ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Исследование ядра и решения интегрального уравнения из "Пространственные задачи теории упругости " Обозначим через 0(т) угол, составляемый с осью z касательной к контуру L в точке т. Его производная по дуге dQlds, т. е. кривизна контура, предполагается удовлетворяющей условию Я( о). [c.340] При помощи представлений 29 для 0(i, f ) можно убедиться, что ( 2(т, Tq) при г Ф г удовлетворяет условию Щцо) по обеим переменным. Когда т = Тд (Im Tq Ф Ф 0), имеет место логарифмическая особенность. Можно также показать, что произведение [т — To1 = . (to, т) принадлежит классу Я по обеим переменным везде на L, так как производные от т — т 0(т, Тд) имеют ту же оценку, что и ( i(To, т). [c.342] В ТОМ случае, когда То находится в окрестности точки а, интеграл в (37.2) представим в виде сзшмы интегралов ио дугам аа и а хд. Интеграл по аа = Ь уже исследован интеграл по дуге а хд исследуется тем же методом, что и по дуге ахд. [c.343] Выше мы предполагали, что 1т т О, 1т т 0. Остальные слз аи расположения т и То можно привести к рассмотренному при помощи соотношений (36.13). [c.343] В итоге получим, что функция Q Xf т) при х Ф Хд и X Ф Хо удовлетворяет условию Н(цо) по переменной т но второй переменной т она принадлежит классу Нд, имея скачок в точке а. При совпадении т с Т(, и Тц (1т Т(, =/= Ф 0) имеет место особенность логарифмического типа если 1т То = О, то (то, т) принадлежит классу //д. [c.343] Перейдем к остальным членам ядра К Хо, т). [c.343] Отсюда вытекает, что (т , т) имеет те же особенности и то же представление (37.6), что и ( (То, т). [c.344] Таким образом, интегральное уравнение (36.11) является уравнением Фредгольма второго рода, ядро которого имеет слабую особенность при т = Т(, и т =Тд. [c.344] как это показано в [94], 51, функция 2(т ) нри ядре К Гд, т), имеющем представление вида (37.6), будет ограниченной, так как вследствие произвольности К всегда можно сделать так, чтобы а + X было меньше единицы. Если же F x) ограничена везде, то 2(То) удовлетворяет условию Н на L. [c.345] Несколько усложняя рассуждения [94], 51, легко убедиться, что функция Q(tq) будет удовлетворять условию Н и тогда, когда F r) принадлежит классу Н. [c.345] Эта производная удовлетворяет условию Я, так как ему удовлетворяют а(то), F(x ) и обобщенный интеграл типа Коши, входящий в состав (То). [c.347] Пусть заданная функция у(то) имеет производную i 4to). удовлетворяющую условию Я. [c.347] Будем искать решение уравнения в классе интегрируемых функций, описанных в начале этого пункта. Функция I2(tq) при этом будет ограниченной. Следовательно, F(to) также ограничена как сумма ограниченных (функций — Q(to) и —у(то). Отсюда в свою очередь вытекает принадлежность Q(to) классу П. Продолжая рассуждения дальше, легко убедиться, что функция / (т) имеет производную Р х) класса Я. [c.347] Как было показано в п.4 31,производная обобщенного 1гнтеграла типа Коши удовлетворяет условию Я(ц,),если этому условию удовлетворяет производная от плотности Р(х). [c.351] Когда точка Тд не принадлежит окрестности ни одного из узлов, то результаты npeдыдyп eгo пункта остаются справедливыми, и функция й(Тц) будет иметь производную класса Я. [c.351] Отсюда следует, что функция Й(То) имеет производную по То, принадлежащую классу Я и имеющую представление вида (31.15) в окрестности каждого узла с. [c.352] Вернуться к основной статье