Полнота системы функций

После разрешения системы уравнений (9.11) при любых N вопрос о получении таким путем в пределе при ТУ оо точного решения связан не только с полнотой системы функций но и со сходимостью ряда (9.9). [c.393]

Требование полноты системы функций связано с приближением решения к точному. Практически задачи решаются при ограниченном числе аппроксимирующих функций и во многих случаях достаточно взять две-три из них для того, чтобы получить вполне удовлетворительный результат. [c.66]

Полнота системы функций 353 Полоса на абсолютно твердом основании 174, 180 Постоянная упругая 82 Потенциал Лапласа 213, 250 [c.363]

Как было уже показано в гл. 7, 2, п. 4, сохранение потока, являющееся следствием эрмитовости гамильтониана, ведет к унитарности S-матрицы. Из свойств ортогональности и полноты системы функций 2/ вытекает, что при каждом значении / матрица Si>s, u должна быть унитарной, т. е. [c.418]

Из полноты системы функций Од вытекает, что они образуют в некотором смысле полный набор решений Флоке уравнения 2 и = 0. В самом деле, умножая уравнение 2 и = О на Т7д и интегрируя по Ф, получаем при весьма общих предположениях относительно и [c.249]

Тогда, используя полноту системы функций Ф , формулу (1.15) можно представить в виде [c.24]

Что такое полнота системы собственных функций линейных операторов [c.107]

Это равенство доказывается на основе полноты системы собственных функций, относительно которых вычисляются матричные элементы. В классической теории вместо (50.30а) выполняется соотношение [c.264]

Система собственных функций обладает свойством полноты любую функцию сравнения можно разложить в ряд по собственным функциям и этот ряд будет равномерно и абсолютно сходиться в интервале (а, в), для которого сформулирована данная задача. [c.301]

Полнота нормальных волн в полосе. При решении ряда практических задач, например при расчете полосы на вынужденные колебания, требуется определить, можно ли произвольную функцию разложить но системе функций, описывающих нормальные волны. Речь идет о свойстве нормальных волн, называемом полнотой. Ниже вопрос полноты изучается на основе общих результатов, полученных М, В. Келдышем [179]. [c.199]

Такое представление функции напряжений было, в частности, использовано в [146] при решении задач об изгибе пластинок переменной толщины. Там же доказана полнота этой системы функции, что для вариационных методов весьма существенно [97]. [c.153]

Точное представление произвольной функции f(x) на интервале а<.х<Ь посредством таких сумм далеко не всегда возможно и зависит от свойств этой функции и от наличия так называемой (см. стр. 263) полноты бесконечного множества или системы функций tp,- (л) (г = 1, 2, 3,...) на данном интервале изменения аргумента. [c.262]

Предполагая полноту системы собственных функций, принадлежащих точечному спектру собственных значений оператора М, [c.25]

Для распространения этого преобразования на весь класс функций 2 [0, 1 достаточно воспользоваться полнотой системы собственных функций ф(А, 0 . [c.20]

Замечание 5. Для сходимости метода Бубнова - Галеркина достаточно потребовать полной непрерывности оператора С, положительной определенности оператора А и полноты системы базисных функций принадлежащих области определения операторов А и С (681 [c.184]

Определение всех коэффициентов а,- из линейной системы (182), а затем предельный переход в (181) при п оо редко осуществимы, поэтому обычно ограничиваются лишь конечным (небольшим) числом п, при этом условие полноты координатных функций отпадает. [c.118]

Каждая система функций (при фиксированных значениях индексов i и У) должна удовлетворять свойствам полноты и линейной независимости. [c.52]

Здесь X/ — корни уравнения Ji (Я) =0 / i и определяются равенствами (1.9). Выбором значений последовательности произвольных постоянных Bj можно удовлетворить произвольные условия по на торцах г = h. При этом используется свойство полноты и ортогональности системы функций (Я,г) при указанном выборе Xj. Значения первых корней К/ для различных номеров I содержатся в работе [188]. Для вычисления величин Я, при больших номерах / используется формула [230, т.2] [c.235]

То же замечание применимо почти ко всем общи.м решениям, полученным при использовании более ранних методов. В самом деле, их значительно легче раскритиковать, так как при их использовании обычно предполагают, что произвольную функцию можно разложить в ряд по некоторой системе функций, но не проверяют эту систему на полноту таким образом, возникает опасность исключения части решения (см. сноску к стр. 201). В настоящее время строго проанализировано лишь очень мало даже сравнительно простых задач, в которые входят произвольные функции. (Вопрос о радиальном тепловом потоке в цилиндре кругового сечения рассматривается в заметке Мура [1].) [c.467]

Каким условиям должна удовлетворять координатная система функций Что означают условия линейной независимости полноты [c.165]

Таким образом, следующие навстречу друг другу волны, составляющие низшую моду конфокального резонатора, обладают объясняющим рекордно низкие потери такого резонатора экстремальным свойством они осуществляют оптимальную передачу энергии между двумя апертурами (этот результат для частного сл> ая апертур одинакового размера другим способом был пол> ен еще в [80]). Нетрудно видеть, что данные волны не могут составить моду какого-либо иного резонатора, зеркала которого "вписаны в те же апертуры. Поскольку, с другой стороны, мы пришли к выводу об экстремальности указанных волн исходя только из полноты и ортонормированности соответствующей системы функций, предположение о существовании других резонаторов с подобными системами функций противоречит этому выводу. [c.150]

Свойство полноты системы вектор-функций их [c.51]

Таким образом, предложенный в предыдущей главе метод конечных элементов совпадает, по существу, с методом Ритца. Из общих результатов 2 приложения II следует, что для доказательства сходимости метода при /i = max/г , О достаточно проверить полноту системы функций (4.3) в F последняя проблема сводится к исследованию возможности аппроксимации функции из V кусочно-полиномиальными функциями. [c.158]

Тогда уравнения (13.8.4) линейны и однородны для существования нетривиального решения необходимо, чтобы детерминант системы был равен нулю. Это условие приводит к алгебраическому уравнению степени к относительно Вследствие неравенства Рэлея наименьший корень этого уравнения будет давать верхнюю оценку для которая может только улучшиться с увеличением к. При увеличении к корень уравнения с номером т будет стремиться к величине при этом нельзя сказать сверху или снизу. Доказательство этой теоремы мы не приводим, заметим лишь, что для ее выполнения необходима полнота системы функций fi, т. е. возможность представления любой допустимой системы перемещений Uj в виде (13.3.5). Описанная приближенная процедура определения частот носит название метода Ритца. [c.438]

О полноте системы функций см., например, книгу С. Г. Михлипа (сноска на с. 386). [c.394]

Полнота системы функций. Система функций Vi(x),. .. называется на данном интервале а х Ь иолной, если при помощи сумм вида [c.263]

При исследовании большинства практически интересных задач решения точных уравнений построить не удается, а в. тех случаях, когда это оказывается возможным, анализ физических явлений затруднителен. Поэтому применяются менее строгие теории, сохраняющие наиболее важные основные положения точного исследования, математический и физический анализ которых существенно упрощается. Однако, приближенные теории не могут представить высшие формы колебаний и в тех случаях, когда высшие формы несут значительную часть энергии, приближенные теории будут приводить к ошибке. Показательной в этом отношении является работа Р. J. Тогу1ка и J. J. МсС1а1сЬеу [2,2061 (1968), в которой исследуется распространение волн в полубесконечном упругом слое, к торцу которого приложена периодическая во времени равномерно распределенная продольная сила. Решения разыскиваются в виде рядов по собственным функциям задачи, В силу полноты системы функций эти ряды усекаются с заданной погрешностью и, следовательно, гра- [c.174]

Полнота системы собственных функций, в теории линейных операторов доказывается, что система собственных функцргй широкого класса линейных операторов является полной ортогональной системой функций, т. е. не существует функции, которая была бы ортогональной всем функциям системы. Исходя из этого утверждения доказывается, что любая функция, удовлетворяющая весьма щироким математическим условиям, которые в физических приложениях, как правило, выполняются, может быть разложена по полной ортогональной системе собственных функций линейного оператора, т.е. представлена в виде бесконечного ряда [c.108]

Хотя предложенный метод является приближенным для N < оо, в принципе погрешность можно сделать сколь угоднО малой при достаточно большом числе N и достаточно близких друг к другу значениях Хг. Это следует из свойства полноты системы интегрируемых с квадратом функций, в рядах Дирихле [87]. На практике, однако, точность обращения ограничивается гладкостью изображений по Лапласу. Ошибки за счет округления, неизбежные при любых численных представлениях, и погрешности при интерполяции, например при 1юлучении ассоциированного упругого решения методами конечных разностей или конечных элементов, определяют нижнюю границу погрешности для квадратичного отклонения [19, 84, 87]. Оказывается, что для принятых численных значений изображений Лапласа при сближении Хг квадратичная ошибка сначала уменьшается, а затем увеличивается. Этот рост отражает перемену знака возрастающих членов в функции Д/с(0- [c.146]

Перемещения и, v, w в деформируемой области аппроксимируются системой функций, содержащих некоторое число неопределенных парамеаров, причем безразлично, будут ли эти перемещения функциями одного, двух или трех переменных, важно лишь, чтобы при аппроксимации наиболее полно были отражены особенности ожидаемого решения и удовлетворены условия на границах области. Г1э сообрая ени1 полноты решения выбирается и число неопределенных параметров. Возможностями машины это число, как нравило, не лимитируется. Обычно для практически необходимой точности достаточно бывает 5—10 параметров (5—10 степенен свободы). [c.166]

Если в качестве координатных функций gi (х) взята полная система функций, то увеличивая число членов ряда (2.80), можно теоретически с любой степенью точности определить требуемое количество собственных значений Р и построить соответствующие им собственные функции задачи. Но при практическом использовании метода Галеркина, как и метода Рэлея—Ритца, приходится ограничиваться сравнительно небольшим числом членов ряда (2.80). Точность и трудоемкость решения определяются не полнотой системы координатных функций, а тем, насколько удачно выбраны первые функции этого ряда. [c.73]

В задачах устойчивости обычно требуется найти первое собственное значение, дающее критическую нагрузку. Поэтому при выборе координатных функций следует стремиться к тому, чтобы первый член ряда точнее отражал характер первой собственной функции решаемой задачи, а все последующие члены ряда играли бы роль уточняющих поправок. Один из наиболее естественных и надежных путей выбора координатных функций состоит в использовании собственных функций родственной самосопряженной и полностью определенной задачи, допускающей точное аналитическое решение. Например, если задача устойчивости сводится к решению уравнения с переменными коэффициентами, то, осреднив значения коэффициентов, можно перейти к вспомогательной задаче с теми же граничными условиями, но с постоянными коэффициентами. Определив систему собственных функций для этой вспомогательной задачи, затем можно их использовать для построения приближенного решения уравнения с переменными коэффициентами. Такой путь решения обычно дает возможность с высокой точностью определять критические нагрузки даже при сравнительно небольшом числе членов ряда (два-три) при этом гарантируется полнота системы координатных функций. [c.73]

Предполагая полноту системы собственных функций, принадлежащих точечному спектру собственных значений оператора L, можно использовать метод разложения в ряд Фурье любой интересующей нас функции /(г,т), при этом знание биортогонального базиса позволяет просто вычислить коэффициенты разложения. Действительно, умножив равенство вида [c.215]

Поскольку доказано свойство полноты системы собственных функций, т. е., что решение, соответствующее произвольным кусочно-гладким начальным данным, может быть получено суперпозицией собственных ко. ебании, то для получения характеристического уравнения можно пользоваться методом Фурье, быстрее приводящим к цели. [c.139]

Система функций г[ )(х), (х). .. называется полной на отрезке asgXig /., если для любой непрерывной функции f (х) на [а, Ь] всегда можно подобрать п и коэффициенты Со. l, с так, что среднее квадратичное отклонение (х) = СоЧ]),, (х) -f (х) + +. .. +с Фл(х) от (х) становится меньше любого сколь угодно малого положительного числа, т. е. говорят, что S (х) сходится в среднем к функции /(х). Условие полноты системы ортогональных функций iji,, (х), [c.76]

В предположении о гёльдеровости индикатрисы в полноте системы регулярных и сингулярных собственных функций характеристического уравнения, которая является основой аналитического метода решения краевых задач для уравнения переноса (метода Кейза). С помогцью этого метода, в частности, удалось найти формулы, описываюгцие асимптотическое поведение эешения неоднородного уравнения переноса в полу бесконечной среде [40]. [c.775]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...