Равновесие тонкой пластинки

Это задача о равновесии тонкой пластинки под воздействием системы сил, параллельных срединной плоскости пластинки (рпс. [c.57]

Равновесие тонкой пластинки [c.68]

Плоским напряженным состоянием будем называть равновесие тонкой пластинки под действием сил, приложенных к контуру в средней плоскости пластинки. Примем прямоугольную систему координат xyz, плоскость z = О которой является средней плоскостью пластинки, а ось z направлена перпендикулярно этой плоскости. [c.349]

Одномерные осесимметричные задачи, для которых напряженно-деформированное состояние зависит лишь от одной независимой переменной — радиуса г, являются относительно простыми (хотя и требуют иногда применения численных методов) и затрагивались уже ранее (полый шар и цилиндрическая труба под действием давления, осесимметричное равновесие тонкой пластинки и т. д.). В этих задачах можно учесть упругие деформации, упрочнение и другие механические свойства. [c.259]

В этой главе мы будем заниматься изучением некоторых частных случаев равновесия деформируемых тел и начнем с рассмотрения деформаций тонких пластинок. Когда мы говорим, что пластинка является тонкой, то подразумевается, что ее толщина мала по сравнению с размерами в двух других направлениях. Самые деформации по-прежнему считаются малыми. В данном случае критерием малости деформации является малость смещений точек пластинки по сравнению с ее толщиной. [c.60]

Первое уравнение представляет собой условие равновесия элемента пластинки в направлении радиуса (в направлении вектора вг), а второе — условие равновесия в направлении вектора т оно является уравнением изгиба круглой пластины при конечных прогибах (гибкая пластина). Если пластина жесткая й прогибы малы, то это уравнение линеаризуется и примет вид [c.391]

Закон парно< ти касательных напряжений. Рассмотрим деталь в виде тонкой пластинки, нагруженной в ее средней плоскости (рис. 2.7). Если в такой пластине толщиной Л = 1, находящейся в равновесии под действием сил Р ,. ... Рп, выделить прямоугольный элемент О А ВС с длиной сторон с1х и с1у, то по четырем его [c.132]

Для упругих стержней и пластинок в докритическом состоянии нет ни близких, ни дальних состояний равновесия, что можно проиллюстрировать картиной, представленной на рис. 45, а. В точке Р = Ркр появляются как угодно близкие состояния равновесия, а за этой точкой — дальние, и если до некоторой точки Р искусственно удерживать исходную форму равновесия, то при освобождении поддерживающих связей произойдет скачок в дальнее равновесное состояние, ибо состояние равновесия в точке Р неустойчиво и напоминает положение шарика на выпуклой поверхности. [c.168]

В 6.14 будет математически доказано, что если контур отверстия будет свободным от напряжений, или же силы, приложенные к этому контуру, будут находиться в равновесии, то выражения для напряжений не будут заключать упругих постоянных. Таким образом, распределение напряжений в растягиваемой пластинке с отверстием будет точно таким же, как и в пластинке той же самой формы и при такой же нагрузке, но изготовленной из другого материала. [c.419]

Важнейшие предпосылки теории тонких пластинок составляют также и базис для обычной (элементарной) теории тонких оболочек. Следует, однако, обратить внимание на существенное различие в поведении пластинок и оболочек под воздействием внешней нагрузки. Статическое равновесие элемента пластинки под поперечной нагрузкой возможно лишь в результате действия изгибающих и крутящих моментов, обычно сопровождающегося действием перерезывающих сил, тогда как оболочка в общем случае способна передавать распределенную по поверхности нагрузку через мембранные напряжения, которые действуют параллельно касательной плоскости в заданной точке срединной поверхности и распределены равномерно по толщине оболочки. Это свойство оболочки сообщает ей, как правило, значительно большую жесткость и большую экономичность в сравнении с пластинкой в тех же условиях. [c.13]

В принципе мембранные усилия не зависят от изгиба и полностью определены условиями статического равновесия. Методы определения этих усилий составляют содержание так называемой мембранной теории оболочек . Однако реактивные силы и деформации, находимые по этой теории у границ оболочки, оказываются обычно несовместимыми с реальными граничными условиями. Для того чтобы устранить это несоответствие, следует учесть эффект изгиба оболочки в ее краевой зоне, способный оказать некоторое влияние на величину начально вычисленных мембранных усилий. Этот изгиб, однако, носит обычно лишь локальный характер ) и поддается анализу на основе тех же допущений, что принимаются в случае малых прогибов тонкой пластинки. Приходится, однако, встречаться с задачами, в особенности относящимися к упругой устойчивости оболочек, для которых гипотеза малых прогибов перестает быть допустимой и где следует опираться на теорию больших прогибов. [c.13]

Сперва мы сообразим, как изменится аналогия Прандтля при обобщении ее на случай полого сечения. Представим себе, что мыльным пузырем затянуто отверстие, соответствующее сплошному контуру. Срежем верхнюю часть пузыря горизонтальной плоскостью и наложим на нижнюю часть пузыря пластинку соответствующей формы. Нижняя часть мыльной пленки пристанет к краям этой пластинки так же, как она соединялась раньше с верхней удаленной частью пленки. При сохранении пластинкой своего положения условия, в которых находится нижняя часть пленки, не изменятся, и она попрежнему останется в равновесии. Если пластинку, так же как и мыльную пленку, считать невесомой, то она также будет оставаться в равновесии. Это доказывается следующими соображениями. К пластинке будут приложены в сущности те же внешние силы, которые раньше удерживали в равновесии верхнюю часть пленки, так как очевидно, что давление воздуха на площадь пластинки статически эквивалентно давлению воздуха на внутреннюю поверхность верхней части мыльного пузыря это можно обнаружить непосредственно, рассмотрев равновесие объема воздуха, заключающегося между обеими упомянутыми поверхностями. [c.87]

Если такая система в начальный момент находилась в равновесии, то на первый взгляд в ней через некоторое время самопроизвольно повысится давление в левой части объема по сравнению с правой частью, так как какое-то количество газа пройдет через отверстие. Однако очень тонкая пластинка сама подвержена флуктуациям изгиба. По этой причине в известные моменты времени отверстие будет открываться и газ будет переходить слева направо. Поскольку флуктуации в газе происходят совершенно независимо от флуктуаций вещества запорного устройства, то среднее изменение давления окажется равным нулю. И в этом случае, и во всех других флуктуации нельзя использовать для систематического получения работы. Статистическая и феноменологическая термодинамика в этом вопросе не противоречат друг другу. [c.81]

Доказательство теоремы Кирхгофа было основано на допущении, что малым деформациям, которые могут возникать при допускаемых на практике напряжениях, будут соответствовать весьма малые перемещения точек тела и потому можно не делать различия в распределении сил до и после деформации. Когда мы переходим к телам, у которых один или два размера малы, т. е. исследуем вопросы о равновесии тонких пластинок или тонких стержней, то здесь встречаемся с возможностью появления весьма значительных перемещений при деформациях, не выходящих за допускаемые пределы. В таких случаях приходится принимать во внимание те изменения в действии сил, которые обусловлены перемещениями при деформации. В качестве простейшего примера приведем подробно рассмотренную нами задачу об одновременном действии на балку продольной силы и поперечных нагрузок. Если бы мы в этой задаче при оценке действия продольной силы исходили из первоначальной прямой формы, то заключили бы, что продольная сила вызывает лишь растяжение или сжатие стержня. Иной результат мы получим, если примем во внимание перемещения, вызванные деформацией. Мы находим, что продольная сила влияет на изгиб стержня и это влияние при некоторых условиях может быть весьма значительным. [c.257]

Как известно, уравнения плоской задачи теории упругости применяются к двум случаям равновесия упругого тела, а именно к случаю плоской деформации и к случаю плоского напряженного состояния, которое может иметь место при деформации тонкой пластинки силами, приложенными к ограничивающему ее контуру и действующими в ее плоскости [13]. [c.8]

Пусть требуется найти центр тяжести пластинки произвольной формы. Подвесив ее вершиной А к нити КА (рис. 62), увидим, что она займет определенное положение, соответствующее ее устойчивому равновесию. Вес пластинки уравновешивается реакцией со стороны нити в точке А. Обе эти силы имеют общую линию действия, совпадающую с вертикальной прямой АО, на которой, следовательно, лежит искомый центр тяжести поэтому проведем эту прямую, а затем подвесим пластинку в какой-ни-будь другой точке, например в точке В. Рассуждая так же, пробе [c.66]

Вывод уравнения равновесия тонкой упругой пластинки постоянной толщины. [c.343]

Уравнения плоской теории упругости непосредственно применяются к двум случаям равновесия упругого тела, представляющим большой интерес для практики, а именно к случаю плоской деформации и к случаю деформации тонкой пластинки силами, приложенными к ее обводу и действующими в ее плоскости ). Эти два случая подробно охарактеризованы в двух следующих параграфах. [c.87]

Относительно вопроса существования решения заметим пока следующее. С точки зрения математической, первая основная задача вполне эквивалентна, по крайней мере для конечных односвязных областей ), задаче равновесия упругой тонкой пластинки, заделанной по краям, при наличии нагрузки, нормальной к ее плоскости. Действительно, эта последняя задача может быть сведена к нахождению бигармонической [c.137]

Некоторые случаи равновесия бесконечной пластинки со вставленной круговой шайбой из другого материала ). При помощи простого видоизменения формул, полученных в 56а, легко решить ряд задач, важных с точки зрения технических приложений, касающихся равновесия бесконечной пластинки с круговым отверстием, заполненным шайбой из того же или из другого материала (также однородного и изотропного). [c.201]

Давление внутри Земли. В верхних слоях земной коры вблизи ее поверхности главные напряжения отличаются друг от друга и различны в разных точках пласта пород из-за местных нарушений их равновесия под действием собственного веса. Однако под этой поверхностной зоной состояние равновесия с увеличением глубины быстро становится приблизительно гидростатическим и характеризуется во всех точках, расположенных в горизонтальной плоскости, равными давлениями, действующими одинаково во всех направлениях. С этим связано длительное воздействие, вызывающее медленное необратимое деформирование пачек пород, примером чего служит рассматриваемое в 17.6 и 17.7 медленное горообразование, когда продолжительное время действуют очень малые разности между давлениями в горизонтальном и вертикальном направлениях. Мы предполагаем, что помимо вопроса об образовании складчатых гор читателя может заинтересовать получение простыми средствами некоторых точных сведений относительно порядка величины давления р, создаваемого внутри Земли под действием ее поля тяготения ). [c.757]

Так как силы, действующие на пластинку, должны находиться в равновесии, то должны быть выполнены условия [c.343]

Если — потенциальная энергия пластинки в плоской форме равновесия, а С/ — потенциальная энергия пластинки в искривленном состоянии равновесия, то критическая нагрузка определится из уравнения [c.74]

К исследованию устойчивости можно подходить и с более общих позиций устойчивости движения. Здесь следует говорить о неустойчивости или устойчивости плоской формы пластинки под действием сил, приложенных в срединной плоскости пластинки. Наряду с этой невозмущенной формой равновесия пластинки рассматривают близкие к ней возмущенные формы движения. Если сколь угодно малые возмущения вызывают во времени конечные отклонения от невозмущенного равновесия, то последнее называют неустойчивым. [c.75]

Г е р с е в а н о в Н. М. Общий метод решения упругого равновесия плоского изотропного тела и тонкой пластинки, ограниченных двумя кривыми линиями. Сборник института инженеров путей сообщения, Спб., 1910, вып. 76. [c.108]

Рассмотрим упругое равновесие плоской пластинки постоянной толщины к из однородного анизотропного материала, имеющей в каждой точке плоскость упругой симметрии, параллельную срединной. Предположим, что по- [c.139]

Выведем основное уравнение равновесия элемента пластинки. Если через (дг, у) обозначим распределённую по площади нагрузку, то условие равновесия сил, действующих на элемент (рис. 62), в проекции на ось г даёт [c.197]

С количественной стороны влияние пьезоэффекта на распространение упругих волн удобно характеризовать с помощью безразмер ной величины — коэффициента электромеханической связи /Сэ -Его можно определить следующим образом [5]. Рассмотрим задачу о статическом равновесии тонкой пьезоэлектрической пластинки толщины а с металлическими обкладками, характеризующейся наличием однородных напряжений Оц. В такой системе электрический потенциал ф, очевидно, зависит только от одной координаты г, отсчитываемой по нормали к пластинке. Поскольку в качестве независимых переменных мы будем использовать Оц и =—ПгФ, , уравнения состояния пьезоэлектрического кристалла удобно записать в виде [5, 61 [c.223]

Если величина сжимающих усилий невелика, то пластинка будет просто сжиматься, при этом ее срединная поверхность останется плоской. Если сжатую такими усилиями пластинку вывести из положения равиовесия (изогнуть), то после снятия возмущения, вызвавшего это отклонение, пластинка вернется в первоначальное состояние. Рассмотренная в этом случае форма равновесия является устойчивой. [c.270]

Если же положение равновесия было неустойчивым, то пластинка не возвращается в это положение, а отходит от него, все более изгибаясь. [c.273]

Скорость фильтрации по главным линиям максимальна, а по нейтральным линиям -минимальна. В центре кольцевой батареи скорость фильтрации равна нулю, т.е. частица жидкости, находящаяся в точке, в которой изобара пересекает сама себя, неподвижна. Такие точки фильтрационного поля называются точками равновесия и при разработке в окрестностях таких точек образуются застойные области . В условиях водонапорного режима в этих областях могут возникать целики нефти . Зная положения точек равновесия в пласте, можно находить рациональные приёмы для своевременной ликвидации целиков нефти. Одним из таких приёмов является изменение режима работы скважин, заставляющее нефть целика прийти в движение в нужном направлении. [c.97]

В случае пластинки с криволинейной кромкой аправляем оси координат в точке кромки по нормали п и по касательной т, как показано на рис. 52 и 53. Соотношения между Л1 Мпх , Qn и Мь 12, Qi, Q2 определяются из условий равновесия элемента пластинки, изображенного на рис. 52 и 53, [c.264]

Изохронный маятник Филлипса (Phillips). Дан маятник, ось вращения которого проектируется в точку О и центр тяжести которого находится в некоторый момент времени в точке G (рис. 223). Маленькая стальная пластинка DBE заделана концом D, где ее касательная горизонтальна и перпендикулярна к оси О. Конец Е пластинки свободен и немного переходит за вертикаль OV. Пластинка связана с маятником при помощи тяги АВ малого сечения и очень малой массы. Тяга соединена шарнирно с одной стороны с маятником в точке А и с другой стороны с пластинкой р точке В. В положении равновесия точка В находится в положении С на вертикали OV, так что ОС = ОА- - АВ. Кроме того, дано ОА — АВ. [c.133]

Вместо того чтобы пользоваться принципом виртуальных перемещений при вычислении коэффициентов в выражении (а) для прогибов, мы можем достигнуть того же результата из рассмотрения полной энергии системы. Если система находится в состоянии устойчивого равновесия, то полная энергия ее принимает минимальное из всех возможных значений. Прилагая этот принцип к исследованию изгиба пластинки, заметим, что полная энергия в подобных случаях состоит из двух частей, а именно из энергии деформации изгиба, данной выражением (Ь), и из потенциальной энергии нагрузки, распределенной по пластинке. Если положение элемента qdxdy нагрузки определять вертикальными его расстояниями w от горизонтальной плоскости лгу, то соответствующая ему потенциальная энергия может быть принята равной —wqdxdy, и потенциальная энергия всей нагрузки будет [c.382]

Полученные peзyльtaты, показывающие перспективность маслорастворимых нитрованных нефтепродуктов для ингибирования систем углеводород — вода и низкую эффективность в этом случае водораствори-М1ЛХ ингибиторов, хорошо согласуются с данными А. А. Гоника [70]. Последний объяснил полученные результаты на основе теории П. А. Ребиндера и его школы. В -случае, если металлическая пластинка опущена в систему углеводород — электролит, например минеральное масло —вода (рис. 25,й/б,в), то при установившемся равновесии часть пластинки будет контактировать с маслом, а другая часть с водой. [c.108]

Под плоской задачей теории упругости понимают плоскую деформацию упругой среды, параллельную заданной плоскости (деформация длинного цилиндра со свободными основаниями), либо плоское ее напряженное состояние (деформация тонкой пластинки силами, лежащими в ее плоскости). Определение упругого равновесия в этих случаях сводится к решению краевых задач для бигармонического уравнения. К бигармоничес-скому же уравнению сводятся задачи равновесия упругих пластинок, подверженных нормальной нагрузке. Плоские задачи и задачи об изгибе пластинок в математической их формулировке весьма сходны между собой, сходны и методы их решений. Поэтому целесообразно совместное рассмотрение этих двух типов задач. [c.40]

Наиболее важный результат, получаемый при этом предположении, — это Приближенное значение компонента напряжения Z . Если мы имеем дело с равновесием и пластинка плоская, то Zj, = 0 даже во втором приближении при том же условии, когда средняя поверхность кривая, Zg исчезает в первом приближении, ио во втором приближении мы принимаем этот компонент пропорциональным Л 1-—2 и линейной функции главных кривизн, а также величинам, определяющим изменение кривизны. Результаты относительно Zg и его выражения через Лиг можно иллюстрировать исследованием колебания бесконечно большой пластинкя конечной толщины, Которое базируется иа общих уравнениях колебания упругого тела. Такого род исследование произвел Релей 2) из его результатов видио, что в этом случае имеются виды колег аний, когда Z, исчезает во всей пластинке, для остальных же видов выражение Zj может быть развернуто в ряд по возрастающим степеням h к z, в кою-рь,й не будут входить члены ниже четвертого порядка. [c.568]

Так как эта пластинка стремится к определенному п0vтожeнию равновесия, то она способна совершать колебания определенных фундаментальных типов. Фиксировав наше внимание на одной из них, представим себе такое распределение w в трех остающихся квадрантах, чтобы в каждых двух соседних квадрантах значение в точках, являющихся изображениями друг друга относительно границы, разделяющей квадранты, было равно и противоположно. Если вся пластинка колеблется по только что определенному закону, то, для тою чтобы сохранять неподвижность линий ОЕ, PH, не требуется особой связи поэтому можно рассматривать всю пластинку как свободную. Аналогичным рассуждением можно показать, что существуют такие колебания, для которых диагонали являю 1ся узлами, а также такие колебания, для которых являются узлами как диагонали, так и только что рассмотренные диаметры. [c.398]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...