Область устойчивого решения

Особый интерес представляет случай, когда характеристическая точка оказывается в области устойчивых решений. При этом р. = I P, и рекуррентная формула принимает вид [c.62]

На рис. 6.2 нанесены линии характеристических чисел для различных значений фактора затухания /. Как видно, при наличии трения области устойчивых решений оказываются более широкими, а области неустойчивых решений более узкими по сравнению с теми областями, на которые делится карта устойчивости, если трения не учитывать. По мере увеличения диссипативного коэффициента механизма границы областей устойчивых решений все более расширяются, в то время как области неустойчивых решений непрерывно сужаются. Следует отметить, что при одном и том же значении диссипативного коэффициента сужение границ неустойчивых решений оказывается различным для различных областей. Для второй области неустойчивости даже малое затухание оказывает значительный эффект (сравнить линии /j и /4). В третьей области неустойчивости этот эффект еще более значителен и т. д. По этой причине в реальных конструкциях явление неустойчивости может возникнуть при малой частоте возбуждения (что соответствует второй, третьей и другим областям неустойчивости) лишь при особо неблагоприятных значениях параметров механизма, сравнительно большой амплитуде вибрации и малых значениях фактора затухания. [c.198]

Неравенства (8.27), ограничивающие области устойчивых решений, при этом следующие [c.279]

Области устойчивых решений охватывают значения параметров, удовлетворяющие одновременно всем четырем неравенствам. [c.343]

Для построения траектории движения кольца важно задание приемлемого нулевого приближения для каждого положения центра кольца. За нулевые приближения положений центра кольца предпочтительнее принимать предыдущее решение. Ввиду того что поворот центра кольца можно осуществить на любой малый угол около МЦС, полученное к-е решение как нулевое приближение для (к = 1)-й точки всегда будет находиться в области устойчивости решения системы. [c.134]

В этом варианте имеется область устойчивого решения, и существуют незатухающие колебания <т = 0, Д > О, //, e[0,/if). Расчеты показывают, что осцилляторные решения имеются здесь при положительной вязкости (либо ньютоновская жидкость, /i = / о> либо турбулентная, < 4/yj) для а < О, т. е. при немонотонном распределении напоров. Отсюда вывод при выполнении условий (3.31) и А > А динамическая система с отрицательной турбулентной вязкостью устойчивых решений не имеет. [c.98]

Расчеты показывают, что случай (3.32), (3.33) ревизуется при а <0 (немонотонное распределение напоров), а значения соответствуют модели отрицательной вязкости. Как видим, расположение области устойчивого решения существенно отличается от предыдущего варианта, рис, З.бв. [c.99]

Оценки а и S параметров вычисляют по численному алгоритму (28) для минимизации функции 0 7) в области устойчивости решений дифференциального уравнения (95). При этом компоненты градиента критерия качества (197) определяют из выражений [c.378]

Рис. 17. Области существования одного и трех периодических решений и области устойчивости решений

Расчет границы области устойчивости решения 0-при б >1 сопряжен с большими трудностями, так как уравнение (2.3.5) имеет особенность при 6=1, v = = (2к+1)п (й = 0, 1, 2,. ..). По-видимому, при п >0 обе граничные кривые, сливаясь, подходят с вертикальной касательной к точке (/г =0, 6=1), а при п <0 асимптотически стремятся к прямой 6 = 1. [c.101]

Па рис. 2 показаны области устойчивости решения (14) на плоскости координат Ке, г для разных значений отношения I (напомним в скобках, что в рассматриваемом случае параметр г = представляет собой такое значение из диапазона [c.756]

Решение уравнения (2) следует из (5) после замены начальных условий и элементов матрицы М М 61 Ь[ = — 62, 62 — 62 = — 61. Общая область устойчивости решений уравнений (1), (2) определяется условиями 8р М < 2, 8р М < 2, [c.501]

Для анализа общей области устойчивости произведем преобразование инверсии относительно оси V и найдем множество значений параметров, на которых области устойчивости решений уравнений (75), (14) перекрываются. Общая область устойчивости в плоскости (/х, и) ограничена на рис. 32.2 криволинейным треугольником с вершинами в точках (О, 0), (ос, Ьс), (О, Ът), где йс = 0,237, Ьс = 0,706, = 0,92. [c.370]

Определение оптимальной последовательности расчета позволит свести к минимуму число итераций, повысить точность расчета при математическом моделировании, а также увеличить область устойчивости решения задачи по определению параметров работы теплотехнологической схемы. Для описания теплотехнологических схем мазутных хозяйств использовался метод, основанный на теории графов [241—244]. [c.406]

Проверка полученных результатов, а также попытки разрешить противоречие, связанное с малыми числами Рейнольдса, предпринимались другими исследователями, которые в целом подтвердили теоретические результаты, однако корректно не смогли увеличить область устойчивости решения [15]. [c.25]

В теории колебаний интересуются прежде всего действительными показателями ц. В этом случае область устойчивости решения отделяется от области его неустойчивости границей, на которой существуют чисто периодические решения. Поэтому отыскание области неустойчивости сводится в конечном счете к определению условий, при которых показатели ц обращаются в нуль, т. е. могут существовать чисто периодические решения. [c.164]

В области устойчивости решения <х(0> (когда для всех 1 решение 11<а (0>11 < оо) с учетом (6.23)—(6.25) имеем для к- членов сумм в (6.7) [c.91]

ЛР1 говорить об автономных системах, то такие физические понятия, как автоколебания, мягкое и жесткое возбуждение автоколебаний, Затягивание и т.д. получили теперь твердую математическую основу в виде предельных циклов, теории бифуркаций, областей устойчивости в большом и т.д. Если говорить о неавтономных системах, то такие физические понятия как феррорезонанс, захватывание разных видов, получили математическую основу в теории периодических решений и их бифуркаций, а ряд других физических понятий, например, резонанс второго рода, асинхронное возбуждение и т.д. были вновь выдвинуты, отправляясь от математической теории [189]. [c.344]

В заключение отметим наиболее непосредственный, но достаточно трудоемкий способ получения устойчивого решения, основанный на рассмотрении ряда (2.2) как асимптотического в следующем смысле. Задав конечную сумму членов посредством все более точных вычислений квадратур (как правило, за счет все более мелкой дискретизации области интегрирования), добиваются сходимости этой суммы. При увеличении же числа слагаемых увеличивается точность вычисления. [c.47]

Ясинский Феликс Станиславович (1856—1899), профессор, известный русский ученый в области устойчивости стержней и стержневых систем. Исследовал точное решение дифференциального уравнения продольного изгиба, ввел понятие приведенной длины стержня. Ему также принадлежат глубокие исследования по оптимизации прокатных профилей и теории пространственных ферм. [c.570]

Границы областей динамической неустойчивости. Границам областей устойчивости и неустойчивости соответствуют кратные корни Х1 = Ха = 1 или Х = Хг = — 1. В обоих случаях этим корням отвечают периодические решения соответственно с периодами Т и 2Т. Два решения одинакового периода ограничивают область неустойчивости, а два решения разного периода — область устойчивости. [c.462]

В первой, вводной главе, важнейшие понятия теории упругой устойчивости — точка бифуркации, критическая нагрузка, линеаризованное уравнение, граница области устойчивости и энергетический критерий устойчивости — введены и проиллюстрированы на примерах упругих систем с одной-двумя степенями свободы, подобно тому, как это обычно делается в теории механических колебаний. Кроме того, в первой главе рассмотрены ограничения и допуш.ения, используемые обычно при формулировке и решении задач устойчивости тонкостенных элементов силовых конструкций. [c.7]

Из условия существования отличных от нуля решений этого однородного уравнения находим границу области устойчивости [c.31]

Результаты решения двух последних задач можно объединить одним графиком, дающим критические сочетания как сжимающих, так и растягивающих усилий и qy. Для квадратной пластины такой график приведен на рис. 4.12, б. Участки прямых, показанные сплошной линией характеризуют критическое сочетание безразмерных усилий qx и qy, ломаная линия, состоящая из этих участков, ограничивает область устойчивости рассматриваемой пластины при комбинированном нагружении усилиями и qy (см. 6). Величины ( л )кр и (( у)кр равны критическим нагрузкам при сжатии в направлении оси х или у и определяются формулой (4.46) при Ка = 4. [c.162]

Вторая область заполнена решениями, неустойчивыми по отношению к низшему решению (о= (t) и асимптотически устойчивыми при i Ч- оо по отношению к высшему решению ш = [c.291]

Наконец, третья область содержит решения, только асимптотически устойчивые по отношению к высшему решению [c.292]

При решении системы уравнений (6.88), (6.89), определяющих границы динамической устойчивости с учетом конкретных данных, нередко возможны существенные упрощения. Так, в частности, при Qo О в уравнении (6.89) обычно последние два слагаемых, заключенные в квадратные скобки, по сравнению с нелинейной функцией Л(, оказываются малыми, а при / = /а. — строго равны нулю. При этом, как правило, удается непосредственно выразить Л о через Су, после чего из уравнения (6.88) может быть определено одно неизвестное j. При Qo = О уравнение (6.88) принимает вид = 0. Расчетная практика свидетельствует о том, что в этом случае при определении границ области устойчивости в качестве первого приближения можно пользоваться результатами, полученными при Ло = О (см. режимы j = Vgi /г. ) Разумеется, на современном уровне развития вычислительной техники отмеченные упрощения не являются столь необходимыми, однако даже при машинном счете они существенно облегчают оценку и контроль результатов, получаемых с помощью ЭВМ (порядок величин, контрольные точки, характер изменения функций и т. п.). [c.285]

В большинстве практически важных случаев (см. п. Г) задача о нахождении критических скоростей роторов сводится к задаче о нахождении собственных частот их плоских изгибных колебаний, для решения которой могут быть применены все методы расчета собственных частот изгибных колебаний балок с сосредоточенными и распределенными массами (см., однако, выводы п. 1 о необходимости замены при расчете фактических массовых моментов инерции дисков фиктивными). Ниже описаны наиболее распространенные приближенные методы таких расчетов. Методы расчетов критических скоростей валов в более сложных случаях (когда задача не сводится к плоской), расчетов их областей устойчивости и вынужденных колебаний, а также более точные методы расчета собственных частот изгибных колебаний в настоящее время должны предполагать использование ЭВМ некоторые из таких методов изложены в п. 3. [c.69]

В заключение еще раз подчеркнем, что частные решения, соответствующие чисто вынужденным колебаниям, имеют смысл лишь внутри области устойчивости. [c.103]

Область вещественных собственных чисел совпадает с областью не ограниченно возрастающих решений уравнения Хилла (область неустойчи вости решения, а следовательно, и неустойчивости механической системы) а область комплексных собственных чисел — с областью ограниченных (поч ти-периодических) решений (область устойчивости решения, а следовательно, и устойчивости механической системы). На границах областей, ограниченно и неограниченно возрастающих решений [c.462]

Показатель экспоненты /5(г) = Iqt + соо/ки) sin [кит + кхо). Анализ областей устойчивости решений приводит к выводу о возможности реализации ускорения частиц в режиме параметрического резонанса и сепарации частиц по удельному заряду. [c.505]

В большинстве работ по устойчивости вынужденных колебаний и по параметрическим колебаниям диссипативные силы не учитываются. В областях, которые квалифицируются как области устойчивости, решения линеаризованных уравнений невозмуш,енного движения ограничены. С точки зрения теории устойчивости Ляпунова это соответствует сомнительному случаю. Таким образом, для более убедительных выводов об устойчивости необходим учет диссипативных сил. Надо отметить также высокую плотность областей неустойчивости, найденных без учета диссипативных сил. Вследствие этого во многих задачах области неустойчивости заполняют почти всю плоскость параметров. Условия ограниченности решений уравнения Матье с добавочным членом, содержаш,им первую производную от искомой функции, изучались еш е А. А. Андроновым и М. А. Леонтовичем (1927). Применительно к параметрическим колебаниям упругих систем этот вопрос рассматривался К. А. Наумовым (1946), [c.354]

Очевидно, что на точность получаемых результатов будут влиять такие факторы, как схема интегрирования, величина шага интегрирования Ат,-, количество КЭ в проскоке, число подынтервалов времени k, на которые разбит интервал Атс. Из рис. 4.20 видно, что при использовании уравнения (1.47) при k = 4 11 18 (кривые 1, 2, 3, 4) отличие результатов расчета от приближенной аналитической зависимости (4.79) составляет соответственно 0,19 0,14 0,08 0,01G (0) (при v = r). Таким образом, использование условия < 10 приводит к существенной погрешности расчетной схемы, что, в свою очередь, в задаче об определении СРТ приводит к необоснованному завышению скорости трещины, особенно в области ее высоких значений (o r). Следует отметить, что значению k = при v = r соответствует шаг интегрирования Ат, равный времени прохождения волны расширения через наименьший КЭ в вершине трещины. Попытки более адекватного описания зависимости G (y) с помощью более точного моделирования раскрытия трещины путем увеличения количества КЭ в проскоке не дали существенного изменения зависимости G (o) (кривая 6). При использовании уравнения (1.41) зависимость G v) отличается от аналитической (4.79) менее чем на 1 % (кривая 5). В то же время следует отметить, что ограничение на шаг интегрирования, обусловленное устойчивостью решения уравнения (1.41), делает применение данной схемы при и < Сд неэффективным, поскольку резко возрастает количество шагов Ат (при v = r /г = 18 при v = rI2 fe = 36 и т. д.). [c.250]

Очевидно, что выбором параметров 6 и е невозмущенное движение д = О, j = О можно сделать устойчивым и неустойчивым. Так, например, при е = О и б > О, движение устойчиво, а при е = О и б < О это движение неустойчиво. Поэтому задачу об устойчивости решений уравнения Хилла можно поставить следующим образом в плоскости параметров 6 и е найти области устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения а = О, т = 0. [c.240]

H i случаев 3 и 4 следует, что на границе области устойчивости, то есть для значений б и е, удовлетворяющих уравнениям (7.79), существуют периодические peujeHHH периода Т и 2Т. Эти выводы дают возможность определить границы области устойчивости из условия существования периодических решений уравнения Хилла. [c.242]

Прежде чем перейти к определению границ области устойчивости, рассмотрим аналитический вид решений уравнения Хилла (7.76). Пользуясь формулами (7.66) и (7.69), запишем общее решение в следующей форме [c.242]

В общем решении (7.80) или (7.87), отвечающем области устойчивости, постоянные вещественные числа А и fi определ [ются из начальных условий движения, а у (t) и V (t) или ( ) и г t) — вещественные периодические функции, период Г которых равен периоду возбуждающей функции 1 ) (t). Как правило, функции 7 (<) и v (t) (тем самым и функции я ( )иг1 ( )), а также число к = arg р определить в замкнутой форме мы не монгем, так что равенства (7.86) и (7.87) определяют только форму решения уравнения Хилла, а не само решение. Однако из )thv равенств мы можем составить общее представление [c.244]

При заданном безразмерном волновом числе к — значения и количество корней уравнений (6.11.23) зависят от положения точки [г, Ье) на плоскости параметров г, Ье. Очевидно, что точка (г, Ье) принадлежит области устойчивости тогда и только тогда, когда все комплексные решения уравнения (6.11.23) имеют отрицательную действительную часть (Ф < 0), а действительные корни отрицательны. Границам устойчивости соответствуют точки плоскости г, Ье, для ю-торых уравнение (6.11.23) имеет либо чисто мнимый корень X = (причем > 0) либо X = 0. Легко видеть, что п эи Ье = 1 уравнение (6.11.23) имеет только корни = — 1, Ха = — й (1 4- к ). Поэтому для любого к Ф 0 прямая Ье = 1 целиком принадлежит области устойчивости и по е-ря устойчивости (возникновение ДТП) реализуется только при Ье = 1 при переходе через границу устойчивости. Рассмотрим случай чисто мнимого корня уравнения [c.336]

Наиболее просто формулируется условие локального разрушения в теории так называемых квазихрупких трещин, когда наибольший размер области необратимых деформаций в рассматриваемой точке контура трещины мал по сравнению с длиной трещины и расстоянием этой точки до ближайшей границы тела. Простейший вариант этого условия на основе физических и математических идей А. А. Гриффитса [347, 348], Г. Нейбера [190] и Г. М. Вестергарда [432, 433] был предложен Дж. Р. Ир вином [354—358]. Он заключается в том, что коэффициент при особенности в выражении для напряжений в рассматриваемой точке в момент локального разрушения (и продвижения трещины в этой точке) считается равным некоторой постоянной материала при этом напряжения вычисляются в предположении, что тело идеально yrapyroie. По1Скольку указанный коэффициент представляет собой некоторую функцию внешних нагрузок, длины трещины и геометрии тела, находимую ш решения упругой задачи в целом, условие локального разрушения на (контуре трещины в принципе позволяет определить е развитие и, л частности, отыскать ту комбинацию внешних нагрузож, которая разделяет области устойчивости и неустойчивости (подробнее об этом будет сказано в следующих параграфах). [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...