Фазовая прямая

Рассматриваемый случай может возникнуть, например, при исследовании движения тела в вязкой среде, когда масса тела пренебрежимо мала. При однозначной функции / х) такая динамическая модель оказывается вполне корректной, однако в случае неоднозначности /(х) хотя бы на некотором интервале изменения х можно прийти к противоречивой модели. В последнем случае возникающее противоречие устраняется или при помощи дополнительного постулата о мгновенном перескоке изображающей точки в некоторое положение на фазовой прямой, которое определяется или из энергетических соображений, или при помощи рассмотрения предельных движений системы второго порядка при стремлении малого параметра ц к нулю. [c.24]

Интегрируя уравнение (5.18), получим закон движения изображающей точки по фазовой прямой р [c.125]

Фазовая плоскость для уравнения (6.1) вырождается в фазовую прямую. Рассмотрим представление движения на этой фазовой прямой. Согласно теореме о единственности решения уравнения (6.1), начальное условие при i = to X = х однозначно определяет дальнейшее движение изображающей точки. Характер движения изображающей точки не будет зависеть от момента времени to, так как уравнение (6.1) явно от времени не зависит. Это значит, что каждая отдельная фазовая траектория на фазовой прямой соответствует не одному движению, а бесконечному множеству движений, соответствующим различным t . [c.215]

Траекториями изображающей точки на фазовой прямой (оси х) могут быть точки (состояния равновесия), отрезки прямой (между состояниями равновесия), полупрямая (от состояния равновесия до бесконечности) и, наконец, вся прямая, когда / (. ) - О не имеет действительных корней. Отметим, что изображающая точка не может достигнуть состояния равновесия за конечный промежуток времени. [c.215]

На фазовой плоскости это уравнение прямой (6.12). В силу уравнения (6.10) d >/d(p -у оо при / -> О, т. е. все фазовые траектории, за исключением (6.12), вырождаются в вертикальные прямые. Фазовая прямая ф = й остается фазовой прямой. Вид фазовой плоскости при / = О представлен на рис. 6.8. Для начальных условий —УИц/с < ф < Л/q/ , ф = Q изображающая точка, перемещаясь по фазовой прямой ф = Q (колодка захвачена валом), попадет в точку Ф = Мд/с, ф = Q. Из этой точки изображающая точка [c.223]

Качественная картина уравнения такого типа полностью определяется характером и расположением состояний равновесия, которые располагаются на фазовой прямой. Координаты этих состояний равновесия являются корнями уравнения [c.537]

КИЮ системы по инерции соответствует перемещение изображающей точки по фазовой прямой = О с постоянной скоростью Г] = —1. Это означает, что траектория точки В соприкосновения колеса с плоскостью всегда будет прямой, по которой колесо ка- [c.233]

Общая теория, которую мы будем излагать, имеет конечной целью установление зависимости координаты системы от времени, т. е. вида функции лг(0, установление же картины в одномерном фазовом пространстве , т. е. на фазовой прямой, играет лишь вспомогательную, хотя и весьма существенную роль. [c.241]

Представление движения на фазовой прямой [c.244]

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ФАЗОВОЙ ПРЯМОЙ 245 [c.245]

НИЯ изображающая точка не выйдет из области аналитичности, и в пределах ОТ = Т4 до t = z ( 1 0 а). если изображающая точка к моментам 1, Тд подходит к границе области аналитичности. При этом движении изображающая точка опишет или точку (в частном случае покоя), или отрезок прямой, или полупрямую, или, наконец, всю прямую, которые таким образом являются возможными траекториями движений на фазовой прямой. Характер движения изображающей точки по фазовой прямой не зависит от того, в какой момент это движение началось, так как уравнения движения не зависят явно от времени. С этим связано то обстоятельство, что каждая отдельная траектория на фазовой прямой соответствует не одному движению, а бесконечному множеству движений, начинающихся в различные времена. [c.245]

Каждым двум точкам Л и 5, расположенным на одной и той же траектории, соответствует определенный (конечный) промежуток времени, в течение которого изображающая точка проходит расстояние от Л до В. Заметим, что изображающая точка, двигающаяся по траектории, не может достигнуть точки равновесия (точки равновесия, как мы знаем, определяются уравнением/(лг) = 0) в конечный промежуток времени. Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы Коши. Действительно, если бы изображающая точка, двигающаяся по закону дг = 9(<), достигла при каком-то конечном t = to состояния равновесия лг = лго, то мы имели бы два различных решения дифференциального уравнения (первое х = ср( ) и второе лг = Хо), принимающих одно и то же значение при t = что противоречит теореме Коши. Траектория изображающей точки, которая в этом случае асимптотически стремится к состоянию равновесия, не достигая его в конечное время, будет представлять собой или отрезок или полупрямую, концом которой является точка х = х (рис. 160). Существенным здесь является то обстоятельство, что сама точка х = Хо не принадлежит к рассматриваемой траектории, а является самостоятельной траекторией. Это ясно в силу того, что какой бы конечный момент времени мы ни взяли, изображающая точка будет находиться на конечном расстоянии от точки х = х , хотя, может быть, это расстояние и будет очень мало. Сформулируем теперь для фазовой прямой теорему о непрерывной зависимости решения от начальных условий ). [c.245]

Перейдем теперь к исследованию траекторий на фазовой прямой в зависимости от вида функции /(х). [c.246]

Предположим, что /(х) — функция, аналитическая на всей прямой х. Если уравнение /(х) = 0 не имеет действительных корней, то все движения имеют одну и ту же траекторию, совпадающую со всей фазовой прямой. Если же /(х) имеет действительные корни х = х1, х = Ха, х = хз,. .., х=х, то могут быть траектории различных типов [c.246]

Стрелками на фазовой прямой указывается направление движения изображающей точки. [c.247]

Чтобы найти корни этого уравнения, построим, как это обычно делают в электротехнике, на одной плоскости характеристику дуги м = ф (г) и так называемую нагрузочную прямую гг — — Rr, их точки пересечения дадут нам значения тока / в состояниях равновесия (рис. 169). Там же отложена и кривая и = Е — Ri — ф(г), которая в некотором масштабе изображает функцию /(/), а зная /(г), можно сразу построить траектории на фазовой прямой (рис. 170) ). В рассматриваемом случае существуют три состояния равновесия / = /,, 1 — 1 , г = /з, из которых, как это вытекает из приведенных выше признаков устойчивости, первое и последнее устойчивы, а среднее неустойчиво. [c.253]

Разбиение фазовой прямой на фазовые траектории для этого случая не-возбуждающегося мультивибратора дано на рис. 209, а. [c.281]

При рассмотрении в 8 гл. IV мультивибратора с одним R -зве-ном (рис. 507) мы пренебрегали всеми паразитными параметрами (в том числе паразитными емкостями). Полученная в результате этого динамическая модель первого порядка (ее фазовая прямая приведена на рис. 508) оказалась дефектной , вырожденной в том смысле, что она не дала возможности проследить за поведением системы во все моменты времени после задания ее начального [c.731]

Ввиду математических трудностей, связанных с вычислениями периода автоколебаний в случае движения изображающей точки по произвольной фазовой линии Ф, мы ограничимся получением выражения для периода при = л (1-]-/)), когда фазовой линией является прямая x -y = iz. Уравнения медленного движения изображающей точки по этой фазовой прямой (уравнения (10.36 ) при х -j-j = те), очевидно, запишутся в виде [c.800]

В вырожденном случае, когда имеется только одна фазовая координата (например, в случае упомянутого уравновешенного ротора), вместо фазовой плоскости мы имеем фазовую прямую. При необходимости учета третьей координаты, например ускорения (как в центробежном регуляторе), получаем трехмерное фазовое пространство и т. д. В дальнейшем таких случаев мы касаться не будем. [c.35]

Так как число молей компонента прямо пропорционально числу частиц, то критерий фазового равновесия требует, чтобы химический потенциал каждого компонента был одинаковым во всех фазах. [c.238]

Диаграмма фазового равновесия при независимых переменных — температура и давление приведены на рис. 176,6. При высоких давлениях возможно образование железа с гексагональной плотноупакованной решеткой (так называемое е-же-лезо). Тройная точка равновесия лежит при /=527°С и Р= = 130 кбар. Выше 527 С при увеличении давления возможен а- у- е-переход, а ниже прямой — ос->е-переход. [c.234]

В простых сплавах А1 — Си с 3—5% Си (или в таких же сплавах, но с небольшим количеством магния — дюралюминии) процесс зонного старения протекает при комнатных температурах и приводит к максимальному упрочнению (рис. 415) при температурах 100—150°С зонное старение переходит в фазовое, а оно не приводит к получению максимальной прочности. При еще более высоких температурах (200°С) происходит перерождение 0 -фазы в 0-фазу (или прямое образование 0-фазы из твердого раствора), что дает еще меньшее упрочнение (см. рис. 415). [c.574]

Нулевой корень уравнения f (х) = О соответствует одномерному многообразию состояний равновесия исходной системы, потому что уравнению (2.4) удовлетворяет множество значений q = onst. Устойчивость этого многообразия определяется устойчивостью точки х = О на фазовой прямой х. [c.24]

Для наглядности изображения движения вместо фазовой прямой введем фазовую кривую, в качестве которой возьмем характеристику трения, что можно сделать, так как в силу уравнения (6.2) координата (р пропорциональна моменту трения (это конечно верно только там, где уравнение (6.2) отображает движение колодки). На рис. 6.4 по оси абсцисс откладываем относительную скорость со = — ф. Если (о = О, то колодка движется вместе с валом со = Q соответствует отсутствию абсолютного движения колодки, состояние равновесия. При рассмотрении принятой характеристики трения нужно всегда иметь в виду, что пока со = О, момент силы трения может принимать любое значение от нуля до Мо — момента силы трения по-коя, т. е. характеристика трения имеет вертикальную ветвь, совпадающую с осью ординат на участке от М =—УИцДоуИ = М . [c.217]

Изображающая точка будет перемещаться, например, от точки Ло по фазовой прямой ф = Q до точки Ai с координатами ф = уИд/с, Ф = Q, что соответствует движению КОЛОДКИ вместе с валом. Далее движение начинается по фазовой траектории семейства (6.7), которая, пересекая ось ф = О под прямым углом, достигает точки А. на прямой ф = —со .От точки/I2 движение происходит пофазовой траектории семейства (6.11), которая при пересечении [c.222]

Тогда такой сис геме ставится в соответствие я-мерное Ф. п., по осям координат к-рого откладываются значения переменных д 1, л 2,. .., х , называемых фазовыми переменными. Определение нормы в этом пространстве вводится, исходя из смысла переменных x = (xi, X2s , х ). Если Ф. п. 2-мерно (I-мерно), то о нём говорят как о фазовой плоскости (фазовой прямой). Напр., динамиЧ. система, описываемая ур-нием [c.267]

Теперь возьмем вариант //j =0, /I, =0, когда нелинейность задачи обусловлена немонотонным источнико-vi энергии (Г) вида (3.54). Уравнение энергии (3,58), (3.60) в этом случае периодических решений не имеет. Уравнению движения (3.57), (3.59) удовлетворяет частное решение 4, =0, Алгебраическое уравнение 0(0 j , /i,) = О, содержащее параметр источника энергии, характеризует качественную картину разбиения фазовой прямой в на траектории величины 5,, считаются фиксированными. Данная тепловая система обладает одним либо двумя состояниями покоя, рис, 3.11. [c.110]

Закон движения изображающей точки по фазовой прямой аможно найти, интегрируя уравнение (21.56) [c.538]

Рассмотрим теперь представление исследуемых движений в одномерном пространстве, в частности на фазовой прямой. Метод отображения движения при этом ИзобраЛ. точиа Р ПрИМеНяетСЯ ТОТ же са- [c.244]

Там нет состояний равновесия и все фазовые траектории (или, точнее, их продолжения за границей листа (//)) асимптотически приближаются к фазовой прямой = —1, ==— onst. Изображающая точка, [c.606]

Разбиение фазовой плоскости i, и на траектории для предельного случая С—.+0 дано на рис. 519, а все траектории быстрых движений ( скачков напряжения и при г = onst) идут на фазовую прямую и = —Ri системы без емкости. [c.753]

Закон движенмя изображающей точкн по фазовой прямой можио айти, интегрируя уравнение (21.56) [c.714]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...