Устойчивые и неустойчивые периодические решения

Считая, что чисто периодические решения уравнения возможны при определенных сочетаниях параметров а м q, разделяют все решения уравнения (2.224) на устойчивые и неустойчивые найдем эти периодические решения. [c.221]

Границы областей динамической неустойчивости. Границам областей устойчивости и неустойчивости соответствуют кратные корни Х1 = Ха = 1 или Х = Хг = — 1. В обоих случаях этим корням отвечают периодические решения соответственно с периодами Т и 2Т. Два решения одинакового периода ограничивают область неустойчивости, а два решения разного периода — область устойчивости. [c.462]

Наибольшее затруднение в использовании (18.173) для отыскания границ между устойчивыми и неустойчивыми состояниями системы состоит в большой сложности построения частных решений fl и Ь хотя бы в пределах первого периода. Областей динамической неустойчивости бесконечное множество. Общий характер расположения этих решений можно исследовать, предполагая, что периодическая составляющая внешней продольной силы очень мала. На рис. 18.113 этому соответствует область, примыкающая к оси абсцисс. Обнаруживается, что при р О решения с периодом 2Т лежат попарно вблизи частот 0 = 2П/А (к = 1, 3, 5,. ..), а решения с периодом Т — вблизи частот О. = 20/ к = 2, 4, 6,. ..). Оба случая объединяются формулой [c.462]

Справедливость этой теоремы может быть установлена путем ссылки па известную работу Ф. Трикоми [88], если содержащийся в ней критерий существования периодического решения применить к каждой из полос устойчивости и неустойчивости (7.7) . [c.264]

Стрелки, расходящиеся от кривой на рис. 3.27, условно показывают неустойчивость периодического решения. Устойчивость нелинейного привода в области, где нет периодического решения, можно установить на основании перенесения результатов исследования устойчивости из области периодического решения, что также условно показано стрелкой. Таким образом, можно различить три области динамического состояния привода с нелинейностью сухого трения в рабочем органе область устойчивости равновесия, которая располагается слева от вертикальной линии, проходящей через предельное подведенное давление Рпл привода в виде линейной модели область устойчивости в малом , которая располагается ниже кривой амплитуд периодического решения, и область неустойчивости в большом , которая располагается выше кривой амплитуд периодического решения. [c.146]

При совместном учете сухого трения в рабочем органе привода и нелинейности вида насыщения по перепаду давления или расходу во внешней цепи управляющего золотника, выявленные выше эффекты от влияния каждой из нелинейностей в отдельности на области динамического состояния привода складываются. Если учет сухого трения дает ветвь А рп), соответствующую неустойчивому периодическому решению (пунктирная кривая на рис. 3.29), а учет нелинейности перепада давления или расхода дает ветвь, соответствующую устойчивым периодическим реше-150 [c.150]

Среди возможных решений (3.66) есть устойчивые и неустойчивые, определение которых требует дополнительного исследования. Если правая часть уравнения (3.62) есть чисто периодическая функция (что имеет место при кратных ), то возможные решения [c.96]

Устойчивые и неустойчивые асимптотические поверхности периодических решений (3.4) можно представить как пересечение многообразия гиперплоскостями [c.269]

Рассмотрим двумерное сечение трехмерной поверхности интеграла энергии, на которой расположены решения системы (3.11), гиперплоскостью Х2 = 0. Периодические траектории (3.12) пересекают это сечение в точках, которые являются неподвижными при отображении Пуанкаре. Так как они имеют гиперболический тип, то можно ставить вопрос о взаимном расположении их устойчивых и неустойчивых сепаратрис. Эта задача исследована численно в работе [138]. Результат представлен на рис. 24. [c.275]

Между неспециализированной динамической проблемой и в высшей степени исключительным случаем интегрируемой проблемы существует большое количество различных промежуточных случаев. Для того, чтобы обладать аналитическим орудием, применимым ко всем без исключения случаям, без сомнения, необходимо было бы рассмотреть вопрос об устойчивости и неустойчивости аналитических семейств периодических движений, подобно вышерассмотренному периодическому движению. Хотя индивидуальные периодические движения, принадлежащие к такому семейству, должны считаться неустойчивыми, но это обстоятельство само по себе ничего не дает для решения вопроса о том, как будут себя вести близкие движения по отношению ко всему семейству движений, рассматриваемому в целом. [c.218]

Устойчивые и неустойчивые одномерные, а также асимптотические инвариантные поверхности приведенной системы задают в абсолютном пространстве, вообще говоря, двухчастотные движения. Это наглядно иллюстрируется на случаях Ковалевской и Горячева-Чаплыгина. В последнем случае, для особого решения Горячева, для малых энергий происходит еще большее вырождение и движение в абсолютном пространстве становится периодическим (см. 5), тело совершает в пространстве любопытные маятниковые движения. Отметим также, что для волчка Ковалевской в приведенном фазовом пространстве имеется набор из трех переменных 21,22,23, в пространстве которых совершается периодическое движение по некоторому эллипсу (см. 4). Эти переменные очень неочевидны и образуются как из компонент момента М, так и орта 7. [c.94]

Покажем, что автоколебания, полученные для случаев как трех, так и четырех фаз, устойчивы. Для каждой системы ф, и Го, у которой имеется единственное периодическое решение, для доказательства устойчивости автоколебаний достаточно показать, что положение равновесия неустойчиво, т. е. что малые амплитуды" возрастают до амплитуд, соответствующих полученным автоколебаниям, и что большие амплитуды", наоборот, убывают до указанных амплитуд (способ и примеры разыскания числа периодических решений даются в п. 3, 3, а также на фиг. 4 и 5). [c.99]

Таким образом, периодическое решение, определяемое выражениями (3.48) и (3.49), будет неустойчивым и имеет место граница устойчивости в малом . [c.146]

Исследование устойчивости найденных периодических решений по критерию (3.52) показывает, что он не выполняется при обоих возможных значениях амплитуд колебаний привода согласно выражению (3.160). Таким образом, на плоскости А — Рп кривая / (рис. 3.46) амплитуды периодических перемещений привода, вычисляемой по формуле (3.158), выделяет те же три области возможного динамического состояния привода, которые были выявлены ранее для случая воздействия в виде единичного импульса (см. рис. 3.27) область / устойчивости равновесия, область // устойчивости в малом и область 111 неустойчивости в большом . [c.197]

Одна из важных особенностей исследования характера решений системы в вариациях (52) связана с наличием в ней малого пара.метра. Если система, получающаяся из (52) при ц = О, т. е. система (46), имеет только затухающие при t оо решения, то изучаемое движение асимптотически устойчиво и при достаточно малых ц. Если система (46) имеет хотя бы одно неограниченно возрастающее при /-> оо решение, то рассматриваемое движение при достаточно малых (х неустойчиво. Когда система (46) имеет периодические решения, для ответа на вопрос об устойчивости движения (даже при достаточно малых i) необходимо рассмотреть члены уравнений (52), содержащие J.. [c.54]

Математическое условие устойчивости периодического решения предполагает положительность всех определителей Гурвица, кроме предпоследнего, который должен быть положительным при величине амплитуды большей расчетной и отрицательным — при амплитуде меньшей расчетной. Невыполнение этого условия свидетельствует о неустойчивости найденного периодического решения. Положительность всех определителей Гурвица, кроме предпоследнего, для дифференциальных уравнений третьего порядка, описывающих рассматриваемый привод, означает положительность 126 [c.126]

Если 1Л1<1, то корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными и периодическое решение в первом приближении устойчиво. Уравнение И1 = 1 дает границу области устойчивости периодического решения. Если 1Л1>1, периодическое решение неустойчиво. [c.99]

Формулы (36.11) и (36.15) дают связь между параметрами, при выполнении которой существует полуцелое периодическое решение. Иными словами, эти формулы определяют границу устойчивости равновесия. Критические числа Рэлея, согласно этим формулам, зависят от Р, fe и а. Следует, однако, подчеркнуть, что параметр а, в отличие от волнового числа к, не является свободным он, в сущности, сам должен быть определен всеми остальными параметрами задачи. Для определения а можно было бы составить еще одно интегральное соотношение, например, уравнение моментов. Такой путь приводит к весьма громоздким соотношениям. Поэтому ограничимся нахождением нижней границы области неустойчивости. С этой целью будем рассматривать параметр а как свободный и найдем минимум R (Л, а) по fe и а при фиксированном Р. Минимальное критическое число Rm определяет нижнюю границу амплитуды 0, которая необходима для параметрического возбуждения неустойчивости при данной частоте. Значения же кт и а , соответствующие минимуму, вряд ли можно рассматривать как истинные значения критического волнового числа и параметра проникновения. [c.258]

Устойчивые и неустойчивые периодические решения для IV класса Аппельрота в случае Ковалевской (а также в более общем случае, когда тензор инерции имеет вид I = diag(l, а, 2), а = onst, а само решение при этом не зависит от а) были найдены Д. К. Бобылевым [15] и В. А. Стекловым [161] (см. также 6). [c.121]

Устойчивые и неустойчивые периодические решения уравнений Эйлера-Пуассона для случая Горячева-Чаплыгина располагаются на бифуркационной диаграмме на ветвях III и II соответственно (см. рис. 46, 53-56). Численные исследования показывают, что движения полной системы в абсолютном пространстве, соответствующие этим решениями, также периодические при любых значениях энергии (см. рис. 55, 56). Этот факт ранее, по-видимому, не отмечался в литературе и отражает специфику динамики твердого тела на нулевой постоянной площадей (М, 7) = О (ср. с решениями Делоне для случая Ковалевской, 4 п. 3). Вместо формального доказательства мы приводим серию рисунков, наглядно подтверждающих это утверждение. На них представлены траектории системы как на сфере Пуассона, так и траекторий апексов в абсолютном пространстве, большинство из них достаточно сложны. [c.141]

Из приближенных решений (7.232), (7.233) следует, что при дробном значении V решения ограничены во времени (но не периодические), т. е. могут рассматриваться как устойчивые, а собственные значения в зависимости от д дают кривые, целиком находящиеся в незаштрихованных областях на рис. 7.25. Функции с дробным значением V позволили установить, какие области на плоскости (а, д) являются неустойчивыми, а какие — устойчивыми. Неустойчивые области на рис. 7.25 заштрихованы. Показанные на рис. 7.25 устойчивые и неустойчивые области называются диаграммой Айнса — Стретта. [c.223]

Выше было установлено, что в типовых гидравлических следящих приводах с нелинейностями вида T v ) и p h, q) граничное подведенное давление рпг является границей между областью устойчивости равновесия, для (которой уравнение движения привода не дает периодических решений, и областями автоколебаний и устойчивости в малом , для которых это уравнение дает два периодических решения — устойчивое и неустойчивое, причем при граничном подведенном давлении рт оба периодических решения совладают по величине. Таким образом, граничное подведенное давление рпг может быть найдено в результате определения граничных условий совпадения амплитуды Ау устойчивых и Ан неустойчивых периодических решений уравнения движения гидра1влического следящего привода. Отыскание граничного подведенного давления Рт может быть осуществлено графическим способом по методике, изложенной в работе [71]. Такой способ нахождения решения, однако, громоздок и неудобен. Попробуем найти математическое выражение для граничного подведенного давления Рт привода, построенного по схеме на рис. 3.1 и имеющего управляющий золотник с открытыми щелями в среднем положении, из системы уравнений (3.40), первое из которых является квадратным, а второе — кубическим уравнением относительно амплитуды А периодических перемещений привода. Непосредственное аналитическое определение граничного подведенного давления рт из уравнений (3.40) произвести невозможно в связи с тем, что при отыскании его мы имеем дело с тремя переменными А, Q, рп, а уравнений в системе (3.40) только два. 152 [c.152]

Ляпунов дал строгое решение вопроса о том, когда при исследовании задачи об устойчивости движения можно ограничиваться рассмотрением первого приближения. Он установил особые слу 1аи, при которых использование первого приближения не решает задачу об устойчивости. Большой заслугой его явилось подробное исследование уравнений, в которых коэффициентами являются периодические функции с одним и тем же периодом. Оп указал признаки устойчивости и неустойчивости для периодических двингений. Отметим еще, что он впервые доказал теорему, согласно которой положение равновесия при некоторых дополнительных условиях неустойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия не мини- [c.248]

В работах [179, 183, 184] получены формулы для коэффициентов нормальных форм неавтономных гамильтоновых систем и выведены соответствующие условия устойчивости и неустойчивости положения равновесия, выраженные через эти коэффициенты. В этих работах показано, что решение проблемы нормализации в окрестности положения равновесия одновременно позволяет решить проблему существования, построения и исследования устойчивости малых периодических и условно-периодических движений в окрестности этого положения равновесия. В заключение отметим, что многочисленные приложения этих результатов к задачам небесной механики и космодинамики можно найти в моно- [c.239]

Модуляция равновесного градиента температуры или ускорения силы тяжести не исчерпывает всех возможностей параметрического воздействия на конвективную устойчивость. Однако эти два способа наиболее естественны с точки зрения реализации в экспери]У1енте. Основное их различие состоит в том, что при вертикальных колебаниях полости с жидкостью модулируемый параметр — ускорение поля тяжести — остается однородным по объему. При колебаниях же температуры на границах равновесный градиент температуры зависит не только от времени, но и от координат модуляции градиента в основном сосредоточены, в приграничном слое, толщина которого уменьшается с увеличением частоты (температурный скин-эф-фект). При низких частотах модуляции градиента это отличие пропадает, и в этом случае оба способа параметрического воз" действия оказываются, в сущности, эквивалентными. Определение границ устойчивости при этом сводится к нахождению периодических решений некоторой стандартной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, с периодическими коэффициентами ( 33). Для прямоугольного закона модуляции решение этих уравнений может быть получено точно для синусоидального закона области устойчивости и неустойчивости определяются численно ( 34). В предельном случае вертикальных вибраций высокой частоты простые результаты получаются с помощью метода усреднения ( 35). В 36 рассмотрена [c.237]

В качестве иллюстрации гомоклинических структур рассмотрим пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий периодической траектории в трехмерном фазовом пространстве. При этом удобно использовать так называемое отображение последования Пуанкаре, которое в общем виде, в Л -мерном фазовом пространстве, заключается в регистрации последовательных точек Уо, VI, Уг,. .. пересечения траектории (в одном и том же направлении) с некоторой секущей (М—1)-мерной поверхностью 2 в фазовом пространстве, чем определяется отображение = П(Ул, Ке) поверхности в себя. Поскольку решение и(ыо, О уравнения (2.79) существует при всех /, это отображение обратимо. [c.126]

Из табл. 10, 11 и 14 видно, что для полного решения задачи (т. е. и при резонансных значениях параметров) об устойчивости периодических движений I и III типов достаточно учесть конечное число членов разложения гамильтониана (члены Я в задаче 1а), члены Я в задаче 16) ичленнЯ в задаче 3)). Как видно из табл. 12, 13, в задачах 2а), 26) число резонансов счетно (точкой накопления резонансов на оси 0 л является точка ц = 0). Это означает, что никакого конечного числа членов разложения функции Гамильтона недостаточно для окончательного решения задачи об устойчивости периодических движений II типа. Однако даже на основании анализа конечного числа членов разложения гамильтониана можно сделать достаточно полные выводы об устойчивости и неустойчивости в резонансных случаях (см. И). Мы ограничимся рассмотрением в функции Гамильтона (4.2) членов до Я включительно. [c.221]

Чтобы найти границы, разделяющие области существования устойчивых и неустойчивых решений, необходимо отыскать чисто периодические решения. В самом общем случае эта задача в математическом отношении достаточно сложна, однако некоторые особенно интересные периодические решения могут быть найдены из физиче- [c.173]

Согласно теории Флоке линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, плоскость параметров б—е разбивается переходными кривыми на области устойчивости и неустойчивости, причем на самих кривых решенке и периодично с периодом я или 2л. В п. 3.1.2 были определены приближения к переходным кривым с помощью метода Линдштедта — Пуанкаре. В данном пункте будут найдены не только переходные кривые, но также и решения и, следовательно, степень устойчивости или неустойчивости, как это было сделано в п. 3.1.3 с помощью метода Уиттекера. Чтобы выполнить это, положим при положительном соо [c.272]

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ, Стационарные состояния дви жения нелинейных систем осуществляются обычно в виде или со стояний устойчивых периодических колебательных движений, ил1 устойчивых равновесных состояний, которые можно считать такз периодическими движениями с периодом, равным оо. Но наряду ( устойчивыми периодическими движениями в нелинейных систе мах возможны и неустойчивые периодические движения. Толью устойчивые состояния осуществляются в действительности, и толь ко такие состояния могут иметь практический интерес. Понятн поэтому, какое большое значение имеет установление признано устойчивости периодических движений нелинейных систем. Ив да самое нахождение периодических движений является решение некоторой задачи на устойчивость, как это имеет место, например в нелинейных системах Ляпунова Именно по этим соображе ниям учению о нелинейных колебаниях предпосылается кратко введение в теорию устойчивости движения. [c.380]

Подчеркнем теперь, что рассмотренный путь возникновения турбулентности базируется, по существу, на линейных представлениях. Действительно, фактически предполагалось, что при появлении в результате развития вторичных неустойчивостей новых периодических решений уже имевнжеся периодические решения не только не исчезают, но и почти не меняются. В данной модели турбулентное движение есть просто суперпозиция большого числа таких неизменяюшихся решений. В общем же случае, однако, характер решений при увеличении числа Рейнольдса И потери ими устойчивости изменяется. Возмущения взаимодействуют друг с другом, причем это может привести как к упрощению движения, так и к его усложнению. Проиллюстрируем первую возможность. [c.159]

Область вещественных собственных чисел совпадает с областью не ограниченно возрастающих решений уравнения Хилла (область неустойчи вости решения, а следовательно, и неустойчивости механической системы) а область комплексных собственных чисел — с областью ограниченных (поч ти-периодических) решений (область устойчивости решения, а следовательно, и устойчивости механической системы). На границах областей, ограниченно и неограниченно возрастающих решений [c.462]

Таким образом, зоны (или области), ограниченные двумя соседними кривыми, свойственными двум периодическим или двум полу периодическим решениям уравнения Матье, являются зонами неустойчивых решений, или зонами неустойчивости. Зоны, ограниченные двумя соседними кривыми, которые соответствуют одному периодическому и одному полупериодическому решению, являются зонами устойчивых решений, или зонами устойчивости. На рис. 2.1 зоны неустойчивости заштрихованы. [c.65]

Опыты с шарнирным четырехзвенником. Количество экспериментальных исследований, прямо или косвенно связанных с рассматриваемыми вопросами, невелико. В работе [108] приведены результаты опытов с маятником, движуш,имся в поле центробежных сил. Эти опыты позволили экспериментально получить движение, соответствующее периодическим решениям уравнения Матье и проверить суш ествование областей неустойчивости. В работе [116] приведены результаты экспериментов, связанных с исследованием возникновения параметрического резонанса эти эксперименты также производились с маятниками. Наконец, в [34] экспериментально показано, что в условиях вибрации точки подвеса неустойчивое положение равновесия маятника оказывается устойчивым. [c.182]

Выясним, каким периодическим перемещениям — устойчивым или неустойчивым — соответствует полученное решение. Физические сообра>г<ения (сравнение с соответствующими приводами з линейном виде без демпфера или с линейным демпфированием) говорят о том, что в рассматриваемом нелинейном приводе выше кривой ЕО будет область неустойчивости в большом , а ниже кривой ЕО — область устойчивости в малом . Последняя сохраняется при входных воздействиях со скоростями, меньшими обозначенных этой кривой. Следовательно, периодическое решение, соответствующее кривой ЕО, является неустойчивым, аналогичным решению, получаемому при учете в рабочем органе привода усилия Т сухого трения (см. рис. 3.27). Можно сделать приближенную проверку этих выводов. Применение критерия устойчивости Гурвица к уравнению (3.197) движения привода привело к условию соблюдения неравенства (3.198). Так как все параметры и коэффициенты, входящие в левую часть этого неравенства, положительны, причем кoэффищ eнт гармонической линеаризации q нелинейной характеристики демпфера стоит в числителе, то неравенство будет выполняться, очевидно, при подведенном давлении, определенном из выражения (3.200), [соответствующего условию существования периодического решения и полученного из равенства нулю левой части неравенства (3.198)] н значениях коэффициента q, больших, чем в формуле (3.200). Последнее может быть при отношении —, меньшем обозначенного ли-нией ЕО. Неравенство (3.198) нарушается при величине отноше-ния —, большей обозначенной линией ЕО. Следовательно, ни- [c.219]

Как следует из формулы (3.228), в диапазоне подведенного давления < Рп < р пп, возможно существование двух периодических решений в соответствии с участками кривых СД и ДЕ. Как показывает анализ, нижняя кривая соответствует неустойчивому, а верхняя — устойчивому решению. При дальнейшем росте амплитуды А периодического решения происходит также рост соответствующего ей подведенного давления, причем кривая ДЕ асимптотически стремится к пунктирной кривой. Таким образом, в результате применения управляющего золотника с переменным коэффициентом усиления в приводе образовалась область 111 устойчивости в малом , и произошло расширение области устойчивости равновесия / на дополнительную область II, что привело к повышению устойчивости привода. Определение граничного подведенного давления (границы области автоколебаний) рпг = Рпп , ниже которого при внешнем воздействии любой величины привод приходит к состоянию устойчивого равновесия, можно произвести по миниму- [c.229]

Программы третьего, верхнего иерархического уровня, по существу, являются управляющими для всего комплекса программ нормализации, и использопайие тех или иных из этих программ зависит от конкретной ренгаемой задачи. К числу предусмотренных в комплексе возможностей относятся а) решение задач устойчивости, для которых достаточно провести нормализацию до какого-то пе очень большого порядка т (как правило, m = 4, реже m = 6) б) построение высокоточных приближенных теорий движения, для которых учитываемый порядок членов может быть очень большим. В первом случае на входе достаточно задать коэффициенты исходного гамильтониана, а на выходе получить коэффициенты нормальной формы заданной степени т и заключение об устойчивости или неустойчивости рассматриваемого положения равновесия периодического или условно-периодического движения. [c.227]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...