Гурвица определители

Старший определитель Гурвица имеет порядок т. Первая строка определителя образована всеми коэффициентами с нечетными индексами, вторая—с четными, а каждая следующая пара строк представляет собой предыдущую пару, сдвинутую на один столбец вправо. Освобождающиеся при этом места, а также места определителя, куда следовало бы вписать коэффициенты /4 с индексом, большим т, заполняются нулями. [c.222]

При практическом использовании критерия Гурвица рекомендуется не развертывать определители по элементам строки или столбца, а свести старший определитель Гурвица к треугольной форме, т. е. к такой форме, чтобы все элементы, расположенные слева от главной диагонали, были равны нулю. При этом должны использоваться лишь преобразования, не меняющие знаков ни самого определителя, ни его диагональных миноров. После того как старший определитель Гурвица представлен в треугольной форме, критерий Гурвица сводится к требованию положительности всех элементов этого определителя, расположенных на главной диагонали (подробнее см. книгу М, А, Ай.чер-мана, упомянутую в предыдущем примечании), [c.223]

Составим из коэффициентов д, (/ = 0, 1,. .., п) (2.11) определители Гурвица [c.99]

Вычисление определителей Гурвица D(2) = 18 [c.106]

Вычисление определителей Гурвица [c.107]

Определители Гурвица имеют вид [c.385]

Если теперь снова обратиться к уравнению (12.23), то можно удет обнаружить отсутствие в нем члена с Следовательно, один из определителей Рауса — Гурвица в этой системе равен нулю, и рассматриваемая система регулирования динамически неустойчива. [c.342]

Критерий Гурвица формулируется так движение устойчиво, если при Со > О положительны п определителей Гурвица, получаемых из (9.80), т. е. [c.184]

Рауса установил тот же критерий в видоизмененной форме с помощью определителей ( определителей Гурвица ) [c.226]

Составим главные миноры матрицы (16) определители Гурвица) [c.534]

Определители Гурвица (17) будут такими [c.534]

Определитель Гурвица 534 Ось винтовая мгновенная 70 [c.564]

Миноры матрицы В (от первого до -го порядка), стоящие в ее ле- вом верхнем углу, называются определителями Гурвица. [c.34]

Критерий Гурвица. Для того чтобы все Re Я,- < О, необходимым и достаточным условием является положительность всех определителей Гурвица. [c.34]

Итак, система (4.27) сводится к системе 4-х уравнений с четырьмя неизвестными Y,, а , d , d . Составляя и приравнивая нулю определитель этой системы, получаем характеристическое уравнение задачи, и решение вопроса об устойчивости автоколебаний сводится к решению задачи Гурвица для характеристического уравнения [c.220]

Первое условие устойчивости все коэффициенты характеристического уравнения должны иметь одинаковые знаки, при данной записи — положительные. Кроме того, требуется, чтобы определитель Гурвица третьего порядка Дз >0 (условие Гурвица для определителя второго порядка выполняется как следствие указанных критериев). [c.250]

Определитель Гурвица может быть составлен для уравнения любого порядка следующим образом По главной диагонали слева вниз направо выписываются все коэффициенты уравнения, начиная с коэффициента при втором члене и кончая коэффициентом предпоследнего члена включительно. Столбцы от диагонали вверх дополняются коэффициентами с убывающими индексами, а столбцы от диагонали вниз дополняются коэффициентами с возрастающими индексами. Все места, которые должны были бы заполниться коэффициентами ниже = 1 и выше А , заменяются нулями. [c.491]

Для уравнения -го порядка главный определитель Гурвица имеет вид [c.492]

Процессы будут сходящимися, а система устойчивой, если все коэффициенты уравнения, главный определитель Гурвица (671) и все диагональные миноры [c.492]

Первые два неравенства являются необходимыми условиями сходимости. В соответствии с ними сходящиеся процессы располагаются в первом квадранте диаграммы, приведенной на фиг. 279. Последнее неравенство, являясь развернутым определителем Гурвица, представляет собой необходимое и достаточное условие сходимости процессов и устойчивости систем. Если это неравенство не выполняется, процессы становятся расходящимися, а система регулирования неустойчивой. [c.498]

Положительная величина определителя Гурвица является необходимым и достаточным условием сходимости процессов. Если же это условие не выполняется, т. е. [c.502]

При исследовании устойчивости систем, процессы которых описываются линейными дифференциальными уравнениями третьего и выше порядков, к соотношениям коэффициентов уравнений предъявляются условия, вытекающие из определителя Гурвица (671). [c.506]

Анализ расположения корней характеристического уравнения (7.2.5) на комплексной плоскости составляет чисто алгебраическую задачу. Для развертывания характеристического определителя существует ряд оригинальных методов. К их числу следует отнести метод Крылова, метод Данилевского, метод Фаддеева и др. [52, 54]. С использованием этих методов средства вычислительной техники позволяют непосредственно находить коэффициенты характеристических полиномов сколь угодно высокой степени с наперед заданной точностью. Остаются весьма полезными критерии, которые могли бы давать ответ о размещении корней на комплексной плоскости, не прибегая к решению полной задачи о собственных значениях. К таким критериям относят критерий асимптотической устойчивости Рауса-Гурвица и родственные алгебраические критерии. [c.464]

Устойчивость движения модели (рис. 5.4), имитирующей продольное движение спутника, следует из условия Гурвица. Согласно последнему определителю Гурвица при положительных коэффициентах (5.36) и Dx>0 получаем [c.101]

Динамическая система устойчива, если при >0 больше нуля все п определителей Гурвица, последовательно получаемые из матрицы (34), [c.73]

При равенстве нулю хотя бы одного из определителей Гурвица система находится на границе устойчивости. [c.73]

Автоматизированный расчет устойчивости проще выполняется по алгебраическим критериям устойчивости. Так, в [39] приведен алгоритм программы анализа устойчивости по критерию Рауса. Программа может быть использована для анализа устойчивости динамических систем любого порядка. Составим алгоритм оценки устойчивости по критерию Гурвица. Основой для формирования определителей Гурвица, которые для устойчивости системы должны быть больше нуля, является матрица (34), составленная из коэффициентов характеристического многочлена D (s). Выпишем неравенства, полученные по определителям Гурвица для систем с порядком характеристического многочлена п с 6 (коэффициенты а, > 0) [c.112]

Такого же рода соотношение можно получить и для более высоких степеней п, однако, например, для систем числового программного управления характеристическое уравнение довольно редко имеет порядок больше шестого. Алгоритм оценки устойчивости динамических систем по критерию Гурвица для систем с л < 6 (рис. 74) включает задание коэффициентов характеристического многочлена а , а ,. .., Og и его порядок п. Если п < 6, то отсутствующие коэффициенты задаются равными нулю. Далее проверяются условия устойчивости по соотношениям (64). Если одно из последующих условий не выполняется, печатается сообщение о том, что система неустойчива. Расчет прекращается и в том случае, когда исчерпан порядок характеристического уравнения N = п). Если все определители Гурвица были больше нуля, печатается сообщение, что система устойчива. [c.112]

Критерий Гурвица(в форме Льенара — Шипара). Составим из коэффициентов характеристического полинома (24) определитель, носящий название старшего определителя Гурвица [c.222]

Критерий Гурвица ) (в форме Льенара — Шипара) утверждает следующее для того чтобы характеристический полином (24) со всеми отличными от нуля и положительными коэффициентами был гурвицевым, необходимо и достаточно, чтобы в последовательности определителей (27) все определители с четными индексами [c.222]

Выдается сообщение среди определителей Гурвица (их значения начиная с определителя наименьшего порядка равны соответственно 1, -10, -120, -1200) есть отрицательный или нулевой, поэтому не все корни иссугедуемого уравнения имеют отрицательные дейстнительные части . [c.103]

В заключение этого параграфа заметим, что в общем виде условие Гурвица очень удобно при /г 4. В тех случаях, когда п велико и левая часть характеристического уравнения имеет форму определителя и не приведена к многочлену (раскрытие определителя большого порядка представляет трудоемкую задачу), целесообразно перейти к численным методам с использованием электронных вычислительных маншн. Численные методы с применением ЭВМ полезны и в тех случаях, когда характеристическое уравнение задано в форме многочлена. [c.110]

Раскрывая этот определитель относительно а и применяя критерииРау-са — Гурвица, выразим необходимые и достаточные условия устойчивости состояний 0 = 1 з = О через параметры механической системы. Более подробно остановимся на некоторых важных частных случаях. [c.102]

Как следствие из этой теоремы вытекает, что для устойчивости регулиравания все коэ-фициенпы характеристического уравнения должны быть положительными. Этим следствием обычно и пользуются, выписывая ранее всего требование С > 0, Сз > 0,... с > 0, а затем уже остальные определители Гурвица до порядка п — 1 (так как = Сп). Последняя формулировка, включающая лишние условия и, следовательно, недостаточно строгая, тем не менее весьма удобна для практических целей, так как, естественно, сначала надо убедиться прямым путём в выполнении простейших требований и только после этого переходить к определению более сложных критериев устойчивости. [c.177]

Метод параметра может с успехом применяться при подсчете корней с положительной вещехтвенной частью и у обыкновенных уравнений. В частности, таким путем молено решать задачу Гурвица для алгебраических уравнений высоких порядков, когда применение теоремы Гурвица затруднительно из-за высоких порядков определителей. [c.159]

Алгоритм метода обобщенных определителей Хилла. Для системы с п степенями свободы при сохранении в рядах Фурье (54) и (55) первых Ра р гармоник соответственно размерность матрицы К равна 2п (2/io + 1) (2р + 1). В связи с высокой размерностью могут встретиться затруднения при проверке условий устойчивости. Если система обладает полной и достаточно сильной диссипацией, то следует отдать предпочтение критерию Зубова. Если диссипация отсутствует или она не является полной, то в области устойчивости все или часть характеристических показателей — чисто мнимые. Критерии Рауса — Гурвица и Зубова в этих случаях непригодны. Устойчивость проверяют непосредственным вычислением комплексных корней уравнения (56). [c.130]

Если из уравнений (7.2.19) исключить со, то получим уравнение некоторой поверхности в пространстве параметров. Часть этой поверхности ограничивает область устойчивости. Предложены способы [12, 43], позволяющие выделить среди этой поверхности те части, которые отвечают границе области устойчивосш. Если заранее известно, что начальная точка в пространстве параметров (например, начало координат) принадлежит области устойчивости, то граница этой области определяется либо уравнением Д 1=0, либо /> =0. Здесь Ал 1 - предпоследний определитель Гурвица (7.2.11), р - свободный член полинома (7.2.9). Условие дает границу [c.469]

Вопрос об устойчивости или неустойчивости стационарного случайного процесса и (t) решается в зависимости от характера корней уравнения (5.65). Корням с положительными вещественными частями в пространстве оригиналов ср (со, t) соответствуют неограниченно возрастающие частные решения. Исследование стохастической устойчивости приводит, таким образом, к классической процедуре Раусса—Гурвица — проверке знаков определителей [c.156]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...