Периодические решения основных уравнений

Доказательства приведенных основных положений, относящихся к периодическим решениям системы уравнений движения, можно найти в работах [11 ], [86]. [c.57]

Основные идеи метода. Случай неавтономной системы, близкой к произвольной нелинейной. Математические основы метода малого параметра применительно к теории периодических решений дифференциальных уравнений были заложены в классических сочинениях А. Пуанкаре в конце XIX века [56]. Первостепенную роль при использовании метода Пуанкаре играет теория устойчивости движения и теория периодических решений дифференциальных уравнений, развитая примерно в тот же период А. М. Ляпуновым [35]. [c.51]

Определенному решению этих уравнений действительно соответствует при достаточно малых значениях ц единственное аналитическое относительно J. и устойчивое периодическое решение основной системы с периодом ((г), обращающееся при И = О в порождающее, если все корни алгебраического уравнения степени k — 1 [c.55]

Определенному решению а1 = а ,. . . , ад = а уравнений (2.10) действительно отвечает единственное периодическое решение основной системы дифференциальных уравнений, аналитическое относительно я и обращающееся при [д, = О в порождающее, если определитель А X Лг-матрицы [c.160]

Заметим, что основное содержание методов малого параметра [34] и асимптотических методов [20] может трактоваться как исследование специфических бифуркаций и возмущений. Так, теория периодических движений Пуанкаре решает вопрос о рождении периодических движений от семейств периодических движений, теория квазилинейных систем с быстровращающимися фазами — вопрос о рождении интегральных тороидальных многообразий от многопараметрических семейств тороидальных многообразий, теория дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных исследует сингулярные возмущения решений дифференциальных уравнений и т. д. [c.267]

Нахождение вынужденного решения нелинейного уравнения второго порядка, описывающего консервативную нелинейную колебательную систему с одной степенью свободы при периодической вынуждающей силы, можно осуществить, отыскивая это решение в виде ряда Фурье с основной частотой, равной частоте воздействующей силы [c.99]

Далее излагаются элементы теории дифференциальных уравнений и уравнений в конечных разностях в объеме, необходимом для того, чтобы в дальнейшем не отсылать читателя к многочисленным источникам, сообщающим эти сведения в различном духе и с использованием различных обозначений. Здесь основное внимание уделяется вопросам решения уравнений с периодическими коэффициентами и уравнений в конечных разностях (глава 2). [c.8]

Разложение решения по собственным формам колебаний при сохранении заданного вида периодических нагрузок. Основное преимущество рассмотренного выше способа — разделение уравнений — никак не связано с тем или иным конкретным видом возмущающих сил оно столь же легко достигается в случае произвольно заданных возмущающих сил (i), (i), как и в рас- [c.253]

Выше обсуждалась лишь главная часть решения дифференциальных уравнений основная гармоника колебаний а os vt + Е) и среднее значение угловой скорости Q. Кроме этой главной части, решение содержит малые гармоники комбинационных частот в составе колебательного движения и малые периодические составляющие угловой скорости. [c.91]

Приближенные уравнения для основных параметрических резонансов. На границах областей неустойчивости, отвечающих простым резонансам (18), уравнение (3) имеет хотя бы одно либо Т-, либо гГ-периодическое решение. Отсюда можно вывести, что коэффициенты уравнения на границах этих областей удовлетворяют следующим соотношениям [c.129]

Таким образом, получаем два основных типа стационарных колебаний- колебания, соответствующие постоянному решению, или, как говорят, точке покоя уравнений (101), и колебания, соответствующие периодическому решению. [c.79]

Как правило, правые части уравнений (2) таковы, что после подстановки вместо и Ир их выражений (1), соответствующих синхронным движениям, эти правые части становятся периодическими функциями безразмерного времени т = at с периодом 2я. В результате основная задача о синхронизации сводится к установлению условий существования и устойчивости периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих (в наиболее важном случае слабо связанных объектов) малый параметр ц. Это обстоятельство позволяет использовать для решения задач о синхронизации эффективные методы малого параметра, изложенные в гл. II, в частности, методы Пуанкаре и Ляпунова. Дальнейшее изложение существенно опирается на материал п.3 гл. II. [c.218]

Устойчивость несущего винта с учетом аэроупругости может быть оценена путем численного решения нелинейных уравнений движения для определения переходного процесса. Недостаток такого подхода заключается в том, что для определения Переходного процесса требуется существенно больший объем вычислений, чем для получения периодического решения (которое, кстати говоря, должно быть определено как исходное состояние для переходного процесса), и в том, что по переходному процессу не так просто получить количественную информацию о полной динамике системы. Альтернативным подходом является расчет устойчивости с учетом аэроупругости при помощи методов теории линейных систем (см. разд. 8.6). Линейные дифференциальные уравнения описывают возмущенное движение несущего винта и вертолета относительно балансировочного положения. Затем устойчивость оценивается непосредственно по собственным значениям. При этом подходе основная трудность заключается в получении уравнений движения, описывающих систему, что является условием применения эффективного аппарата теории линейных систем. В случае рассмотрения всего вертолета при расчете устойчивости с учетом аэроупругости одновременно определяются динамические характеристики вертолета как жесткого тела, что также важно для характеристик устойчивости и управляемости. [c.692]

Первый член соотношения (6.1) представляет собой решение для установившегося периодического состояния, второй член — для неустановившегося состояния. Первый член можно найти из первых основных уравнений при помощи рассуждений, используемых в 6 гл. II (см. соотношения (6.4) — [c.109]

Целью этого сообщения является, во-первых, краткое изложение основных аналитических подходов, широко используемых при анализе и конструировании решений нелинейных уравнений естественной конвекции, и, во-вторых, описание одной новой конструкции и ее возможностей для построения периодических решений пространственной конвекции. Изложенные здесь методы используются или могут быть использованы при решении широкого круга задач механики сплошной среды, которые описываются квазилинейными системами уравнений в частных производных. [c.371]

Теперь мы установим основные утверждения относительно периодических решений уравнения (17.1). [c.276]

Периодическое решение уравнения (36.6) будем искать по методу Фурье. Основной области параметрического резонанса соответствует, как известно, движение с частотой, равной половине частоты возбуждения. Поэтому полуцелое периодическое решение можно представить в виде разложения Фурье [c.256]

Волновые вторичные течения. Перейдем к рассмотрению вторичных режимов, возникающих в результате колебательной неустойчивости основного течения. Они описьшаются уравнением (34.3) с параметрами if и ф, отличными от нуля. На нелинейную эволюцию возмущений оказывает существенное влияние зависимость фазовой скорости от волнового числа (дисперсия) и от амплитуды (нелинейный сдвиг частоты). Предельные режимы могут быть гораздо разнообразнее, чем в случае стационарных течений. Тем не менее, уравнение обладает семейством пространственно-периодических решений типа монохроматической волны [c.245]

Нелинейные системы. Большинство задач теоретической и математической физики приводят к нелинейным уравнениям [85-93]. Консервативные системы с одной степенью свободы всегда интегрируемы. В предыдущих лекциях мы получили решения одномерных нелинейных систем частицы в поле Эккарта (см. лекцию 5) и математического маятника (см. лекцию 14), которые демонстрируют типичные свойства нелинейных колебаний 1) периодическое решение, разложенное в ряд Фурье, содержит бесконечное число гармоник основной частоты, 2) период колебаний зависит от полной энергии. [c.161]

Необходимо подчеркнуть также (это не всегда делается при изложении метода) особую роль, которую играет в методе Пуанкаре теорема о существовании неявных функцией. По существу, основная идея метода и состоит в сведении вопроса о существовании периодических решений системы дифференциальных уравнений к вопросу о существовании неявных функций. Специфика состоит лишь в том, что особый интерес представляют особые случаи, как правило, не рассматриваемые в общих курсах и руководствах. [c.159]

В основном с теми же трудностями связано фактическое построение периодических решений в виде рядов по целым (или, в особых случаях, по дробным) степеням малого параметра. Как и в большинстве методов последовательных приближений сложность вычислений быстро возрастает по мере увеличения номера приближения. Во многих прикладных задачах, однако, оказывается вполне достаточным вычисление порождающего приближения (2.8) при условии, конечно, что параметры. . ., а найдены из уравнений (2.10). [c.160]

При решении системы уравнений (15.33), определяюш их1 функции U2 (х, у, t), 2 (xj у, t) и 2 (xj у, t), в обш ем случае получается периодическая составляюш ая с двойной частотой и, кроме того, не зависяш ая от времени стационарная составляюш ая, которая изменяет основное течение и может быть истолкована как вторичное течение такого же рода, как и в п. 1 настояш его параграфа. [c.404]

Здесь излагаются основные результаты А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре по общей теории периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений, которые будут использованы в следующих главах нашей книги. [c.123]

Но уравнения невозмущенного кеплеровского движения заведомо имеют периодические решения, орбиты которых (эллипсы или окружности) могут лежать в плоскостях, образующих любой угол с основной координатной плоскостью. [c.334]

Задача, которую мы предполагаем теперь решить, заключается в нахождении некоторого частного решения этих уравнений, а именно того частного решения, которое соответствует случаю, в котором Е равно нулю. Так как мы пришли к тому, что хну разлагаются по синусам и косинусам кратных 2В или 2т, то м ы видим, что это частное решение является периодическим. Эта задача полностью была решена Хиллом "" ), и мы здесь изложим его основные результаты. [c.477]

Первые строгие результаты о неинтегрируемости гамильтоновых систем принадлежат Пуанкаре. Сущность идеи Пуанкаре состоит в том, что сложное поведение решений (например, рождение невырожденных периодических решений, расщепление асимптотических поверхностей и т. д.) несовместимо с полной интегрируемостью уравнений Гамильтона. В этой главе изложены основные методы доказательства неинтегрируемости гамильтоновых систем, основанные йа выявлении различных нетривиальных динамических эффектов, не свойственных вполне интегрируемым системам. Более подробное изложение содержится в работе [13]. [c.226]

На основании условия (S.27), приведенного в п. 8, можно утверждать, что периодическое решение устойчиво. Полученные зависимости для определения периодического решения системы уравнений движения машинного агрегата с упругими звеньями являются достаточно простыми для численных расчетов. Основная трудоемкость заключается в отыскании корней характеристического полинома и вычетов относительно полюсов передаточных функций соответствующих подыинтегральных выражений. Указанное не является специфической особенностью рассматриваемого метода, а присуще всем точным методам, причем в сравнении с известными методами предложенный отличается наименьшей трудоемкостью. Следует отметить, что отыскание экстремальных значений функций s ep (О и r-i (О представляет собой весьма сложную задачу (особенно для машинных агрегатов со значительным числом масс). В этой связи большой практический интерес представляет метод оценок, позволяющий построить огибающую колебательного процесса [371. Для модуля любой компоненты решения системы уравнений движения машинного агрегата в работе [37 I получены оценки типа (й 1, 2,. . п г 1, 2,. . п — 1) [c.96]

Метод усреднения решения дпфференциальных уравнений движения дисперсных частиц. Для построения различных приближений полученного уравнения в аналитическом виде используем метод усреднения, основные полон 0ния которого изложены в книге Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Мптропольского (1963). В соответствии с этим методом решение уравнений (4.6.10) для движения дисперсных частиц будем искать в виде разложения по степеням ц вплоть до и суперпозиции медленного или усредненного движения и периодического дрожания , амплитуды и частоты которого медленно меняются по координате [c.364]

Очевидно, что любую сложную неоднородную гидросистему можно представить как систему, состоящую из I простых трубопроводов постоянного диаметра, соединенных между собой. Поэтому с помощью этих соотношений можно решать задачи о периодических движениях жидкости для сложных разветвленных систем трубопроводов. Полагая при этом, что для каждого последующего участка сопротивлением нагрузки служит входной импеданс предыдущего участка и пользуясь для узловых точек соотношениями между граничными импедансами простых трубопроводов, полученными в теории цепей, можно найти входной импеданс всей сложной системы. При этом импедансы сосредоточенных неоднородностей типа фильтров, обратных и предохранительных клапанов, местных сопротивлений и т. д. определяются методами электрогидравлической и электромеханической аналогий. Решение системы уравнений проводилось на ЭЦВМ БЭСМ-ЗМ для гидросистемы (рис. 1) со следующими значениями основных параметров [c.17]

Ответ на поставленные выше основные вопросы, таким образом, зависит от того можно ли найти единственные Т-периодические решения х1 (О уравнений (43), (44), а также будут ли ряды (42) сходящимися, по крайней мере при достаточно малых Решение этих вопросов существенно зависит от характера системы уравнений (46) которая играет первостепенную роль в дальнейшем и которую, следуя А. Пуанкаре, называют уравнениями в вариациях для порождаюш,ей системы, составленными для порождающего решения. [c.53]

Таким образом, для фактического построения рядов (42) необходимо найти пери-одическге решения систем неоднородных линейных уравнений с периодическими коэффициентами, однородная часть ) оторых совпадает с уравнениями в вариациях (46). Для этого, вообще говоря, требуется знание общего решения указанных уравнений в вариациях. Однако, поскольку в данном случае нас интересует не вычисление основных частей искомого решения, которые определяются порождающим приближением, а поправочных членов, то можно воспользоваться каким-нибудь известным приближенным методом нахождения периодических решений, не требующим интегрирования однородной системы (46). [c.57]

Во-вторых, результаты, полученные методом задачи Римана — Гильберта, охватывающим структуры из бесконечно тонких плоских экранов или экранов с осевой (центральной) симметрией, стимулировали поиск подходов, позволявших бы также эффективно анализировать электродинамические свойства решеток других типов. Эта проблема частично решена с появлением метода, в основе которого лежит аналитическое преобразование матричных уравнений типа свертки [25, 57, 58, 92, 93]. Методологическая основа у этих подходов общая — обращение части оператора некорректного исходного операторного уравнения. Отличает их техника выполнения процедуры полуобращения (решение задачи сопряжения теории аналитических функций и вычисление главных частей в разложении Миттаг — Леффлера мероморных функций), а также то, что в первом подходе выделяется и обращается статическая часть задачи (и = 0), а во втором — часть задачи, отвечающая определенной геометрии периодического рассеивателя. По существу при этом использовалась возможность явного аналитического решения задач статики и дифракции плоских волн на системе идеально проводящих полуплоскостей [38, 40]. Недавно полученные в [94—96] результаты, видимо, также могут послужить основой для создания новых вариантов метода полуобращения. Эффективность последнего подтверждается практическим решением проблемы дифракции волн в резонансной области частот на периодических решетках основных типов 124, 25, 58] идеально-проводящих эшелеттах, решетках жалюзи и ножевых, плоских ленточных и решетках из незамкнутых тонких экранов, решетках из брусьев металлических и диэлектрических с прямоуголь- [c.8]

Модуляция равновесного градиента температуры или ускорения силы тяжести не исчерпывает всех возможностей параметрического воздействия на конвективную устойчивость. Однако эти два способа наиболее естественны с точки зрения реализации в экспери]У1енте. Основное их различие состоит в том, что при вертикальных колебаниях полости с жидкостью модулируемый параметр — ускорение поля тяжести — остается однородным по объему. При колебаниях же температуры на границах равновесный градиент температуры зависит не только от времени, но и от координат модуляции градиента в основном сосредоточены, в приграничном слое, толщина которого уменьшается с увеличением частоты (температурный скин-эф-фект). При низких частотах модуляции градиента это отличие пропадает, и в этом случае оба способа параметрического воз" действия оказываются, в сущности, эквивалентными. Определение границ устойчивости при этом сводится к нахождению периодических решений некоторой стандартной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, с периодическими коэффициентами ( 33). Для прямоугольного закона модуляции решение этих уравнений может быть получено точно для синусоидального закона области устойчивости и неустойчивости определяются численно ( 34). В предельном случае вертикальных вибраций высокой частоты простые результаты получаются с помощью метода усреднения ( 35). В 36 рассмотрена [c.237]

Основные результаты по неинтегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона принадлежат В. В. Козлову, С. Л. Зиглину, С. В. Болотину. Они обсуждаются в книгах [92, 97] и связаны с расщеплением асимптотических поверхностей, ветвлением решений на комплексной плоскости времени, рождением большого числа невырожденных периодических решений. Вершиной этого направления являлась бы теорема, что общие случаи существования дополнительного вещественно-аналитического интеграла исчерпываются случаями Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, а для частных интегралов к ним надо добавить случай Горячева-Чаплыгина. К сожалению, в полном объеме эта гипотеза до сих пор не доказана, несмотря на отдельные и довольно существенные продвижения [97]. [c.90]

Соответствующую задачу мы называем для краткости з а-дачей Хилла. Мы изложим здесь вывод основных уравнений задачи Хилла и метод Ляпунова для нахождения периодических решений этой задачи в виде абсолютно сходящихся периодических рядов. [c.271]

Появление такого рода вековых и смешанных вековых членов не вызвано каким-либо особым свойством, присущим уравнениям движения, а представляет собой следствие принятого метода интегрирования. В теории движенпя спутника значения движений перигея и узла вводятся с самого начала процесса интегрирования и исправляются при последовательных приближениях. При таком способе вычислений мы не допускаем появления времени в коэффициентах периодических членов. В теории движения планет положение является гораздо более сложным. Кроме того, те выражения, которые понадобились бы для представления решения в форме, напоминающей решение основной задачи в теории движения Луны, оказались бы очень громоздкими из-за медленной сходимости разложения в ряд возмущающей функции по степеням отношений больших осей. [c.436]

При исследовании большинства практически интересных задач решения точных уравнений построить не удается, а в. тех случаях, когда это оказывается возможным, анализ физических явлений затруднителен. Поэтому применяются менее строгие теории, сохраняющие наиболее важные основные положения точного исследования, математический и физический анализ которых существенно упрощается. Однако, приближенные теории не могут представить высшие формы колебаний и в тех случаях, когда высшие формы несут значительную часть энергии, приближенные теории будут приводить к ошибке. Показательной в этом отношении является работа Р. J. Тогу1ка и J. J. МсС1а1сЬеу [2,2061 (1968), в которой исследуется распространение волн в полубесконечном упругом слое, к торцу которого приложена периодическая во времени равномерно распределенная продольная сила. Решения разыскиваются в виде рядов по собственным функциям задачи, В силу полноты системы функций эти ряды усекаются с заданной погрешностью и, следовательно, гра- [c.174]

Покажем теперь, как, пользуясь представлением об авторезонансе и заранее постулировав существование у уравнения (3.59) периодического решения, близкого к синусоидальному, можно получить приближенные выражения для амплитуды основного тона и для частоты этого решения. [c.236]

Однако следует ясно отдать себе отчет, что найденные по уравнениям (3.63) амплитуда и частота, вообще говоря, отнюдь не являются амплитудой основного тона и частотой точного периодического решения (даже если, как мы предположили, такое точное решение действительно существует и имеет малый клирфактор )), так как мы при переходе к вынужденному рассмотрению вместо точного решения подставили Л os mt. Можно ожидать, что мы получим следующее приближение к амплитуде основного тона и частоте [c.237]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...