Условия на бесконечности. Теоремы единственности

УСЛОВИЯ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ [c.58]

Условие термоупругого излучения. Теоремы единственности во внешних задачах термоупругих колебаний могут быть доказаны при наложении на решения некоторых условий на бесконечности, аналогичных (но не идентичных) условиям, которые были в 2, п. 3 введены для решения уравнения упругих колебаний. [c.105]

Внутренние задачи. Спектр собственных частот. Теоремы единственности. В главе III, 3, п. 4 было доказано, что основные внешние задачи термоупругости, при выполнении условий термоупругого излучения на бесконечности, допускают единственные решения для любых значений параметра со . Для внутренних задач это не так, и можно указать дискретное мно- [c.386]

Этот вектор есть регулярное вне решение уравнения /4(0) (д , со ) X X х Ыр ) = О, удовлетворяет на условию (4.16) и на бесконечности условию излучения по теореме единственности (см. теорема III, 2.13) [c.470]

Теорема 2.4 дает возможность выяснить условия разрешимости внешних задач в традиционной постановке. Если лг = 3, то, в силу Теоремы, f—при любых Q . Следовательно, единственное возможное условие на бесконечности [c.295]

Многосвязная область с отверстиями и трещинами. Пусть в бесконечной плоскости имеется один замкнутый криволинейный разрез L, разбивающий всю плоскость на две области внутреннюю 5+ и внешнюю 5 Предположим, что при переходе через контур L напряжения остаются непрерывными q t)=0), а вектор смещений получает скачок g t). Тогда комплексные потенциалы Ф г) и 4 (2) определяются по формуле (1.66), а неизвестная функция g t) удовлетворяет уравнению (1.67) (при q t)=0), т. е. сингулярное интегральное уравнение первой основной задачи (при заданной на границе L нагрузке) является одним и тем же для внутренней и внешней области. Из теоремы единственности следует, что для существования решения необходимо выполнение условий равновесия области 5+ (равенство нулю главного вектора и главного момента внешних усилий, действующих на контуре L), т. е. интегральное уравнение в этом случае имеет решение при дополнительных условиях, которым должна удовлетворять правая часть уравнения (следовательно, союзное однородное интегральное уравнение имеет нетривиальное решение). Таким образом, задача является некорректной. Для ее регуляризации в работах [94, [c.19]

В приложениях (например, при экспериментах в аэродинамической трубе) добиваются того, чтобы области течений были геометрически подобны и приведенные скорости у/с и с были согласованы в одной точке Р. При этих обстоятельствах динамически подобные течения являются теоретически возможными, если соотношение (36.5) выполняется. Возникает вопрос, будут ли такие течения реализованы в действительности. Ясно, что мы можем быть в этом уверены только тогда, когда течение единственным образом определяется условием, заданным в точке Р. Как будет показано ниже, теорема единственности справедлива по крайней мере в случае дозвукового обтекания препятствия при заданном состоянии потока на бесконечности (см. п. 46). Однако в действительности при экспериментах в аэродинамической трубе ситуация сильно усложняется действием различного рода посторонних факторов, так что вопрос о динамическом подобии следует решать — по крайней мере частично — исходя из опытных данных. [c.106]

Теорема. Если 5 Лх (а) и (5), то суш ествует единственное регулярное решение задачи (I)", удовлетворяюш,ее на бесконечности условиям [c.266]

Этот потенциал решает однородную задачу (П) ", удовлетворяет на бесконечности условию излучения и по теореме единственности (см. П1, 2.13) есть тождественный нуль в 0 , По непрерывности V х ф) является решением [c.295]

На бесконечности потенциал W удовлетворяет условиям термоупругого излучения и является регулярным решением уравнения В (дх, о)) 1F == = 0. Поэтому, согласно теореме единственности для первой основной внешней задачи (см гл. П1) [c.529]

Задача безотрывного обтекания профиля с острой задней кромкой дозвуковым (на бесконечности) потоком совершенного газа была впервые рассмотрена М.В. Келдышем и Ф.И. Франклем [45]. Ими была доказана теорема существования и единственности решения задачи обтекания профиля потоком достаточно малой дозвуковой скорости, подчиняющегося условию Жуковского-Чаплыгина. Полученные в процессе доказательства строгие асимптотические оценки решения в окрестности бесконечно удаленной точки позволили обосновать справедливость теоремы Жуковского для совершенного газа. [c.134]

Общепринятый способ конструирования крыла, состоящий в подборе подходящего решения прямой задачи, недостаточно точен для отыскания прецизионных докритических профилей. Из-за невозможности проводить вычисления в бесконечной области граничные условия переносят на конечное расстояние. Для функции тока там выставляют значения, определяемые асимптотикой на бесконечности. Это приводит к погрешности порядка (1/В, где с/ — хорда профиля, В — диаметр расчетной области. Если задача решается относительно вектора скорости, приходится видоизменять граничные условия из теоремы Коши-Ковалевской следует, что в дозвуковом потоке идеального газа нельзя задавать постоянный вектор скорости на границе конечной области, так как в этом случае единственным решением во всей области является равномерный дозвуковой поток. Это обстоятельство затрудняет как конструирование, так и вычислительную проверку докритических контуров. [c.164]

При t > т все рассуждения повторяются решение может опять оказаться гиперболическим или параболическим или же вернется к пулю в некоторый момент г. В последнем случае на паре [vt) определено отображение 5 [vt) ( "г"), где v" = х т"), и т.д. При подходящих начальных условиях vt) решение x t) может иметь бесконечное число нулей, и стало быть, определены все степени отображения S. Стандартным в теории дифференциальных уравнений рассуждением, основанным на теореме единственности, можно убедиться в том, что пули решения не могут иметь точки накопления. [c.76]

Фазовая плоскость для уравнения (6.1) вырождается в фазовую прямую. Рассмотрим представление движения на этой фазовой прямой. Согласно теореме о единственности решения уравнения (6.1), начальное условие при i = to X = х однозначно определяет дальнейшее движение изображающей точки. Характер движения изображающей точки не будет зависеть от момента времени to, так как уравнение (6.1) явно от времени не зависит. Это значит, что каждая отдельная фазовая траектория на фазовой прямой соответствует не одному движению, а бесконечному множеству движений, соответствующим различным t . [c.215]

Пусть на комплексной плоскости 2 дана ограниченная односвязная область G с границей Г, причем дополнение замкнутой области G = G и Г есть односвязная область D, содержащая бесконечно удаленную точку 2 = оо. По теореме Римана о конформном отображении существует единственная аналитическая в области D (исключая бесконечно удаленную точку) функция = ф г) которая отображает область D конформно и однолистно на область > 1 при условиях [c.226]

Вышеописанные движения представляют собою хотя и самые простые, однако не единственные установившиеся движения, возможные для твердого тела, когда на него не действуют внешние силы. Мгновенное движение тела в некоторый произвольный момент, согласно хорошо известной теореме кинематики, представляет некоторое винтовое движение для того, чтобы это движение было установившимся, необходимо, чтобы при движении не менялось положение импульса (которое неизменно в пространстве) относительно тела. Для этого необходимо, чтобы ось винтового движения совпадала с осью соответствующего импульсивного винта. Так как общие уравнения прямой линии содержат четыре независимых постоянных, то это условие приводится к четырем линейным соотношениям, которые должны удовлетворяться пятью отношениями и о г р д Г. При рассмотренных здесь обстоятельствах для всякого тела существует, таким образом, просто бесконечная система возможных установившихся движений. [c.212]

Из формулы (6) сразу же следует, что функция (9) является решением. Для доказательства единственности обозначим через (г) разность двух решений, удовлетворяющих этим условиям. Тогда посредством подходящего определения функции Ч (z) на дуге А (где она неопределенная) мы получаем, что V (г) аналитична во всей плоскости, включая бесконечность, и, следовательно, по теореме Лиувилля, сводится к постоянной величине, которая должна быть равна нулю, так как Ф(г) в бесконечности обращается в нуль. [c.140]

Обозначим через С (У") класс функций, аналитических в области С К . Множество М С V назовем ключевым (или множеством единственности) для класса если любая аналитическая функция, равная нулю на М, тождественно обращается в нуль всюду в V. Таким образом, если аналитические функции совпадают на М, то они совпадают на всем V. Например, множество точек интервала Д С К является ключевым для класса С (Д) в том и только в том случае, когда оно имеет предельную точку внутри Д. Достаточность этого условия очевидна, необходимость вытекает из теоремы Вейерштрасса о бесконечном произведении. Отметим, что если М — множество единственности для класса функций СР У) (О р оо), то М плотно в V. [c.179]

Теорема существования и единственности решения задачи Трикоми рассматривалась К. И. Бабенко [93] для уравнения Трикоми ему удалось снять обычно накладываемое ограничение на форму контура в дозвуковой части вблизи звуковой линии (это условие требует по меньшей мере ортогональности контура звуковой линии). При этом решение обладает свойством, что его производные могут обращаться в бесконечность порядка ниже 2/3 (т.е. фи,Фу = 0 и + где > 0). Покажем, что это решение (точнее говоря, решение сформулированной выше задачи об угловой точки в струе) не может быть представлено в виде асимптотического ряда по решениям уравнения Трикоми (10) со степенными особенностями на звуковой линии. [c.216]

В стационарных режимах нач. условия выпадают, и теоремы единственности формулируются непосредственно для установившихся решений. Так, в электростатике достаточно задать все источники р . , все полные ааряды на изолиров. проводниках или их потенциалы, чтобы при соответствующих условиях на бесконечности (нужное спадание поля) решение было бы единственным. Аналогичные теоремы устанавливаются для магнитостатики и электродинамики пост, токов в проводящих средах. [c.38]

Существование и единственность трехмерных дозвуковых течений рассматривались в недавно опубликованной работе Джилбарга и Финна ). Полученные ими глубокие результаты полностью решают вопросы единственности и асимптотического поведения потенциала на бесконечности существование дозвуковых течений доказывается при условии, что местное число Маха не превышает 0,53. Вопрос существования рассматривался также в работе Нэша З) пользуясь установленной в этой работе замечательной теоремой, можно, по-види-мoмз получить результат даже более общий, чем в случае плоских течений. [c.143]

Продолжим теперь доказательство теорем существования для задач псевдоколебаний. Матрица фундаментальных решений однородного уравнения (3.2°) получается из матрицы решений однородного уравнения (2.1°) подстановкой со = п эти решения содержат выражения ехр (iX х — г/1), k = 1, 2, 3 и в силу доказанного выше свойства а), в полуплоскости Re т > >>ае, для эластопотенциалов, в которых выражаются решения граничных задач, будут на бесконечности удовлетворены условия затухания более сильные, чем те, которые в главе 1П, 3, п. 3 были использованы для доказательства теорем единственности. Отсюда следуют интересующие нас теоремы единственности. [c.404]

В дальнейшем нам придется применять теорему единственности и к случаям, когда компоненты напряжения не продолжимы непрерывно на точки аи, Ъи- В этих случаях, как было уже отмечено в 40 (п. 3, замечание), теорема единственности остается в силе, если интегралы от выражения (X l -f Y v) ds, составленного для разности решений, взятые по бесконечно малым полуокружностям, описанным из точек аи, как из центров, и расположенным в S , стремятся к нулю вместе с радиусами полуокружностей. Во всех рассматриваемых ниже случаях это условие будет соблюдено, что читатель легко сможет каждый раз проверить. [c.411]

Для области с кусочно-прямолинейными границами Г. И. Положий [1—3] изучал третью основную задачу теории упругости. Так принято иногда называть задачу о соприкасании с жестким профилем, когда на границе среды задаются нормальные смещения и касательные напряжения (см. 128). В граничных условиях этой задачи, после их надлежащего преобразования, при старших производных искомых функций появляется коэффициент, содержащий кривизну контура в качестве множителя. Бла-годаря этому в случае контуров, состоящих из отрезков прямых, задача существенно упрощается и приводится к двум последовательно решаемым граничным задачам теории аналитических функций. Этим путем Г. Н. Положий построил решение задачи в случае, когда граница области, конечной или бесконечной, представляет собой полигональный контур довольно общего вида. При решении задачи автор сформулировал некоторые физические условия, касающиеся порядка роста напряжений вблизи углов, при которых теорема единственности решения остается справедливой. [c.595]

Часть IV книги посвящена в основном уравнению Гельмгольца и волновому уравнению. Здесь подробно изложена теория краевых задач для уравнения Гельмгольца в неощ>аниченных (внешних) областях, доказаны теоремы существования и единственности решений таких задач с условием излучения Зоммерфельда на бесконечности, причем для доказательства существования решения используются метюды теории потенциала, а также метод предельного поглощения и метод предельной амплитуды. Рассматривается вопрос о продолжении резольвенты в комплексную область, вопрос о частотах рассеяния, изучена задача об акустическом резонаторе и поведении его частот рассеяния, а также другие физические задачи, связанные с уравнением Гельмгольца. [c.8]

Если поверхность (любого знака кривизны) не имеет бесконечно удаленных точек, ограничена только неасимптотическими краями и во всех точках этих краев она лишена свободы смещения в обоих тангенциальных направлениях, то такая поверхность не может изгибаться. Отсюда по теореме о возможных изгибаниях должно следовать, что полная краевая задача безмоментной теории при граничных условиях вида (17.34.1) на всех краях оболочки, не имеющей бесконечно удаленных точек, должна иметь решение (единственное) при любой, достаточно гладкой, нагрузке, если ни один из краев оболочки не касается асимптотических линий срединной поверхности. Справедливость этого утверждения доказана в 17.34 для сферического купола с плоским краем, а в 15.23 — для произвольной замкнутой оболочки нулевой кривизны с двумя неасимптотическими краями. Оно, по-видимому, останется правильным и в самом общем случае. [c.261]

Чрезвычайно широкое применение получила теорема Римана г . Хотя, согласно этой теореме, требуются всего две граничные точки в плоскости Z, в практических приложениях желательно отображать в единичный круг кривую, содержащую бесконечное число граничных точек. Проблему конформного отображения Ри-ман разработал в своей диссертации (1851 г.), где были представлены все основные понятия, на которых базируются последующие работы в этой области. Однако его доказательство теоремы об отображении было не полным, поскольку оно зиждилось на спорных допущениях, обоснованность которых была доказана лишь в 1900 г. Гильбертом в теореме, известной под названием принцип Дирихле. Доказательства теоремы здесь не дается, однако полезно рассмотреть условия единственности отображения. Два различных единственных отображения односвязной области на внутреннюю область единичного круга дают единственное отображение единичного круга в самого себя как будет показано далее, это преобразование должно быть линейным. Однако линейное преобразование единичного круга в самого себя имеет три степени свободы (см. следующий раздел). Итак, комплексное число /(0) дает два действительных числа само данное и arg/ (0), что достаточно для обеспечения единственности преобразования, [c.154]

Решение задачи о распространении тепла от мгаовенного источника энергии о для случая плоской симметрии рассматривалось в работе [45]. В этой же работе было впервые отмечено существование температурных волн конечной скорости (см. также [46]). В работах [7, 49, 64, 81] для уравнений параболического типа были доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши и краевых задач, а также теоремы сравнения, которые с помощью автомодельных решений позволили получить достаточно общие условия конечной скорости распространения температурных волн. В работе [74] был построен пример так называемой остановившейся температурной волны, обладающей тем свойством, что тепло не проникает с течением времени в холодную среду, несмотря на неограниченный рост температуры, заданной на границе. В дальнейшем явление локализации тепла было подробно исследовано во многих работах (см., например, [40, 43, 47, 55, 69—71] и библиографию в [55, 70]). Было показано, что причиной локализации может быть так называемый граничный режим с обострением, при котором функция, заданная на границе, обращается в бесконечность в конечный момент времени. Причиной может быть также энерговыделение в режиме с обострением в среде с нелинейными объемными источниками. [c.47]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...