Асимптотическая поверхность неустойчивая

Асимптотические поверхности неустойчивых положений равновесия [c.297]

Пусть Aq (Aq ) — устойчивое (неустойчивое) асимптотическое многообразие в фазовом пространстве невозмущенной системы, проходящее через точку (ж+,у+) (соответственно х ,у )). В расширенном фазовом пространстве прямое произведение Ар х будет асимптотической поверхностью соответствующего т-пе-риодического гиперболического решения. [c.259]

Устойчивые и неустойчивые асимптотические поверхности периодических решений (3.4) можно представить как пересечение многообразия гиперплоскостями [c.269]

Собственные значения Л линеаризованной системы имеют ненулевые вещественные части (Re Л > 0). Решение z t) = го можно считать периодическим с периодом 2тг. Согласно Пуанкаре, при достаточно малых система (1.9) имеет 2тг-периодическое решение г = p(i,e), p t,0) = zq. Аналитически по t С продолжим (возможно, неоднозначно) решения системы (1.9), асимптотические к траектории p t,e) при t —+ —00, на максимально возможную область. При этом получим двумерную комплексную поверхность AjT, которую назовем неустойчивой комплексной асимптотической поверхностью гиперболического периодического решения p t,e). [c.333]

Если нас интересует лишь вопрос об устойчивости многообразия состояний равновесия, то нет необходимости отыскивать точное решение системы уравнений (2.14). Как следует из вышеизложенного, для этого достаточно исследовать поведение функций Vi (/) в малой окрестности поверхности Ощ- Но в первом приближении поведение этих функций определяется корнями характеристического уравнения (2.16). Если действительные части всех корней к = = 1,2,. .., 2 (/г — т)) отрицательны, то функции У/ (/) будут представлять или экспоненциальное затухание или колебательный процесс с убывающей амплитудой. Поэтому изображающая точка, находящаяся в малой окрестности поверхности От состояний равновесия, будет при / -> + оо стремиться к поверхности От- В этом случае многообразие состояний равновесия будем называть асимптотически устойчивым. Если же среди корней рк найдется хотя бы один с положительной действительной частью, то многообразие состояний равновесия будет неустойчивым. [c.272]

Если мы применим эти результаты к многообразию М вблизи периодического движения неустойчивого типа, то увидим, что имеются две инвариантные аналитические поверхности, проходящие через кривую периодического движения, одна из которых соответствует аналитическому семейству движений, асимптотических к периодическому движению в положительном направлении, а другая — подобному же семейству движений, асимптотических в отрицательном направлении. Все прочие близлежащие движения сначала приближаются, а затем удаляются от нашего периодического дви кения неустойчивого типа. [c.216]

Неустойчивый случай. Асимптотические семейства. Обратимся к аналогичному рассмотрению неустойчивых периодических движений общего устойчивого типа, содержащих переменные периоды в своих формальных рядах. В этом случае не будет существовать инвариантных семейств кривых типа, встречающегося в устойчивом случае, по крайней мере, ссли мы ограничимся достаточно малой окрестностью данного периодического движения. В соответствии с этим па поверхности 8 не будет существовать инвариантных кривых, окружающих нашу инвариантную точку. [c.230]

Предположим, что для какой-нибудь динамической проблемы транзитивного типа с двумя степенями свободы имеется секущая поверхность 3 рода один. Предположим, кроме того, что все периодические движения общего устойчивого типа содержат переменные периоды в своих формальных рядах и что никакие два аналитических асимптотических семейства, связанных с различными периодическими движениями неустойчивого типа, не совпадают. [c.238]

Устойчивые и неустойчивые одномерные, а также асимптотические инвариантные поверхности приведенной системы задают в абсолютном пространстве, вообще говоря, двухчастотные движения. Это наглядно иллюстрируется на случаях Ковалевской и Горячева-Чаплыгина. В последнем случае, для особого решения Горячева, для малых энергий происходит еще большее вырождение и движение в абсолютном пространстве становится периодическим (см. 5), тело совершает в пространстве любопытные маятниковые движения. Отметим также, что для волчка Ковалевской в приведенном фазовом пространстве имеется набор из трех переменных 21,22,23, в пространстве которых совершается периодическое движение по некоторому эллипсу (см. 4). Эти переменные очень неочевидны и образуются как из компонент момента М, так и орта 7. [c.94]

Предположим, что имеются две гиперболические траектории 71 и 72 (не исключается случай, когда 71 и 72 совпадают). Через (Л2 ) обозначим устойчивую (неустойчивую) асимптотическую поверхность траектории 71 (72). Папомним, что эти поверхности регулярны и аналитичны. Однако они могут быть вложены в М довольно сложным образом. [c.261]

Следуя Р. Деванею [191], рассмотрим автономную аналитическую гамильтонову систему с двумя степенями свободы. Пусть р — критическая точка гамильтониана Я с собственными значениями (а г/3) (а,/3 G R). Если а О, то р — гиперболическое положение равновесия, обладающее устойчивой асимптотической поверхностью и неустойчивой Л . Пусть 7 — гомоклинная траектория она стремится к точке р при t — оо. Ясно, что 7 С (Л П ПЛ ), Предположим, что во всех точках траектории 7 двумерные поверхности Л и Л пересекаются трансверсально. [c.297]

В гл. V было показано, что устойчивая и неустойчивая асимптотические поверхности Л+ и могут трансверсально пересекаться в действительной области, и это приводит к отсутствию аналити- [c.333]

Асимптотические решения (9.3) были впервые отмечены Клейном и Зоммерфельдом [238]. Ненулевые характеристические показатели для решения (9.2) равны а г/3. При М30 ф О и выполнении условия Маиевского а(3 ф О и приведенное равновесие будет иметь тип седло-фокус. Оказывается, что при возмущении волчка Лагранжа неустойчивое равновесие не исчезает, но вместо сдвоенных асимптотических поверхностей (9.3) возникают трансверсальные гомоклинные траектории, препятствующие существованию дополнительного аналитического интеграла [97]. [c.323]

Хаотическое расположение точек отображения на плоскости Пуанкаре свидетельствует о локальной неустойчивости поведения траекторий системы (2 . Еспи у этой системы имёется гиперболическое (неустойчивое) решение, то у отображения имеется гиперболическая неподвижная точка. Из нее исходит две пары сепаратрис (асимптотических поверхностей) входящих и выходящих. [c.8]

Невырожденные неустойчивые периодические решения имеют асимптотические многообразия, заполненные траекториями, неограниченно приближающимися к периодическим траекториям при г- - оо. В интегрируемых гамильтоновых системах эти поверхности, как правило, попарно совпадают. В неиитегри-руемых случаях ситуация иная асимптотические поверхности могут пересекаться ие совпадая, образуя в пересечении довольно запутанную сеть (см. рис. 44). Б этом параграфе мы опишем восходящий к Пуанкаре способ доказательства иеиитегри-руемости, основанный на анализе асимптотических поверхностей гамильтоновых систем, мало отличающихся от интегрируемых. [c.235]

Из неравенства М, е М, М ) ( е, е ) и независимости первых интегралов на Мн. с вытекает, что а >0. Устойчивые II неустойчивые асимптотические поверхности периодических решений (17) можно представить как пересечения много-образия ЛЬ,, с гиперплоскостями Aij Мз У аз—=0. [c.244]

Движение, устойчивое по Ляпунову, в фазовом пространстве можно представить следующим образом изображающая точка О, начав свое движение из точки G , расположенной внутри или на поверхности сферы радиуса I S, все время остается внутри сферы радиуса (/ е, т. е. фазовая траектория, начинающаяся внутри сферической области радиуса (/б, никогда не достигает сферы радиуса (рис. 9). Если движение асимптотически устойчиво, то любая траектория, начинающаяся в сферической области радиуса б, неограниченно стремится к началу координат, ие выходя за границу сферы радиуса /е. Еслн двил<ение неустойчиво, то внутри области радиуса )/б всегда найдется такая точка G , что фазовая траектория, начинающаяся в этой точке, за конечное время достнгнег сферы радиуса /е. [c.34]

Теоремы Ляпунова об устойчивости и первая теорема о неустойчивости допускают простую геометрическую интерпретацию. Если V и ее производная V — знакоопределенные функции противоположных знаков (теорема об асимптотической устойчивости), то изображающая точка, движущаяся по фазовой траектории, пересекает каждую из поверхностей V (х) = С снаружи внутрь (рис. II, а), так как функция V [c.37]

Фазовый портрет этих уравнений при = О изображен на рис. 3.1. К окружности Г, состоящей из состояний равновесий, асимптотически приближаются все остальные фазовые точки, за исключением точки неустойчивого равновесия О. Наличие малых случайных воздействий ( Ф 0) приводит к случайным блужданиям фазовой точки в окрестности Г, т. е. амплитуда колебаний А близка к двум, а фаза медлеппо меняется и может накапливать свои изменения. В установившемся состоянии плотность вероятностей р А, ф) не зависит от угла ф и изображается поверхностью вида, показанного на рис. 3.2. Таким образом, входное случайное воздействие преобразуется в осцилляторе Ван-дер-Поля в выходные флуктуации амплитуды колебаний и случайный дрейф фазы ф. Для отыскания соответствующей плотности вероятностей может быть составлено широко известное уравнение в частных производных Эйнштейна — Фоккера — Планка. С помощью этого уравнепия может быть найдено не только установившееся распределение вероятностей, т. е. уравнение изображенной на рис. 3.2 поверхности, но и процесс ее установления, а также плотности вероятностей перехода из одного состояния Л, ф в другое А, ф за р я т [216, 310, 320, 342]. Эта плотность вероятностей р А, ф А, ф т) при тимеет пределом установившуюся плотность вероятностей р А). [c.59]

Второй случай имеет место, если выполнено некоторое неравенство, и тогда нулевое решение будет либо асимптотически устойчивым либо неустойчивым (асимптотически устойчивым цри t — оо). Этот результат Ляпунов доказал вторым методом и не дал в этом случае построения решения для промежутка t >> to. Первый случай имеет место, если выполнено бесконечное число некоторых равенств, и тогда в окрестности начала координат Ляпунов строил одпопараметрическое семейство интегральных поверхностей [c.72]

Н. Г. Четаев (1945) эти результаты получил на основании второго метода. В сомнительных случаях (когда правые части дифференциальных уравнений не зависят от ) Ляпунов либо доказывал вторым методом асимптотическую устойчивость нулевого решения либй неустойчивость (при этом решения в окрестности нулевого решения построить мы не умеем и по сей день), либо в сочетании первого метода (построение интегральной поверхности — интегрального множества) и второго доказывал неасимптотическую устойчивость нулевого решения. Но в этом случае он мог бьг построить и общее решение в окрестности нулевого решения, откуда следует и неасимптотическая устойчивость нулевого решения рассматриваемой системы. Мы видим, таким образом, что в случае асимптотической устойчивости нулевого решения удается построить функцию Ляпунова [c.73]

Построена нелинейная нестационарная модель развития длинноволновых возмущений в пограничном слое около охлаждаемой поверхности в гиперзвуковом потоке, когда давление в нем индуцируется за счет совместного изменения толщин пристеночной и основной частей пограничного слоя. Численные и аналитические решения получены в линейном приближении. Показано, что воздействие дозвуковой в целом основной части пограничного слоя ослабляет затухание возмущений вверх по потоку и их рост вниз по потоку, а сверхзвуковая в целом основная часть пограничного слоя производит обратное воздействие. Анализ полученных решений позволяет сделать заключение, что рассматриваемая асимптотическая модель может описывать пространственную неустойчивость волн Толлмина-Шлихтинга. [c.69]

Ниже строится нелинейная нестационарная асимптотическая модель развития длинноволновых возмущений в пограничном слое около охлаждаемой поверхности в гиперзвуковом потоке, которая является развитием стационарной теории отрыва пограничного слоя на охлаждаемом теле [13]. Показано, что ее линейная форма может описывать пространственную неустойчивость волн Толлмина-Шлихтинга. [c.69]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...