении примерно как 3 2 1) П. не подходит к Нептуну на расстояние, меньшее 16 а. е., в то время как с Ураном может сблннсаться до 10 а. е. [c.639]

Мы можем притти к физическому пониманию орбитальной части магнитного дипольного момента одной движущейся частицы, например протона, рассматривая протон как движущийся в плоскости по круговой орбите. Тогда орбитальный момент Мг <в = М—масса частицы, г—радиус круговой орбиты, ш—угловая скорость). Круговое движение заряда е (электростатических единиц) эквивалентно круговому току / = е<о/2 п с (электромагнитных единиц) и действует как магнитный листок с классическим магнитным дипольным моментом 1 = Исключая i и мы получим [c.10]

Сложное строение системы долгое время было загадкой и только после успехов физики, выяснившей на основе изучения спектров структуру электронных оболочек атомов, установлены были принципы, лежащие в основе явления периодичности. Прежде всего было выяснено, что состояние каждого планетарного электрона, рассматриваемого отдельно от остальных электронов атома, м. б. охарактеризовано четырьмя символами—т. н. квантовыми числами — соответственно числу независимых периодич. движений или числу степеней свободы данного электрона три из них отвечают трем пространственным координатам (в первоначальной теории Бора этому отвечали три одновременных движения вращение электрона по орбите, вращение самой орбиты в извёстной плоскости вокруг ядра атома и наконец прецессионное вращение этой плоскости), четвертое связано с вращением электрона вокруг его собственной оси. Эти четыре числа п, i , [c.112]

О соответствуют круговые орбиты. Третье (магнитное) квантовое число П определяет пространственное расположение орбиты и связано с орбитальным магнитным моментом электрона, возникающим в результате его движения вокруг ядра гп[ может принимать все значения целых чисел от —I до +/ или 2/+1 значений. Важное значение имеет взаимноортогональное расположение плоскостей орбит электронов р-подоболочки. Четвертое квантовое число указывает на собственное вращение электрона, обусловливающее его механический момент (спин) и магнитный момент, и может принимать всего два значения + /г и /г [c.392]

Оставляя в стороне тригонометрические выкладки, приведем иаброски общих рассуждений. Первоначально Лаплас составил уравнения движения, соответствующие уравнениям (II) п. 560, причем ось GZ предполагалась перпендикулярной к плоскости неподвижной эклиптики. Он вывел уравнения, аналогичные уравнениям (IV), и заметил, что sin / представляет собой селеноцентрическую широту. Земли, измеренную от неподвижной плоскости, и ее можно заменить рядом вида 2 sin 0 -1- 2с sin ф, где 0 - (п + g) — Р, ф = ( — h) t — 7. Здесь nt — средняя селеноцентрическая долгота, отсчитываемая от неподвижной точки весеннего равноденствия, а—gt - р —долгота восходящего узла лунной орбиты на движун епся эклиптике, отсчитываемая от той же точки весеннего равноденствия. Функции 2с sin (/ I-1-7) и 2 os (/li7) зависят от движения эклиптики. [c.429]

Мы уже указывали, что в простых металлах довольно трудно зафиксировать даже сам эффект брэгговских отражений. Эту трудность, однако, можно обойти, если поместить образец в магнитное поле. Как мы видели в 2 для более общего случая, классическая траектория свободного электрона в присутствии магнитного поля искривляется, и электрон движется по спиральной орбите, ось которой параллельна магнитному полю. У электрона на ферми-поверхности соответственно волновой вектор будет описывать некоторую замкнутую кривую. Эта кривая представляет собой сечение ферми-сферы плоскостью, перпендикулярной направлению магнитного поля. Следовательно, любой данный электрон, двигаясь вдоль такой линии на ферми-поверхности, часто может пересекать в некоторых точках брэгговские п.1эскости отражения. Если это произойдет, то в соответствующей точке электрон испытает дифракцию, изменив направление своего движения и перепрыгнув в другую часть ферми-сферы. Дальше он будет двигаться по другому отрезку круговой траектории на ферми-сфере. Таким образом, хотя в одноволновой OPW картине ферми-поверхность и остается сферической, траектория движения электрона внутри металла становится очень сложной. На фиг. 35 мы видим одну из таких возможных орбит. Заметим, что по сравнению с межатомным расстоянием электронная орбита может быть довольно большой. Если бы мы могли заглянуть внутрь металла, мы увидели бы, как в присутствии магнитного поля электроны выписывают множество сложнейших траекторий. Движение волнового вектора по сферической ферми-поверхности тоже очень сложно плавная траектория прерывается скачками из одной части поверхности в другую, поэтому хотелось бы найти более простое и ясное описание электронных состояний. [c.127]

В солнечной системе орбиты больших планет, за исключением Плутона, имеют малые наклонности относительно общей плоскости, за которую можно выбрать такую плоскость, в которой момент количества движения системы достигает максимума. Это так называемая неизменяемая плоскость Лапласа. Если пренебречь координатами, перпендикулярными к этой плоскости, то уравнения движения относятся к задаче га тел, движущихся в общей плоскости. Такая система имеет порядок 4га, Число общих интегралов теперь равно 4 + 1-)-1 = 6, и порядок может быть понижен до 4га —6. Для задачи трех тел в плоскости понижением порядка приходим к системе шестого порядка. Как и в трехмерной задаче, возможно еще одно понижение порядка этой системы на две единицы. Следовательно, для задачи трех тел в плоскостп окончательное понижение порядка приводит к системе четвертого порядка, для задачи п тел в плоскости —к системе порядка 4га-8. [c.222]

Луна — Солнце — КА. Рассматривается только плоская задача, т. е. предполагается, что Земля, Луна, Солнце и КА во все время движения находятся в одной плоскости. Это предположение оправдано тем, что из анализа, проведенного Шехтером, следует, что пространственность движения несущественна в рассматриваемой задаче о периодических движениях КА. Точка определяется как треугольная точка либрации, соответствующая средней Земле и средней Луне . Предполагается, что барицентр В движется относительно Солнца по круговой орбите, орбита Лупы относительно барицентра — также круговая. Средняя угловая скорость п движения Луны относительно барицентра равна 0,23 рад1сут. За единицу длины принимается расстояние D между Землей и Луной, равное 386 ООО км. [c.253]

Следует подчеркнуть, что в результате расчетов маневров АМС и последующей их реализации происходит ие механический переход станции с одной орбиты на другую, а планомерное выполнение операции при целом ряде условий и ограничений, в частности, видимости АМС с наземных станций слежения, ее заходов за Марс, Солнце и т. п. Например, последний маневр перехода на КСО 21 марта 1989 г. проводился в момент, когда Марс, Фобос, АМС и Солнце лежали на одной лннин, а расстояние между станцией и Фобосом ие превышало 200 км. Соблюдение упомянутых условий было достигнуто за счет коррекции ее орбиты 15 марта 1989 г. Малейшие погрешности этой коррекции привели бы к нарушению условий перехода 21 марта. Одним словом, потребовались предельная точность баллистических расчетов и не менее точное исполнение маневров АМС и коррекции ее орбиты с помощью бортовой аппаратуры. Из рассмотрения рис. 18.4 видно, что автоматическая станция и Фобос, являясь сиутниками Марса, имеют практически одинаковые периоды вращения и плоскости движения орбиты, сдвинутые относительно Марса по максимальному и минимальному от него расстоянию всего на 200 км за счет различия эксцентриситетов. В результате достигается поразительный эффект. Как ни [c.494]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...