Устойчивость по первому приближению

Для рассмотрения устойчивости по первому приближению в системе уравнений (8 ) в правой части выделяются линейные слагаемые. При этом ограничимся случаем, когда время не входит явно в правую часть уравнений [c.652]

Тогда для исследования устойчивости по первому приближению составляют систему, получаемую из (И ) отбрасыванием нелинейных слагаемых (уравнения в вариациях) [c.652]

Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [c.82]

Устойчивость по первому приближению [c.378]

УСТОЙЧИВОСТЬ по ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ [c.379]

Сравнивая приведенное здесь решение с решением этой задачи в 2.7, видим, что применение теорем Ляпунова об устойчивости по первому приближению может существенно упростить исследование. [c.113]

Как будет видно из дальнейшего, взгляды автора на линейную устойчивость или устойчивость по первому приближению не совпадают с общепринятыми. (Прим. ред.) [c.352]

Теорема об устойчивости по первому приближению. Один из основных результатов, полученных Ляпуновым при решении задачи об устойчивости по первому приближению, можно сформулировать в виде следующей теоремы. [c.529]

Критерий Рауса-Гурвица. Для практического использования теоремы об устойчивости по первому приближению важно определить знаки вещественных частей характеристического уравнения. В частности, желательно иметь критерий, позволяющий по коэффициен- [c.532]

При Л +00 имеем А(Л) +оо. Но А(0) = Ai Л2. .. и в силу нечетности степени неустойчивости А(0) < 0. Следовательно, характеристическое уравнение имеет хотя бы один положительный корень и, согласно теореме п. 237 об устойчивости по первому приближению, положение равновесия = q2 =. .. = = О неустойчиво независимо от нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения, т. е. если степень неустойчивости нечетна, то стабилизация гироскопическими силами невозможна. [c.539]

Как показано в п. 189, многочлен р(Л) — четная функция Л. Поэтому если уравнение (5) имеет корень X = а с отличной от нуля вещественной частью, то система (3) неустойчива, так как либо сам этот корень, либо противоположный ему по знаку корень Л = —а имеет положительную вещественную часть. Согласно теореме об устойчивости по первому приближению (п. 237), в этом случае неустойчива и полная нелинейная система уравнений возмущенного движения (1). [c.544]

Если точка Pq является точкой максимума функции V или седловой точкой, то движение неустойчиво, если Р = 0. Но в некоторых случаях можно достигнуть устойчивости или по крайней мере устойчивости по первому приближению, если придать параметру р достаточно большое значение. В этом случае говорят о гироскопической устойчивости, с ним мы встречаемся в задаче о спящем волчке. [c.180]

Как и в теории малых колебаний, примем за начало отсчета положение равновесия. При исследовании устойчивости по первому приближению достаточно применить выражение для R, составленное с точностью до членов [c.180]

Условие устойчивости по первому приближению заключается в том, чтобы это квадратное относительно уравнение имело вещественные отрицатель- [c.181]

Из этого неравенства следует, что если обе степени свободы при р = О неустойчивы, то неустойчивое положение можно превратить в устойчивое (в смысле устойчивости по первому приближению), если придать Р достаточно большое значение. Неустойчивое положение становится устойчивым, если гироскопу сообщить достаточно быстрое вращение. [c.181]

Полученные уравнения эквивалентны уравнениям (8.12.17) — (8.12.19), найденным ранее с помощью метода Лагранжа. Одно из приложений этих уравнений мы уже рассмотрели. В качестве второго примера определим условие устойчивости (по первому приближению) диска или обода, катящегося по прямой. При качении окружности по оси Оу с постоянной скоростью aQ [c.232]

Устойчивость по первому приближению будет обеспечиваться, если [c.233]

Достаточным условием устойчивости по первому приближению будет вещественность и положительность корней уравнения (13.16.5). [c.242]

Достаточное условие устойчивости по первому приближению, таким образом, состоит в том, чтобы значения р , определяемые из уравнения [c.243]

Итак, мы пришли к следующему результату. Если а есть меньшая из полуосей а, Ь, с, то движение устойчиво по первому приближению при всех значениях угловой скорости (как этого и следовало ожидать). Если а есть средняя полуось, то движение всегда неустойчиво. И наконец, если а — длинная полуось, то устойчивость имеет место для значений угловой скорости, превышающих некоторое критическое значение Q. [c.243]

В следующем параграфе мы найдем решение уравнений (23.1.7),, принимающее значение 6 при f = 0. Если это решение таково, что величина остается малой вместе с б в течение всего времени, то соответствующее невозмущенное движение называют устойчивым по первому приближению или устойчивым в бесконечно малом. [c.458]

В частности, если постоянные Я все чисто мнимые, то решение содержит лишь синусы и косинусы, аргумент которых пропорционален . В этом случае величина ( , будучи малой в начальный момент, остается малой и в дальнейшем, так что исходное движение устойчиво по первому приближению. [c.464]

В общем случае решение содержит члены вида t e . Если все постоянные Я имеют отрицательные веш ественные части, то О при f-н- оо, и система асимптотически устойчива по первому приближению. (Это следует из тог факта, что при положительных N ш к выражение стремится [c.464]

Рассуждая подобно тому, как это мы делали в 23.3, где рассматривался случай постоянной матрицы , можно из (23.4.16) установить тип решений для различных случаев. Если все характеристические показатели имеют отрицательные вещественные части, то во всех случаях движение асимптотически устойчиво по первому приближению. (Это следует из того, что если 7V и А — положительные числа, то -> О, когда t-> оо.) Если все пока- [c.467]

Это — квадратное уравнение относительно s , и для устойчивости по первому приближению корни его должны быть вещественны и отрицательны. [c.569]

Сделаем по поводу полученных результатов два замечания. Во-первых, устойчивость по первому приближению еще не означает устойчивости при рассмотрении точных уравнений (гл. XIX). Кроме того, в этом случае мы лишены возможности вывести суждение об устойчивости из интеграла энергии, как это мы делали в теории малых колебаний (гл. IX). Во-вторых, если система устойчива при рассмотрении точных уравнений, а также в первом приближении, то это связано с влиянием линейных членов Ti в выражении для L. Благодаря им в уравнениях движения появляются гироскопические члены. При отсутствии слагаемых мы имели бы задачу о движении в поле консервативных сил, а для такого поля потенциальная функция в точках Ni и имеет максимум, и эти точки являются положениями неустойчивого равновесия. [c.570]

Таким образом, система будет устойчива по первому приближению, если корни уравнения [c.586]

Если величины mi, niz, пгз удовлетворяют неравенству (29.9.5), то решение для равностороннего треугольника Лагранжа будет устойчиво по первому приближению. Однако, как мы видели, это еще не означает устойчивости при переходе от линейного приближения к точным уравнениям движения. [c.587]

Особый интерес представляет случай точки типа центра в этом случае матрица А имеет чисто мнимые собственные значения. Система с одной степенью свободы устойчива по первому приближению, но это свойство, как мы видели, не всегда сохраняется при переходе к точным уравнениям. [c.602]

Устойчивость движения при наличии гироско-п и веских си л. Система, неустойчивая сама по себе, может быть сделана устойчивой по первому приближению путем введения гироскопических сил только в том случае, если число неустойчивых степеней свободы четно. Эта теорема была доказана Кельвином. [c.657]

Сформулируем теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [16, 17, 21]. Они дают возможность решить задачу об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы уравнений (2.8) рассмотрением лишь линейной системы уравнений первого приближения (2.9) независимо от выбора векторчрункции Р. [c.83]

Для использования сформулированных выше теорем Ляпунова об устойчивости по первому приближению нужно гтрежде всего уметь вычислять коэффициенты д/. [c.83]

Полностью вопрос об устойчивости в этом случае не может быть решен рассмотрением линейной задачи. Согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению строюе решение возможно лишь при учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения. [c.84]

Согласно теоремам, изложенным в 1, для решения вопрюса об устойчивости по первому приближению необходамо исследовать знаки вещественных частей корней характеристического уравнения (2.11). Без ограничения общности можно считать, что коэффициент До > О- [c.99]

Устойчивость вращающегося эллиисоида. В качестве примера применения уравнений движения (13.15.13) рассмотрим задачу об эллипсоиде, вращающемся около своей оси а с угловой скоростью со. Спрашивается, при каких условиях это движение устойчиво по первому приближению относительно малых возмущений Предполагая, что возмущенное движение мало отличается от невозмущенного, будем считать т, п, со2, з малыми величинами одного порядка, что позволит нам составить уравнения движения с необходимой степенью точности. Итак, пренебрегая членами второго порядка, будем иметь [c.242]

Предположим, что имеется периодическая траектория G , устойчивая по первому приближению ( 23.1). Выберем единицу времени такой, чтобы период был равен 2л. Обозначим через замкнутую кривую семейства к, соответствующую траектории G , и построим поверхность S, натянутую на кривую Со участок этой поверхности, ограниченный кривой Сд, обозначим через А. Предположим, что область А односвязпая и является областью без контакта, т. е. ни одна кривая С не касается поверхности S в точках А (сравните с понятием отрезка без контакта в 20.3). [c.621]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...