Перемещения и деформации в пластинке

Перемещения и деформации в пластинке [c.113]

Доказательство теоремы Кирхгофа было основано на допущении, что малым деформациям, которые могут возникать при допускаемых на практике напряжениях, будут соответствовать весьма малые перемещения точек тела и потому можно не делать различия в распределении сил до и после деформации. Когда мы переходим к телам, у которых один или два размера малы, т. е. исследуем вопросы о равновесии тонких пластинок или тонких стержней, то здесь встречаемся с возможностью появления весьма значительных перемещений при деформациях, не выходящих за допускаемые пределы. В таких случаях приходится принимать во внимание те изменения в действии сил, которые обусловлены перемещениями при деформации. В качестве простейшего примера приведем подробно рассмотренную нами задачу об одновременном действии на балку продольной силы и поперечных нагрузок. Если бы мы в этой задаче при оценке действия продольной силы исходили из первоначальной прямой формы, то заключили бы, что продольная сила вызывает лишь растяжение или сжатие стержня. Иной результат мы получим, если примем во внимание перемещения, вызванные деформацией. Мы находим, что продольная сила влияет на изгиб стержня и это влияние при некоторых условиях может быть весьма значительным. [c.257]

Чтобы выразить через перемещение и, надо обратиться к соотношениям упругости (2.3) между компонентами напряжения и деформации в изотропном теле. При выбранных направлениях осей перемещение V в направлении у и —напряжение, перпендикулярное пластинке, равны нулю, так что из первого и третьего уравнений (2.3) [c.79]

Самой сильной в смысле влияния на упрощение расчета является гипотеза о характере перемещений или деформаций, когда пренебрегают второстепенными особенностями в кинематической картине рассматриваемого явления. В каждой характерной задаче такая кинематическая гипотеза формулируется особо. Так, при изгибе балок имеется закон плоских сечений, при изгибе пластинок средней толщины и тонких оболочек — гипотеза прямых нормалей, т. е. предположение, что совокупность точек, лежавших до деформации пластинки на какой-либо прямой, нормальной к упругой срединной плоскости, остается на прямой, нормальной к упругой поверхности деформированной пластинки. [c.132]

Потенциальная энергия деформации, накопленная в пластинке, численно равная работе внешних по отношению к пластинке сил тЬ (у) (1г и %Ь (у) с1у на соответствующих им перемещениях ф и определяется выражением (рис. 12.64) [c.195]

Режим нулевых полос в голографической интерферометрии в реальном времени более сложен, чем исследования с применением голографии двух экспозиций или с усреднением во времени, главным образом потому, что в первом случае трудно избежать изменений положения голографической пластинки относительно механического устройства, на котором укреплены оптические элементы и объект. В этом случае улучшить экспериментальные результаты поможет разработка устойчивой кинематической схемы для держателей пластинки, а также монтажа оптических элементов и держателей объекта [45]. Основной принцип состоит в том, чтобы в конструкции содержался минимум ограничивающих деталей, достаточный для исключения любой конкретной степени свободы движения объекта. Например, все держатели голограммных пластинок вне зависимости от того, используются они в интерферометрии или нет, должны содержать кинематический узел, сводящий к минимуму деформацию пластинки во время экспозиции. Чтобы ориентировать прямоугольную пластинку в плоскости как по положению, так и по углу, вполне достаточно использовать только три штифта. Аналогично требуются лишь три точки, чтобы установить положение этой плоскости следовательно, чтобы обеспечить точную ориентацию голограммной пластинки, держатель должен иметь только шесть опорных точек. Для поддержки пластинки относительно подкладок и для обеспечения сил трения, удерживающих пластинку относительно ориентирующих штифтов, приходится применять дополнительные штифты, однако эти силы трения не должны быть очень велики. Держатель пластинки, сконструированный с учетом кинематических принципов, не будет коробить пластинку и может быть использован для перемещения голограммы после экспозиции, но с достаточной степенью аккуратности, чтобы больше ничего в схеме не изменилось при этом условие нулевых полос будет соблюдаться по всему полю голограммы. [c.544]

Вторая часть работы П. А. Велихова посвящена подбору выражений для напряжений. В самом начале автором не установлено, что он будет трактовать задачу как случаи плоской деформации, и потому в дальнейшем изложении ему приходится делать ряд оговорок, например, на стр. 41 при определении напряжений Fj, Z ,na стр. 46 относительно напряжения Zj—это делает само изложение запутанным. При составлении выражений для перемещений на стр. 48 автор почему-то пропускает произвольные функции, которые войдут при интегрировании, они должны быть так определены, чтобы исключить перемещения пластинки, как целого. При определении коэффициентов, на стр. 50, автор пользуется положением, что распределение напряжений не зависит от упругих свойств материала. В случае плоской задачи это всегда верно только для односвязных контуров, для сложных контуров необходимо еще выполнение дополнительных условий ). (В случае, разобранном у П. А. Велихова, эти условия соблюдены.) [c.122]

Входящие в эти уравнения четыре неизвестные Ti, Т,, Gi и G, могут быть выражены через перемещения и а w при посредстве зависимостей между деформациями и перемещениями, с одной стороны, и деформациями и напряжениями, с другой. На основании самых элементарных геометрических соображений можем написать такие выражения для относительных удлинений срединной поверхности пластинки в радиальном направлении и в направлении, ему перпендикулярном [c.317]

Случаи, рассмотренные нами до сих пор, также относятся к таким деформациям, не сопровождающимся растяжением срединной оболочки. Действительно, в примере, рассмотренном в 107 и относящемся к устойчивости равновесия пластинки, стр. 316, мы видели, что в выражении для работы упругих сил остается только член, происходящий от изгиба, это значит, что /i = 0. Можно также непосредственно заметить, что в этом случае равенства (96) выполняются. Именно, если бесконечно малые перемещения точек срединной поверхности пластинки в напра лении, перпендикулярном к ней, мы обозначим через w, то будем иметь [c.364]

На основе классической теории деформации пластинок исследуются свободные осесимметричные колебания кольцевых пластинок переменной толщины. Для решения дифференциального уравнения, определяющего поперечное движение таких пластинок, применен метод коллокаций. Перемещение элемента пластинки аппроксимируется полиномом Чебышева в функции от радиальной координаты. В качестве примера рассматриваются две первые формы колебаний пластинки с линейным законом изменения толщины, для которой частоты и формы свободных колебаний были получены при различных значениях постоянных в функции от изменения толщины и отношения внутреннего и наружного радиусов пластинки. [c.7]

Эволюция рельефных особенностей земной поверхности (проявляющаяся в виде высоких материковых горных цепей, обширных возвышенностей и огромных океанических впадин) и проявления пластической деформации и разрыва пластов горных пород издавна привлекали внимание специалистов-механи-ков и вдохновили их описать состояние напряжений и деформаций верхней твердой части земной коры и происходящие здесь относительные перемещения. Явления длительного образования и пластического деформирования пластов горных пород изучаются в геологии, а кратковременные динамические воздействия — в сейсмологии. Однако отдельные избранные вопросы, поддающиеся упрощенному механическому исследованию, могут быть затронуты в этой последней главе, поскольку они тесно связаны с проблемами, рассмотренными ранее в этой книге — такими как, например, теория давления грунта или [c.745]

Как давно уже указывал Шмидт ), такие волнообразные деформации следует рассматривать не как изгибание или выпучивание , а просто как следствие сдвиговой деформации переменной интенсивности, направление которой наклонно пересекает первоначально параллельные пласты. Внутри слоя конечной толщины Ь нарушение, если оно не является фактически трещиной сдвига, характеризуется перемещением и части А (рис. 17.5) относительно части В горы. Это перемещение зависит от координаты у, измеряемой по перпендикуляру к плоскости сдвига, и=1 у). При этом создается деформация чистого сдвига переменной интенсивности [c.747]

Рассмотрим, в качестве примера, случай плоского напряженного состояния в пластинке. Обозначим через и V составляющие действительных перемещений под действием нагрузок, н через Ьи и IV — составляющие возможного перемещения от положения равновесия при нагрузке. Эти последние составляющие являются произвольными малыми величинами, удовлетворяющими условиям непрерывности упругой деформации, т. е. они являются непрерывными функциями от д и [c.157]

Следует иметь в виду, что даже при малых удлинениях и сдвигах формулы (17) часто являются недостаточными при анализе деформаций и устойчивости гибких тел (стержней, пластинок, оболочек) вследствие того, что элементы таких тел могут испытывать значительные перемещения и повороты [3]. [c.17]

Воспользуемся системой координат, принятой при рассмотрении изгиба жестких пластинок (см. рис. 18 гл. 17). Введем следующие обозначения и — радиальное перемещение точек срединной поверхности Ъг — деформация удлинения в радиальном направлении бф — деформация удлинения в направлении, перпендикулярном к радиусу. Деформации в срединной поверхности [2] [c.608]

Пластинка, толщина которой б мала по сравнению с остальными размерами, подвергается действию приложенных по контуру сил, лежащих в срединной плоскости пластинки. Положим, что нам известен закон распределения напряжений. Задача заключается в том, чтобы найти, как изменятся напряжения, если в какой-либо точке пластинки, удаленной от контура, сделать круглое отверстие малого диаметра. Частный случай поставленной задачи решен Г. Киршем ), им разобран случай растяжения пластинки. Свое решение Г. Кирш получил путем подбора. Процесса этого подбора решения он не приводит, а дает окончательные значения перемещений и деформаций и показывает, что они удовлетворяют основным уравнениям теории упругости. Недавно вышла по этому же вопросу новая работа П. А. Велихова ). Хотя автор в начале своей работы и указывает, что ему при отыскании решения много помогла гидродинамическая аналогия, но в действительности опять все сведено к постепенному подбору решения. В заключение этой работы автор приходит к результатам Г. Кирша. Ниже мы подробно остановимся на работе П. А. Велихова, здесь же предлагаем решение задачи прямым путем, а не путем подбора. Такое решение вполне возможно, если рассматривать задачу как плоскую и воспользоваться общим решением ее в случае кругового кольца ). [c.106]

Дело Б том, что в многосвязных телах (телах с пустотами или отверстиями) возможно существование таких полей совместных деформаций, которым отвечает локально-разрывное поле перемещений. Рассмотрим тонкую пластинку с отверстием (рис. 2.10, а) как простейшее двухсвязное тело. Превратим ее в односвязное тело, проведя разрез через точку М (рис. 2.10, б). Пусть поле деформаций, возникающих в пластине с разрезом, будет совместным и ему будут отвеча-чать непрерывные функции перемещений во всем объеме. Но в общем случае в точках и М , принадлежащих разным берегам разреза, возникнут разные перемещения Ф м, м, = т. е. вдоль линии разреза возникнут разрывы в перемещениях. При интегрировании уравнений Коши для пластин с отверстием надо такие поля перемещений исключить. Поэтому в дополнение к уравнениям совместности составляются условия однозначности перемещений для точек воображаемого разреза, а именно [c.36]

Принцип голографической интерферометрии состоит в следующем. После экспонирования и фотообработки голограмму устанавливают на прежнее место, освещают лазерным пучком и. наблюдают сквозь нее объект, также оставшийся на прежнем месте, но получивший какие-либо деформации механические, тепловые и т. д. причем оператор увидит объект, покрытый сетью интерференционных полос. Интерференционная картина в данном случае возникает в результате интерференции двух фронтов световых волн отраженного от объекта в момент наблюдения и восстановленного с голограммы предметного пучка. Интерференционные полосы являются геометрическим местом точек равных перемещений, полученных объектом. Часто метод голографической интерферометрии реализуется другим способом. Об состоит в том, что на одну и ту же пластинку двумя экспозициями Босле-довательно записываются голограммы от объекта, находящегося в исходном в деформированном состоянии. При этом суммарная экспозиция должна находиться в пределах линейного участка характеристической кривой фотоэмульсии. [c.78]

Результаты исследований в области теории малых упруго-пластических деформаций, а также обобщение теорем о работе сил упруго-пластических деформирующихся систем позволили рассмотреть предельные состояния конструкций и их элементов по критерию допустимых перемещений и допустимых нагрузок. Применение метода переменных параметров упругости и итерации для составления и решения соответствующих уравнений в ряде случаев в интегральной форме дало возможность решить большой круг конкретных задач расчета по предельным состояниям для брусьев, пластинок, дисков, оболочек, толстостенных резервуаров. Тем самым была найдена возможность использования резервов несущей способности детален и конструкций, связанных с уируго-нластическим нерераспределением напряжений и параметрами диаграммы деформирования материала. [c.41]

Обозначения Р — полное давление п кГ р — нагрузка на единицу длины цилиндра или едини ну длины пластинки в кГ1см q — среднее давление на единицу площади контакта в кГ см — наибольшее давление по площадке контакта, раоное наибольшему сжимающему напряжению, в кГ слС-, max t — наибольшее касательное напряжение шах о — наибольшее растягивающее напряжение с — радиус площадки контакта по кругу или половина шнрины прямоугольной площадки контакта а и f — наибольшая и наименьшая полуоси эллиптической площадки контакта w — величина сближения по линии давления точек обеих деталей, удаленных от зоны контакта, из-за деформации в зоне контакта (или величина перемещения в направлении, параллельном давлению по отношению к неподвижной удаленной точке) Е — модуль продольной упругости р. — коэффициент Пуассона I н 2 — индексы, соответствующие первой п второй деталям. [c.420]

Колебат. механич. системами Э. п. могут быть стержни, пластинки, оболочки разл. формы (полые цилиндры, сферы, совершающие разл. вида колебания), механич. системы более сложной конфигурации. Колебат. скорости и деформации, возникающие в системе под воздействием сил, распределённых по её объёму, могут, в свою очередь, иметь достаточно сложное распределение. В ряде случаев, однако, в механич. систем можно указать элементы, колебания к-рых с достаточным приближением характеризуются только кинетич, и потенц. энергиями и энергией механич. потерь. Эти элементы имеют характер соответственно массы М, упругости I / С и активного механич. сопротивления г (т.н. системы с сосредоточенными параметрами). Часто реальную систему удаётся искусственно свести к эквивалентной ей (в смысле баланса энергий) системе с сосредоточенными пара.меграми, определив т. н. эквивалентные массу Л/, , упругость 1 / С , и сопротивление трению / . Расчёт механич. систем с сосредоточенными параметрами может быть произведён методом электромеханич. аналогий. В большинстве случаев при электромеханич. преобразовании преобладает преобразование в механич, энергию энергии либо электрического, либо магн. полей (и обратно), соответственно чему обратимые Э.п. могут быть разбиты на след, группы электродинамические преобразователи, действие к-рых основано на электродинамич. эффекте (излучатели) и эл.-магн. индукции (приёмники), напр, громкоговоритель, микрофон электростатические преобразователи, действие к-рых основано на изменении силы притяжения обкладок конденсатора при изменении напряжения на нём и на изменении заряда или напряжения при относит, перемещении обкладок конденсатора (громкоговорители, микрофоны) пьезоэлектрические преобразователи, основанные на прямом и обратном пьезоэффекте (см. Пьезоэлектрики) электромагнитные преобразователи, основанные на колебаниях ферромагн. сердечника в перем. магн. поле и изменении магн. потока при движении сердечника [c.516]

Клебш первый занялся исследованием задачи плоского напряженного состояния и дал решение для круглой пластинки (см. с тр. 310). Другой случай, имеющий большое практическое значе-лие, был решен Харлампием Сергеевичем Головиным (1844— 1904) ). Он заинтересовался деформациями и напряжениями круговых арок постоянной толщины. Рассматривая задачу как двумерную, он сумел получить решения для систем, представленных на рис. 170. Он находит, что в условиях чистого изгиба (рис. 170, а) поперечные сечения остаются плоскими, как это обычно и принимается в элементарной теории кривого бруса. Но найденное им распределение напряжений не совпадает с тем, которое дается элементарной теорией, поскольку последняя предполагает, что продольные волокна испытывают лишь напряжение о, простого растяжения или сжатия, между тем как Головин доказывает существование также и напряжений а , действующих в радиальном направлении. При изгибе же, производимом силой Р, приложенной к торцу (рис. 170, б), в Киждом поперечном сечении возникают не только нормальные напряжения, но также и касательные, причем распределение последних не следует параболическому закону, как это предполагается в элементарной теории. Головин вычисляет не только напряжения для такого кривого бруса, но также и его перемещения. Имея формулы перемещений, он получает возможность решить и статически неопределенную задачу арки с защемленными пятами. Проделанные им вычисления для обычных соотношений размеров арок показывают, что точность элементарной теории должна быть признана для практических целей вполне достаточной. Исследования Головина представляют собой первую попытку применения теории упругости в изучении напряжений в арках. [c.419]

Далее ), введем некоторое среднее для всей толщины пластинки значение w поперечного перемещения, равно как и некоторые средние значения ср и ср для угловых деформаций (поворотов) сечений соответственно д = onst, у = onst. Определим эти величины, приравнивая работу результирующих пар на средних углах поворота и работу равнодействующих сил на среднем перемещении работе соответствующих напряжений на фактических перемещениях Uq, Vq и Wq в том же сечении, т. е. положим [c.193]

Перемещения и и w, входящие в уравнения (6), представляются функциями только г, и мы можем получить ИХ значения вычислительным путем. Расположим начало координат в центре искривленной пластинки, тогда при условии симметричной деформации будем иметь при г=0 ы = О, о = О и dwldr=0. [c.318]

Рассмотрим предварительно распределение напряжений в неограниченной пластинке при действии сосредоточенной силы. К решению этой задачи мы придем, складывая две пластинки, ограниченные прямолинейными краями АВ и А1В1 и нагруженные силами Р (рис. 52). Использовав решение (72), найдем, что по краям пластинок АВ и А В нет никаких напряжений. Каждая пара соответствующих точек т ж п будет совершать только вертикальное перемещение, одинаковое для обоих точек, поэтому обе пластинки после деформации можно сложить. Получим одну неограниченную пластинку, к которой приложена сила 2Р. [c.113]

Первое систематическое рассмотрение устойчивости равновесия упругих тел принадлежит Дж. Брайану Он выяснил пределы применимости теоремы Кирхгофа и показал, что при условии малых деформаций она отпадает, если только один или два размера тела можно считать малыми. При этом явление неустойчивости может иметь место в пределах упругости, если произведение модуля упругости Е на квадрат отношения малого размера к конечному будет того же порядка, что и предел упругости материала. Дальнейшая разработка общей теории устойчивости равновесия упругих тел принадлежит Р. Саусвеллу Он устраняет ограничение относительно малости деформаций и оперирует с идеальным телом бесконечно большой прочности. При этих условиях и тела, у которых все размеры одного порядка, могут оказаться в состоянии неустойчивого равновесия. Исходя из однородного напряженного состояния тела, Р. Саусвелл дает точкам тела весьма малые перемещения и, v, w ) и для этой отклоненной формы пишет дифференциальные уравнения нейтрального равновесия, причем считает начальные деформации конечными. То соотношение между внешними силами и размерами тела, при котором полученные уравнения дают для и, у и w решения, удовлетворяющие условиям на поверхности, определяет критическое значение нагрузки в рассматриваемом случае. Применяя свой общий метод к тонким стержням и пластинкам, Р. Саусвелл нашел, что имеющееся решения задач устойчивости являются лишь первыми приближениями, хотя и вполне достаточными для практических приложений. Мы в дальнейшем ограничимся этими приближенными решениями, отсылая интересующихся теорией вопроса к работе Р. Саусвелла. [c.258]

С другой стороны, ползучесть сопровождается упругой и пластической деформацией. Непрерывный рост перемещений со временем вследствие ползучести может привести систему в такое состояние, что перемещения ее мгновенно изменяются на конечную величину. В геометрически нелинейных системах может произойти упругий хлопок, в пластических элементах — мгновенное выпучивание вследствие исчерпания упруго-пластического сопротивления. При решении задач ползучести момент хлопка или выпучивания обнаруживается тем, что скорость роста перемещений обращается в бесконечность при некотором конечном значении перемещений и конечном времени, которое принимается теперь за критическое. Как известно, для начально искривленного стержня из упруго-пласти-ческого материала величина критической сжимающей силы зависит от начального прогиба. Наоборот, если сила задана, то можно указать начальный прогиб, для которого эта сила будет критической. Увеличение прогиба вследствие ползучести можно считать эквивалентным увеличению начального прогиба упруго-пластического стержня таким образом, при любой величине сжимающей силы в некоторый момент достигается критическое состояние. Однако ползучесть вызывает перераспределение напряжений поэтому, как показал С. А. Шестериков (1963), приведенная простая схема пригодна лишь для однопараметрической системы. Исследование выпучивания стержней при наличии пластических деформаций численным методом дано в работе В. И. Ванько и С. А. Шестерикова (1967). [c.145]

Состояние исследований переходных процессов деформации в оболочках и пластинках подробно освещено в обзоре Л. Я. Айнолы и У. К. Ни-гула (1965), некоторые Дополнения к нему можно найти в обзорном докладе автора (Н. А. Алумяэ, 1966). Ограничимся здесь сжатым изложением основных результатов. Некоторые данные об ударе о произвольную оболочку приведены уже в монографии Н. А. Кильчевского (1949), в которой оболочка моделировалась по теории Кирхгофа — Лява возникающие при ударе перемещения определены путем применения теоремы о взаимности работ. [c.252]

Составляющие деформации в ортогональных криволинейных координатах. Рассмотрим деформацию элемента abed, вырезанного из пластинки двумя смежными кривыми а и двумя смежными кривыми (фиг. 104). Если н Up — составляющие перемещения точки а по направлениям нормалей щ и /ij, то 1 риволинейиые координаты точки а после деформации будут, согласно уравнению [97], равны [c.194]

Исследуем количественные соотношения для описанного важного случая внутренней концентрации напряжений, приводяш,ей к образованию шкpoтpeш,ины. На рис. 129 слева показана деформация двух пластинок (слоев структурных составляющих). Из рисунка видно, что разность значений относительного удлинения в данном сечении пластинок компенсируется разностью приращений перемещения и. обусловленного действием напря- [c.166]

На рис. 20.17 для примера показано, что каждая горизонтальная линия получила одинаковые вертикальные перемещения и искривлена по некоторой кривой v=v (х). Предположим, что сфотографировали сетку линий до и после деформации и совместили их изображения, как это показано на рис. 20.17. При таком наложении возникает оптический эффект, состоящий в появлении так называемых темных и светлых муаровых полос. Малые относительные смещения пересекающихся систем линий. вызывают значительные перемещения муаровых полос, которые движутся наподобие волн по поверхности пластинки (муар — от французского слова moire — волнообразный рисунок). Чувствительность муаровых полос к малым смещениям пересекающихся линий и позволяет использовать муаровый эффект для измерения смещений и деформаций. [c.539]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...