Интегралы по поверхности

Вектор Рп называю г напряжением сил на рассматриваемом элементе поверхности. Главный вектор и главный момент поверхностных сил, действующих на поверхности объема Vy выражаются через интегралы по поверхности о [c.234]

Умножим уравнения (57,2) и (57,3) соответственно на v и т и проинтегрируем их по объему полости. Проинтегрировав члены v Av и т Дт по частям ) и заметив, что интегралы по поверхности полости обращаются в нуль в силу граничных условий, получим [c.313]

В левой части этого равенства стоят как интегралы по поверхности, так и интегралы по контуру. Поверхностный интеграл есть [c.65]

Несколько сложнее обстоит дело с интегралом по поверхности, равным, согласно формуле Коши [формула (3) гл. IX], [c.252]

Проинтегрируем уравнения (46.4) по произвольному объему Wh перейдем от интегралов по объему W к интегралам по поверхности Q объема W. В результате получаем два интеграла, не зависящих от поверхности интегрирования [c.341]

Вектор внешней -поверхностной силы, приходящейся на едини цу площади поверхности 5 тела, обозначим через t. Тогда поверхностная сила, действующая на элемент поверхности площадью dS, будет Главный вектор / и главный момент Mt поверхностных сил определяются интегралами по поверхности S [c.28]

О, исключая силы /j, распределенные по образующей х — 0. Поэтому интегралы по поверхности S в (5.24) и (5.25) равны нулю, а интегралы по объему V — соответственно [c.95]

Разобьем теперь каждый из поверхностных интегралов на интегралы по поверхностям Sj, S , и 5г. При этом учтем, что на поверхности 5б п = 0 на Si = — i, и., == щ, р os п, х) = —1, os (т, л ) = 0 на S2 п = - х = 2. Р = Лг. os п, х) = I, os (т, х) = 0. [c.142]

Здесь v — нормальная к поверхности S составляющая скорости среды. В общем случае Ф D. Поверхность 2 есть замкнутая поверхность, ограничивающая объем V. Будем полагать объем V заключенным между поверхностями 5i и расположенными по обе стороны поверхности разрыва S и отстоящими от нее на расстоянии Л/2. При стягивании объема V к поверхности S (h -уО) первый член в правой части равенства (1.51) стремится к нулю. В этом случае уравнение (1.51) устанавливает связь полной производной от интеграла по объему V с интегралом по поверхности 2-Заметим, что при Л — О интегралы по объему, содержащиеся в равенствах (1.8). .. (1.10), также стремятся к нулю. Таким образом, все уравнения сохранения в интегральной форме (1.7). . [c.26]

Заменив вектор скорости на некоторый вектор а, получим известную из векторного анализа формулу Стокса, связывающую интеграл по контуру с интегралом по поверхности, опирающейся на этот контур, [c.55]

Далее вывод уравнения будет таким же, как и в предыдущем случае. Интегралы по поверхности представляются через интегралы по объему, и подынтегральная функция приравнивается нулю. Имея в виду (111.12), согласно формуле Остроградского— Гаусса, мощность поверхностных сил будет равна [c.79]

Интегралы по поверхности в этих формулах не зависят от выбора поверхности и, следовательно, от выбора объема Это следует из того, что остальные члены в этих формулах не зависят от выбора 2 . На основании асимптотического разложения для потенциала (12.24) при М ф 0 ясно, что при удалении точек 2 в бесконечность подынтегральные величины в первом и втором равенствах (16.11) имеют порядки 1/г и 1/г соответственно. Отсюда следует, что для любой удаляющейся в бесконечность поверхности 2 эти интегралы точно равны нулю. [c.205]

Главная и моментные части интеграла (4.36) суть обычные вещественные интегралы по поверхности. [c.81]

По теореме, связывающей интеграл по замкнутому контуру с интегралом по поверхности, ограниченной этим контуром [c.30]

Сумма интегралов по поверхностям S, S ,. . S , очевидно, является суммарным расходом, проходящим через поверхности, ограничивающие область движения. [c.254]

Написав (3-28) для рассматриваемой точки объема М, подставив затем в него выражение для 1 (М, s) согласно (3-27) и произведя замену интеграла по сферическому углу 4л интегралом по поверхности и объему, получим второе интегральное уравнение системы вида [c.102]

Если тело с одинаковой по объему температурой сплошное, т.е. внутренняя полость отсутствует, то в выражениях для усредненных значений а р и Г(,р пропадают интегралы по поверхности S. Для вогнутой внешней поверхности с постоянным коэффициентом теплового излучения е при усреднении можно считать, что [18] [c.35]

Более точно, изменение величины энергии в единицу времени должно быть рав-НО интегралу по поверхности, взятому по всей граничной поверхности системы. Подынтегральное выражение в этом интеграле представляет собой скалярное произведение единичного вектора, нормального к поверхности, на поток энергии. Весьма подробное обсуждение первого закона термодинамики содержится в книге Дюгема Энергетика , т. I [б]. Книга Бриджмена Природа термодинамики [7] также содержит много интересного материала- Относительно определения понятия теплота в термодинамике см. статью Борна [8]. [c.26]

Точка сверху обозначает производную по времени. В случае, когда проще вычислить интегралы по поверхности, чем интегралы по объему, решение (2-4-97) можно написать в виде [c.114]

Криволинейные интегралы в (1а), (2й) берутся по произвольному замкнутому контуру (их наз. циркуляциями векторных полей), а стоящие в правых частях поверхностные интегралы — по поверхностям, ограниченным этими контурами (опирающимся на них), причём направление циркуляции (направление элемента контура (11) связано с направлением нормали к 3 (вектор й5) правовинтовым соотношением (если в качестве исходного выбрано пространство с правыми системами координат). В интегралах по замкнутым поверхностям (5) в (За), (4а) направление вектора элемента площади 5 совпадает с наружной нормалью к поверхности V — объём, ограниченный замкнутой поверхностью 5. [c.34]

Представим интеграл по поверхности F в виде суммы трех интегралов по поверхностям f , F2 и F3, составляющим поверхность F. В силу одномерности течения интегрирование по боковой поверхности дает в результате нуль, а при интегрировании по поперечным сечениям параметры могут быть вынесены за знак интеграла, ибо [c.108]

Для того чтобы получить уравнение движения в дифференциальной форме, необходимо, как и при выводе уравнения неразрывности, заменить интегралы по поверхности интегралами по объему с помощью формулы Гаусса — Остроградского (2,6, 2.7) [c.18]

Следовательно, скорость подвода теплоты к объему (знак плюс) можно представить интегралом по поверхности [c.20]

Заменив интегралы по поверхности интегралами по объему с помощью формулы Гаусса — Остроградского точно так же, как это было сделано в разд. 2.1, 2.2, получим уравнение энергии в дифференциальной форме [c.20]

Интеграл по поверхности тела S в (XIV.36) представим в виде суммы трех интегралов по Поверхностям Зд, и 2 . Преобразуем подынтегральное выражение p v i этих интегралов. [c.312]

Так как V = Vp J VI = (Vp + 5Vp) (J (Ve + 6Ve), интеграл no объему V в (XIV.36) представим в виде суммы четырех интегралов по объемам Vp, dVp, Ve, Так как SJ, === S -f 6S , интеграл no поверхности Su представим в виде суммы двух интегралов по поверхностям и б2 . Так как 2т = St + 6St, интеграл по поверхности 2t представим в виде суммы двух интегралов по поверхностям 2, и 62 . Учтем далее, что в жесткой области скорости деформации равны нулю, а уравнение (XIV.36) справедливо и для действительного состояния. Пренебрегая бесконечно малыми [c.313]

Если тело сплошное, т. е. полость отсутствует, то в выражениях для осредненных значений Тср и Рср пропадают интегралы по поверхности S". Для вогнутой внешней поверхности с постоянным значением s при осреднении можно считать [13] 1/еср = 1 + + 5о (1/е — 1)/S, где So — минимальная по площади невогнутая поверхность, обтягивающая тело (см. рис. 4.1). В этом случае удается приближенно учесть радиационный теплообмен между соседними участками вогнутой поверхности и под понимать лишь плотность потоков, подводимых к телу от внешних источников излучения. [c.154]

В этом случае компоненты 5 в (6.46) выражаются через интегралы по поверхности тела и нет необходимости вычислять объемные интегралы. Аналогичным образом для указанных условий в плоской и осесимметричной задачах термоупругости для вычисления компонентов В в (6.46) достаточно провести интегрирование по контуру двумерной области. [c.254]

Частные функционалы для разрывных полей отличаются от функционалов, представленных в табл. 3.5, наличием интегралов по поверхности и дополнительных условий на этой поверхности. Они могут быть получены из соответствующих полных функционалов и в данной книге не приводятся. [c.93]

Таким образом, при определении полной силы, необходимой для ускорения, присутствие жидкости можно учесть, увеличивая массу тела на величину присоединенной массы жидкости. Сила, обусловленная присоединенной массой, являясь силой взаимодействия между телом и жидкостью, равна интегралу по поверхности тела от проекции силы давления на направление движения. Эта сила добавляется к той, которая имела бы место в случае ускоренного движения тела в пустоте. Она выступает как результирующая внеш- [c.397]

Величина kM представляет собой присоединенную массу, аналогичную таковой для движущегося тела. Однако теперь эта сила гидродинамического взаимодействия между телом и жидкостью является полной силой F, приложенной к телу. Эта сила равна интегралу по поверхности тела от составляющей силы давления на направление движения. Заметим, что формула (15-23) идентична формуле (15-18), если в последней масса тела равна массе вытесненной жидкости, т. е. М = М. [c.399]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Найдем, например, изменение длины I и объема V призматического бруса произвольного поперечного сечения площадью F под действием его собственного веса Q = Flpg, когда брус поставлен своим основанием на горизонтальную плоскость и когда тот же брус положен на горизонтальную плоскость своей боковой поверхностью (рис. 5.2) В первом случае при принятом направлении координатных осей имеем /i = /г = О, /з = —g. Интегралы по поверхности в формуляре [c.95]

Используя приведенные в табл. 7-1 и 7-2 системы аналогов, а также возможность замены интеграла по V интегралом по эффекпивной поверхности частиц F и представляя сумму интегралов по поверхностям F я F в В Иде одного интеграла по поверхности F согласно (7-40), любую из вышеприведенных систем интегральных уравнений можно свести соответственно к одному обобщенному интегральному уравнению полного излучения. [c.207]

О ёмные интегралы, определяющие полную силу Г и момент сил К, действующие на тело в целом, можно свести к интегралам по поверхности S, охватывающей это тело [c.86]

Равенство нулю на действительном напряженно-деформированном состоянии функционала I. Рассмотрим виртуальное состояние, которое сильно отличается от действительного. Тогда в формулах (XIV.37) символы вариации 6 необходимо заменить на символы конечных приращений Д. Например, <т = о -j- Да. Запишем для этого состояния уравнение (XIV.36). Интеграл по объему V представим в виде суммы двух интегралов по пластически деформируемому объему V p и жесткому объему Vg. Интеграл по поверхности 2 представим в виде суммы трех интегралов по поверхностям 2 , S и 2,. Учтем, что на 2 р = р , а на 2 v l = Подынтегральное выражение в интеграле по 2 представиы согласно (X1V.48) в виде [c.315]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...