Отображение на единичный круг

Для случая круга, например, вариационный принцип формулируется так. Рассматриваются односвязные области, содержащие фиксированную точку 2о, и их конформные отображения на единичный круг, переводящие эту точку в центр. Через Гр обозначается линия уровня при отображении /, т. е. прообраз окружности йУ = р при этом отображении в частности, Fi = Г — граница отображаемой области D (рис. 32). [c.108]

Отправляясь от формулы (7) 10 для отображения на круг круга с выброшенной луночкой, можно, как и выше, получить количественное уточнение этого принципа. Оно основывается на приближенной формуле для конформного отображения на единичный круг областей, близких к кругу по положению и кривизне, т. е. таких, что в полярных уравнениях их границ [c.109]

При помощи дополнительного конформного отображения можно получить и более общий результат. Пусть дана произвольная односвязная область D с дважды гладкой границей Г, и пусть / — ее конформное отображение на единичный круг с нормировкой f(Zo) = О, f (zo) >0. Рассмотрим еще область 5 с границей Г и для любой точки обозначим через e( ) отрезок [c.109]

Конформное отображение на единичный круг [c.369]

Таким образом, уравнение граничной кривой заданной области в плоскости г можно представить в новых координатах в более простой форме. Если рассматриваемая область имеет замкнутый граничный контур (рис. 8.12), то при конформном отображении на единичный круг в плоскости с помощью функции = pe > можно добиться того, что граничная кривая будет описываться уравнением р = 1. В плоскости применяются полярные координаты р, ф. Этот частный случай будет рассматриваться в дальнейшем, так как позволяет получить простые решения. [c.221]

Преобразование формул Колосова и граничных условий при конформном отображении на единичный круг. В ос- [c.221]

Рис. 8.13. К конформному отображению на единичный круг плоскости

Идея конформного отображения на единичный круг состоит в том, что фактически решение рассматриваемой двумерной задачи сводится к решению некоторой одномерной задачи, что значительно упрощает исследование [10, 16]. [c.49]

При этом можно потребовать, чтобы произвольно выбранная точка рассматриваемой области z = Zq переходила в произвольно выбранную точку единичного круга (например, в С = 0). Тем самым первый член в ряду (13.1) может быть выбран произвольно. Известно, кроме того, что функция x(Q, дающая отображение на единичный круг внешней, по отношению к простому контуру L, области, представима в виде [c.327]

Из сказанного вытекает, что при рассмотрении концентрации вблизи отверстия, имеющего угловые точки, вовсе нет смысла стремиться к точному решению задачи (основанному на точном отображении на единичный круг). Наоборот, получение приближенных решений представляет большой интерес, поскольку, удерживая в ряду для отображающей функции х(С) все большее число членов, мы будем получать отверстия со все меньшими радиусами закругления в угловых точках. Тем самым можно будет выяснить влияние величины этого радиуса на значение коэффициента концентрации к. [c.350]

В условиях теоремы указано, что границы отображаемых односвязных областей должны состоять более чем из одной точки. Это означает, что теорема не распространяется на расширенную плоскость и расширенную плоскость с выколотой точкой, для которых конформное отображение на односвязную область вообще не существует (например, на единичный круг). [c.186]

Такой выбор функции P Q) диктуется конформным отображением линии трещины сначала на прямолинейный разрез, который в свою очередь отображается на единичный круг. Отображение одного первого наклонного звена трещины при переходе к разрезу, совпадающему с некоторой новой осью s, дает х = s os ао. Отображение берегов этого разреза на единичный круг по формуле Жуковского приводит к соотношению s = L os 0. Отсюда следует первая строка формулы (24.21). [c.206]

Размерность системы линейных алгебраических уравнений определяется количеством членов отображающей функции, которая ищется в виде полинома, осуществляющего с заданной точностью отображение исследуемой области на единичный круг. [c.162]

Отображение верхней полуплоскости у = О на единичный круг может быть записано в виде [c.188]

Поскольку профили решеток, применяющихся в технике, существенно отличаются от профилей Н. Е. Жуковского, большее распространение получили аналитические приемы построения теоретических решеток, основанные на различных обобщениях на случай решетки других теоретических профилей. В частности, Э. Л. Блох (5] и затем А. С. Гиневский [9] использовали теоретические профили С. А. Чаплыгина, которые получаются в плоскости в результате отображения внешности единичного круга из плоскости Сд, в простейшем случае дающем профили Н. Е. Жуковского, с помощью функции [c.101]

Попробуем построить решение этой задачи в приведенной постановке, используя для общих рассуждений отображение внешности решетки на единичный круг Zg -< 1 с переходом бесконечностей в симметричные точки ZQ=ILq. [c.170]

Аналитическая функция w(f) задает конформное отображение внешности единичного круга плоскости f на внешность неизвестного контура L, физической плоскости z. [c.222]

Здесь ij o(x, у) означает гармоническую функцию (Аг )о = 0), удовлетворительную условию (6.4), а IF(Z, g) — аналитическую функцию комплексного переменного Z х iy, осуществляющую конформное отображение данной области на единичный круг так, что произвольная точка области щ переходит в центр круга, т. е. W(l, g) — 0. [c.157]

Рассмотрим сначала нахождение комплексных потенциалов для случая одного отверстия. Если граница области, занимаемой телом, представляет собой простой замкнутый контур, то, согласно [65], можно воспользоваться конформным отображением этой области на единичный круг или на бесконечную область, ограниченную единичной окружностью. Будем для определенности рассматривать случай, когда область S, занимаемая телом, бесконечна и осуществляется конформное отображение этой области на бесконечную область О, ограниченную единичной окружностью с центром в начале координат. Пусть аналитическая функция t ( ) ( G О, 2 = t ( ) G S) определяет конформное отображение области S на область О. Уравнение границы в преобразованной области имеет вид = 1, или = 1, или = 1/ . [c.76]

В случаях только одного корня на единичном круге, равного +1 или —1, или только двух комплексно сопряженных корней е и е это отображение (4.5) принимает соответственно вид [c.111]

Хочется обратить внимание на некоторые тонкости, связанные с построенным решением. Из конструкции видно, что функция I аналитична в /) и что на границе В ее модуль равен 1, Однако остается еще доказать, что эта функция взаимно однозначно отображает В на единичный круг. Это можно сделать прямой (но отнюдь не простой) проверкой. Если же у нас есть уверенность, что наша задача разрешима (т. е. мы умеем доказывать теорему существования конформного отображения В на круг), то такая проверка излишня—проведенные выше рассуждения показывают, что если искомое отображение есть, то оно непременно восстанавливается по формуле (11). [c.86]

Вариационные методы. Эти графоаналитические методы основаны на вариационных принципах теории конформных отображений. Начнем с приближенного решения задачи о конформном отображении ограниченных областей с дважды гладкой границей на единичный круг. [c.118]

Пусть сначала область О близка к кругу в том смысле, что в полярном уравнении г= —б(ф) ее границы Г функция б вместе с двумя производными не превосходит малое число е. Как показано в предыдущем параграфе, приближенное с точностью до выражение для конформного отображения этой области на единичный круг с нормировкой /(0) =0, / (0) > О имеет вид [c.118]

В том же 12 мы показали, что этим способом можно получить приближенные формулы для конформного отображения областей, близких к данной если область В близка к О в смысле близости второго порядка и / — конформное отображение О на единичный круг с нормировкой /(2о) = О, / (го)>0, то область 0) близка к кругу, ее отображение /1 на круг можно найти по формуле (2), а тогда сложная функция / = /1°/ будет отображать О на круг. [c.119]

Наиболее эффективные способы решения граничных задач плоской теории упругости, использующие аппарат теории функций комплексного переменного, основываются на возможности построения в простой аналитической форме (в виде полинома или рациональной функции) функции, реализующей точно или приближенно конформное отображение данной области на единичный круг. По этой причине методы теории функций оказываются все еще мало приспособленными к эффективному решению задач для многосвязных областей. [c.575]

Будем рассматривать задачу о напряжениях в бесконечной плоскости, ослабленной отверстием в форме прямолинейного многоугольника. Отобразим данную область посредством интеграла Кристофеля — Шварца на единичный круг вспомогательной плоскости и представим отображение в виде разложения в ряд по степеням С- Удержав в этом ряду конечное число первых его членов, мы получим приближенное отображение, переводящее окружность в близкую к исходному контуру кривую, при помощи рациональной функции вида [c.585]

Применяя конформное отображение областей S ti S" на заданную область S, скажем на единичный круг (в случае, когда область S односвязна), получаем граничную задачу вида [c.605]

Функцию Грина можно построить путем отображения полосы на единичный круг, как было показано в книге автора по упругим пластинкам (см. стр. 313). [c.318]

Отображение конформное на единичный круг 370 [c.861]

Все последующие решения задачи обтекания решетки пластин, основанные на конформных отображениях, элементарно следуют из решения С. А. Чаплыгина. Так, например, наиболее распространенное отображение внутренности единичного круга яз плоскости параметрического переменного [c.109]

Правая часть соответствует функции, заданной для первоначального граничного контура Д + //2 и после конформного отображения становится функцией, определяемой на единичном круге. [c.224]

Эту задачу мы обсудим в следующей главе, а здесь лишь укажем ее связь с задачей Дирихле. Прежде всего, если для некоторой области О мы умеем решать задачу Римана и, следовательно, знаем ее конформное отображение / на единичный круг А = ге- < 1 , то мы можем решать для этой области и задачу Дирихле. В самом деле, если граница области О является простой непрерывной кривой (что мы и предположим), то, как доказывается в теории конформных отображений, / продолжается до нет рерывного и взаимно однозначного отображения О на А. Поэтому на единичной окружности (о =1 мы можем рассматривать обратную к / функцию и с ее помощью перенести на эту окружность заданные граничные значения /(со) = и[/- (со)]. Теперь по этим значениям мы можем при помощи интеграла Пуассона построить гармоническую в круге [ш < 1 функцию [c.84]

Как видим, если у гармонической функции й (5, т]), определяющей распределение температуры на единичном круге К, осуществить замену переменных (5.27), вытекающую из комформного отображения (5.28), получим гармоническую на области D функцию и х, у), т. е. функцию, определяющую стационарное распределение температуры на области D. Возникает вопрос, какому краевому условию должна соответствовать на круге К функция й ( , т]), чтобы функция и х, у) соответствовала одному из условий (5.24), [c.188]

ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ. Для важного с точки зрения приложений класса полигональных областей, граница к( торых состоит из отрезков прямых, Г. Шварцу и Э. Кристоффелю удалось получить точную формулу, реализующую отображение внутренности многоугольника на единичный круг или верхнюю полуплоскость. [c.305]

Наконец, отображение внутренйости единичного круга на внутренность многоугольника также осуществляется формулой (IX.75). Здесь а ([Oft 1 = 1)—точки единичной окружности, соответствующие вершинам Ак. [c.306]

Тип простой неподвижной точки определяется числами р и q корней характеристического уравнения (3.4), лежащих внутри и вне единичного круга при этом предполагается, что корней, лежащих на единичном круге, нет. Для неподвижной точки 0 типа / , q инвариантные многообразия S+ и S имеют соответственно размерности р и g и состоят из точек, стремящихся к точке при неограниченном повторении отображений (3.2) и соответственно обратного отображения. Неподвижная точка 0 является точкой пересечения многообразии 5 и S" и в данном случае совпадает с инвариантным многообразием 7. При наличии корней характеристического уравнения, лежапщх на единичной окружности, инвариантное многообразие J имеет размерность, равную числу корней на едичной окружности. [c.109]

Во многих случаях оказывается полезным обратный ход—построение конформного отображения области О на единичный круг при помощи решения в В задачи Дирихле. Зададимся точкой Хо О, которую искомое отображение / переводит в центр круга ш = О (рис. 19). [c.85]

Предположим, что нам известна функция, реализующая конформное отображение занятой упругой средой односвязной области или области, дополняющей эту последнюю до полной плоскости комплексного переменного, на единичный круг. Если с помощью этой функции произвести замену переменной в упомянутом интегральном уравнении плоской задачи, то оно преобразуется в уравнение на окружности единичного радиуса, причем ядро вновь полученного уравнения будет выражено в явном виде через граничные значения отображающей функции. При элементарных полиномиальных отображениях вида (1) 153 ядро это будет сохранять простую структуру, и к решению интегрального уравнения можно применить обычный метод рядов Фурье. Этот прием решения, впервые примененный Д. И. Шерманом к задаче о сплошном эллипсе, использовался впоследствии в ряде конкретных случаев. Мы ограничимся ссылкой на работы Л. Д. Корбуковой [1, 2] и Н. Д. Тарабасова [4]. [c.599]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...