Исследование ядра и решения интегрального уравнения

Исследование ядра и решения интегрального уравнения [c.340]

Однако специфика рассмотренных интегральных уравнений радиационного теплообмена для общего случая заключается в том, что их ядра я ряд параметров заранее не известны и могут быть найдены лишь приближенно. В то же время В классической теории интегральных уравнений Л. 110—116] их ядра и параметры должны быть заданными функциями. Из математики известен целый ряд методов решения интегральных уравнений, которые используются при исследовании процессов радиационного теплообмена. Все эти методы являются приближенными. Они делятся на аналитические и численные, причем, как правило, аналитические приближенные методы являются достаточно эффективным средством лишь для наиболее простых одномерных задач теплообмена излучением. [c.209]

Более широкое применение в математической физике имеет такое направление, когда решение опять ищется в форме интеграла, но выбор ядра осуществляется таким образом, чтобы определение произвольной функции сводилось к решению классических интегральных уравнений. Соответствующие такому подходу представления называются потенциалами. Начнем изучение методов теории потенциалов с исследования уравнения Лапласа Пусть р и р — некоторые точки в пространстве, тогда можно показать, что функция [c.88]

Исследование интегрального уравнения (1.10). Перейдем теперь к исследованию интегрального уравнения Вольтерра второго рода (1.10). Согласно ограничениям, наложенным па его ядро, оно однозначно разрешимо [229] в пространстве С (1, Т) непрерывных на [1, Т функций при любых значениях параметров ai и с. Для построения приближенного решения уравнения (1.10) примем, что [c.132]

В рассматриваемой постановке при = s G S представление (3.9) выражает собой преобразование вектора напряжений на L в вектор перемещений на S. При известных векторах ы (i) иы°(5) и ядре интегрального оператора система уравнений (3,5) является системой интегральных уравнений Фредгольма первого рода относительно неизвестного вектора напряжений Р/с(х) на L. Решение этой системы представляет собой обратную задачу теории упругости, в которой искомый вектор напряжений недоступен для прямого исследования, а изучается его косвенное проявление в виде вектора перемещений на доступном для измерений участке поверхности. [c.65]

Изложенный в предыдущем разделе метод решения одномерных интегральных уравнений обобщается на двумерные, которые возникают при исследовании пространственных контактных задач для слоисто-неоднородно-го полу про странства. Как уже отмечалось, характерной особенностью этих задач является наличие у символа ядра интегрального оператора (наряду с вещественными нулями и полюсами) точек ветвления на вещественной оси. [c.121]

Основное внимание уделяется ключевым этапам построения решения во-первых, сведению задачи к парному интегральному уравнению (т.е. построению трансформанты ядра парного интегрального зфавнения и исследованию ее свойств) во-вторых, построению решения полученного парного интегрального уравнения и использованию найденного решения для определения механических характеристик задачи. [c.199]

Тем же автором в работе [77] рассмотрены задачи о контакте качения между вязкоупругими цилиндрами, между вязкоупругим цилиндром и жесткой полуплоскостью, между жестким цилиндром и вязкоупругой полуплоскостью. Исследование проводилось в предположении установившегося качения, равных нулю касательных усилий в зоне контакта, а также отсутствия инерционных эффектов. Рассматриваемые задачи свелись к решению соответствующих сингулярных интегральных уравнений относительно распределения контактного давления, ядра которых обладают как сильной, так и слабой сингулярностью. Введение малого геометрического параметра позволило упростить полученные интегральные уравнения, метод решения которых основан в дальнейшем на применении конечного преобразования Гильберта. Контактное давление получалось использованием обычного обратного преобразования. Предложенный способ решения сингулярных интегральных уравнений применим к весьма общей модели вязкоупругого тела с конечным спектром характерных времен. В одном из разделов данной работы наиболее подробно рассмотрен случай, когда материал характеризуется единым временем памяти. Определяя величину у как отношение времени движения частицы в зоне контакта к мере памяти, исследованы возможные случаи поведения материала. В частности, малой величине у соответствует быстрое качение цилиндра и в основном упругое поведение мате- [c.402]

Потенциал U) (р, х, 5У) также является интегральным оператором, ядро которого содержит слабую особенность. Интегральные операторы с такими ядрами являются вполне непрерывными [119, 191, 3061 и для их исследования применима теория интегральных уравнений Фредгольма [49, 243, 245, 370]. Эта теория хорошо известна, а интегральны уравнения с такими ядрами применяются при решении различных теоретических и практических задач. г [c.117]

Методы потенциала, при помощи которых в предыдущих главах были рассмотрены граничные задачи для однородных и кусочно-неоднородных изотропных тел, могут быть распространены на анизотропные упругие тела. Для этого необходимо, с одной стороны, более подробно разработать теорию фундаментальных решений различных родов для систем эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами и, с другой, распространить теорию многомерных сингулярных интегральных уравнений на системы уравнений, ядрами которых будут служить эти фундаментальные решения. Эти вопросы, при решении которых потребуется преодоление новых трудностей, заслуживают интерес и должны стать предметом будущих исследований. [c.251]

В третьей главе получены дифференциальные уравнения, описывающие медленный докритический рост макроскопических трещин нормального разрыва для общего случая. В рамках концепции постоянства концевой зоны найдено замкнутое решение уравнений роста трещины для некоторых типов неустойчивых трещин нормального разрыва, на основе которого исследована кинетика их развития. Изложен приближенный метод исследования уравнений медленного роста трещин в вязко-упругих телах. С помощью этого метода изучены некоторые задачи кинетики роста трещин для внешних нагрузок, изменяющихся во времени. Исследована долговечность изотропных вязко-упругих пластин различной гео-метрии.1 Определена долговечность пластин общего вида с макроскопическими трещинами, когда деформирование материала пластин описывается интегральными операторами с дробно-экспоненциальными ядрами. Приведены расчеты долговечности конкретного вязко-упругого материала (полиуретана) и даны сравнения теоретических расчетов с экспериментальными данными. На кон-кретном примере проведено сравнение значений долговечности, полученных точным и приближенным методами. Исследована кинетика роста трещины при циклических нагрузках, когда наряду с ползучестью материала развивается усталостное разрушение. [c.5]

Проблема сходимости приближенных решений, построенных по методу Бубнова — Галеркина, к точному решению в том случае, когда оператор — положительно определенный, эквивалентна аналогичной проблеме для процесса Ритца, и поэтому нет нужды в ее самостоятельном рассмотрении. Для других случаев такие исследования выполнены. Рассматривался, например [178], вопрос о решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода и было показано, что решение по методу Бубнова — Галеркина совпадает с решением, получаемым при замене ядра на вырожденное при разложении его в ряд по произведениям координатных функций. [c.154]

Эти спектральные соотношения содержатся- в работе П. И. Клубина [17], в статье Г. Я. Попова [351. В исследовании [37] показывается, что применеине ортогональных многочленов для решения интегральных уравнений контактных задач тесно связано с наличием специальногв класса так называемых полиноминаль-ных ядер (к которым должны относиться ядра интегральных уравнений). Автор дает способ построения таких яд зр, на основе которого получаются как известные ранее, так и более общие ядра. В качестве примера приведено спектральное соотношение для логарифмического ядра [c.287]

Полученные в первой главе сингулярные интегральные уравнения основных граничных задач плоской теории упругости справедливы как для гладких, так и для ломаных и ветвящихся разрезов и кусочно-гладких граничных контуров. Однако в случае упругих областей с угловыми точками свойства интегральных уравнений усложняются, что требует их дополнительного исследования. Если для областей, ограниченных гладкими контурами, с гладкими криволинейными разрезами сингулярные части ядер интегральных уравнений содержат только ядро Коши, то в них также имеются слагаемые с неподвижными особенностями. При этом искомые решения имеют в угловой точке две различные осо-бенности степенного типа, соответствующие симметричному и антисимметричному распределению напряжений относительно бис- сектрисы клиновидной области. Это обстоятельство очень усложняет численное решение интегральных уравнений. Поэтому в численном анализе часто используют приближенные подходы, не учитывающие особенности в угловых точках или же учитывающие только одну особенность высшего порядка (см., например, работы 95, 146, 156]). Обзор исследований по решению задач теории упругости для областей с угловыми точками имеется в работах [47, 75]. [c.60]

В последнее время, в связи с бурным развитием вычислительной техники многие исследователи отдают предпочтение численным методам, поскольку они обладают определенной универсальностью и легко поддаются алгоритмизации и реализации на различных языках программирования. Однако при исследовании дигнамики контактного взаимодействия структурно-неоднородных, в том числе многослойных сред, непосредственное использование прямых численных методов (вариационно-разно стный, коллокаций, граничных элементов и т.д.) в значительной мере осложнено осцилляцией ядра интегрального оператора. Это обусловливает необходимость разработки специальных, приспособленных для решения интегральных уравнений с осциллирующими ядрами методов. [c.4]

Для исследования этих задач был использован метод однородных решений (см. п. 1.З.). Решение задач разыскивается в виде суперпозиции решения родственной неоднородной задачи для сферического слоя и соответствующих однородных решений. Для отыскания функций распределения контактных напряжений задачи сведены к решению БСЛАУ высокого качества типа нормальных систем Пуанкаре-Коха и ряда интегральных уравнений первого рода с одинаковыми ядрами для каждой из задач. Решения систем могут быть получены методом редукции при любых значениях параметров задач. Интегральные уравнения соответствуют хорошо изученным уравнениям аналогичных смешанных задач для шарового слоя и для их решения могут быть использованы известные эффективные методы, например, асимптотические. [c.175]

Изучение приливов при такой постановке задачи широко представлено как в отечественной, так и зарубежной литературе. П. Я. Полуба-риновой-Кочиной (1938) принадлежит решение об определении собственных колебаний жидкости в плоских бассейнах при наиболее общих предположениях о виде границы бассейна. Ею показано, что решение может быть осуществлено путем нахождения фундаментальных чисел и функций интегрального уравнения, ядро которого представляется через функцию Грина для соответствующей задачи Дирихле. Исследование интегральных уравнений выполнено Полубариновой-Кочиной с использованием разложений в ряды по степеням малого параметра, пропорционального угловой скорости вращения бассейна. Для конкретного случая прямоугольного бассейна ею проведен подробный аналитический анализ решения и вычислены первые члены рядов (1937). В. А. Яблоков (1944) построил котидальные карты и изучил особенности собственных колебаний в зависимости от соотношения между длинами сторон прямоугольного бассейна. [c.81]

При изучении вопроса о концентрации напряжений около щелей и трещин значительный интерес представляет решение смешанных задач теории упругости для неклассических областей типа полосы (слоя). В математическом отношении эти задачи очень трудны. Однако начатое около десяти лет назад систематическое исследование этого вопроса привело к созданию эффективных методов решения задач такого класса (В. М. Александров, И. И. Ворович, Н. Н. Лебедев, Я. С. Уфлянд и др.). Методами операционного исчисления эти задачи довольно легко сводятся к решению интегральных уравнений первого рода с нерегулярным ядром. Наибольший эффект в нахождении удобных для практического использования решений этих уравнений был достигнут при использовании специфичных асимптотических методов. Начало исследований вопроса равновесия трещин в полосе было положено И. А. Маркузоном (1963). В. М. Александров (1965) исследовал равновесные трещины вдоль полосы или слоя, где интегральное уравнение строится для функции, определяющей форму трещины. Им получено приближенное решение путем разложения ядра уравнения в ряд при больших отношениях толщины к размеру трещины и получены зависимости нагрузки от размеров трещины. Используя этот метод и решения уравнений Винера — Хопфа, В. М. Александров и Б. И. Сметанин (1965, 1966) получили выражение для коэффициента интенсивности напряжений на краях равновесной трещины в слое малой толщины. Для случая постоянной нагрузки определяется связь размера равновесной трещины с действующей нагрузкой. Аналогичное решение получено для дискообразной трещины в слое конечной толщины. В. М. Ентов и Р. Л. Салганик (1965) рассмотрели в балочном приближении задачу Ь полубесконечной трещине, проходящей по средней линии полосы, причем для нагрузок, приложенных к берегам трещины, задача сводится к рассмотрению расслаивания под действием нормальной или тангенциальной силы. В этой работе с помощью метода Винера — Хопфа получено выражение для коэффициента интенсивности напряжений для достаточно больших и достаточно малых значений отношения расстояния от конца трещины до точки приложения силы к полуширине полосы. Используя аналитический метод, развитый В. М. Александровым и И. И. Воровичем (1960) при исследовании контактных задач для слоя большой относительной толщины, Б. И. Сметанин (1968) рассмотрел задачу о продольной щели в клине, а также плоскую и осесимметричную задачи о продольной щели в слое при различных условиях на гранях клина и слоя. Для щели, расположенной симметрично относительно граней клина (слоя), и нормальной нагрузки, приложенной к поверхности щели, получены формулы для определения поверхности щели. Коэффициент интенсивности напряжений выражается в виде асимптотического ряда по степеням безразмерного параметра. [c.383]

При исследовании задачи о вдавливании узкого, прямоугольного в плане штампа в упругое полупространство В. М. Александров и М. А. Сумбатян [7] развили асимптотический подход, основанный на методе малых Л , который позволил построить эффективное приближенное решение исходного уравнения. Показано, что для данной задачи трансформанта ядра соответствующего интегрального уравнения Фредгольма первого рода имеет в нуле логарифмическую особенность. Посредством приближенной факторизации трансформанты ядра решение таких уравнений получены в простой аналитической форме. При исследовании аналогичной задачи некоторыми другими авторами [40,41] оказалось, что уравнение, анализируемое в этих работах, соответствует вырожденному решению задачи, описывающему распределение давления в удалении от границ штампа и не улавливающему характер его поведения вблизи острых кромок. [c.140]

Системы СИУ (34), (37) имеют нулевые индексы и, стало быть, являются квазифредгольмовыми для них три основные теоремы Ф. Нетера равнозначны трем теоремам Фредгольма. Соответствующие системы СИУ распадаются на п независимых СИУ, допускающих простые замкнутые решения в адекватном ОСЗ классе функций, что обеспечивает возможность эффективного применения к исследованию исходных систем СИУ метода регуляризации Карлемана-Векуа. Характерным свойством ядер в регулярных частях систем СИУ (34), (37) является наличие корневых особенностей одновременно по обеим переменным, что делает их нефредгольмо-выми и приводит в результате регуляризации к системам интегральных уравнений типа Фредгольма третьего рода. Для сравнения напомним, что канонические СИУ с фредгольмовыми ядрами в регулярной части сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. [c.223]

При исследовании динамических контактных задач для нолуограниченных тел выбор методов исследования напрямую зависит от значений частоты колебания. Случаи низких и средних частот могут быть изучены с применением регулярных методов (см. гл.1) — метод ортогональных многочленов, метод больших Л , метод фиктивного поглош,ения, прямые численные методы и т.д. С ростом частоты колебания регулярные методы, как правило, приводят к алгебраическим системам очень высокой размерности и при дальнейшем росте частоты теряют устойчивость. Сингулярные асимптотические методы (в частности, метод малых Л ) с успехом применялись к решению высокочастотных контактных задач в антиплоском случае [1,2], где символ ядра основного интегрального уравнения допускает факторизацию в простой форме. Данный параграф посвящен развитию сингулярных методов для задач, в которых известные стандартные подходы, как правило, не приводят к явным аналитическим решениям. Изложение, в основном, следует работам автора [3-5]. [c.278]

Между тем интегральные уравнения давно перестали быть лишь средством для общих теоретических исследований за последнее время разработаны довольно эффективные методы численного их решения, в особенности для случая, когда они содержат лишь простые (а не кратные) интегралы, как это имеет место в интересующем нас случае. Поэтому весьма важно иметь такие интегральные уравнения, ядра которых непосредственно и просто связаны с элементами линий, составляющих границу области, и не содержат элементов, определение которых требует предварительного решения вспомогательных граничных задач, вроде задачи Дирихле (или ей эквивалентной), что требуется для нахождения функций ш (С) или М (2, 2о). [c.360]

В работе Хантера [71] решена двумерная задача о качении жесткого цилиндра с постоянной скоростью по вязкоупругому полупространству, причем рассмотрен случай, когда можно пренебречь инерционными силами. Исследование выполнено в рамках линейной теории, деформации считаются малыми, и граничные условия на поверхности относятся к недеформированному состоянию среды. Подход, примененный в работе, заключался в представлений нормальной составляющей поверхностного смещения в виде интеграла от существующего решения задачи о движении распределенной линейной нагрузки, что привело к сингулярному интегральному уравнению отцосительно искомой функции поверхностного давления (вязкоупругий аналог формулы Буссинеска). Решение задачи осуществлялось путем эквивалентного преобразования интегрального уравнения в уравнение с обычным логарифмическим ядром относительно дифференциального оператора давления. Замкнутый вид решения был получен для материала, физические свойства которого описываются одной функцией ползучести и одним временем ретордации. Однако при обобщении результатов этого исследования и распространении их на более общий случай вязкоупругого тела, у которого ползучесть характеризуется конечным числом времен релаксации, метод при- [c.401]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...