Формула Гамильтона

Вариационная формула Гамильтона. Вернемся снова к материальной системе, подчиненной связям, указанным в п. 3, и возьмем опять общее уравнение динамики [c.397]

Вариационная формула Гамильтона 399 [c.544]

Подставляя в формулу Гамильтона, представляем ее в виде уравнения [c.190]

Воспользуемся общей формулой Гамильтона (1) 135. Мы предположим, что сравниваемое движение твердых тел подчинено только условию, что начальные и конечные положения тел те же самые, как и при действительном движении далее предполагается, что [c.240]

Вместо тривиального случая 1, в котором то, что требуется доказать, предполагается имеющим место по совпадению, здесь получены уравнения (21) и (22) для определения функции ф дЛ,р) и множителя Л и формула гамильтониана (19). [c.231]

Условие ковариантности, долгое время игравшее пассивную роль и полезно проявляющее себя, пожалуй, лишь формулой Гамильтона—Кели, к настоящему времени приобрело решающее значение в создании правил описания анизотропии [1—3]. [c.85]

Циклические движеиия. Если связи ие содержат явно времеии, то для выражения энергии системы может быть использован символ Н или к. Если обозначить энергию через Е, то основная формула Гамильтона может быть записана в виде [c.353]

Воспользуемся далее формулой Гамильтона ( ) для кривизны векторной линии единичного ноля п. Ясно, что в рассматриваемом случае = О [c.23]

Выражение, стоящее в формуле (28) под знаком второй суммы, представляет собой скобку Пуассона от функции / и гамильтониана Н. Поэтому условие (28) можно переписать так [c.267]

На прямом пути удовлетворяются уравнения Лагранжа системы поэтому все выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла в формуле (61), тождественно равны нулю. Отсюда сразу следует, что на прямом пути вариация действия по Гамильтону равна нулю, т. е. что прямой путь является экстремалью рассматриваемой вариационной задачи — на прямом пути действие по Гамильтону достигает стационарного значения. [c.279]

Обратим внимание теперь на то, что справедливо и обратное утверждение если соответствующая а = 0 кривая из пучка, представленного на рис. VI 1.2, такова, что действие по Гамильтону достигает на этой кривой стационарного значения и при а = 0 вариация действия равна нулю, то эта кривая удовлетворяет уравнению Лагранжа, т. е. является прямым путем. Действительно, если положить равной нулю вариацию действия в левой части уравнения (61) и вспомнить затем, что вариации координат б<7у независимы и могут быть выбраны произвольно, то отсюда следует, что выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла, порознь равны нулю, т. е. что уравнения Лагранжа удовлетворяются всегда, когда в формуле (61) левая часть обращается в нуль. [c.280]

Легко показать, что экстремаль является инвариантом преобразований, т. е. если преобразования (62) выполняются одновременно над кривой пучка, представляющей собой экстремаль, и над функционалом, то преобразованная кривая остается экстремалью для преобразованного функционала. Отсюда и из обратного утверждения принципа Гамильтона (см. выше) сразу следует, что преобразованный прямой путь удовлетворяет уравнениям Лагранжа с лагранжианом L, который определяется по формуле (64). [c.281]

Иг теграл (74) имеет вид действия по Гамильтону, заданного на однопараметрическом семействе кривых, и поэтому можно воспользоваться общей формулой (60) для вариации действии б/. В силу (60) имеем [c.289]

Для построенного таким образом семейства можно рассмотреть действие по Гамильтону и вариацию действия. Для вариации действия по Гамильтону воспользуемся формулой (60). Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что все кривые однопараметрического семейства являются прямыми путями и, следовательно, на них тождественно выполняются уравнения Лагранжа. Поэтому интеграл, стоящий в правой части формулы (60), в данном случае тождественно обращается в нуль, и формулы для приращения функционала содержат только проинтегрированную часть [c.295]

Итак, произвольный выбор производящей функции S, удовлетворяющей условию (129), сразу позволяет получить как формулы для соответствующих свободных канонических преобразований, так и выражение для гамильтониана преобразованной системы через новые гамильтоновы переменные. В этом смысле выбор функции S и числа с О задает свободное каноническое преобразование. [c.319]

Подставив полный интеграл V в формулу (153) и воспользовавшись затем обычными формулами (134) метода Гамильтона — Якоби, получим [c.333]

Теперь из формул (5.50) можно получить искомое преобразование (5.32) и новую функцию Гамильтона Н. [c.146]

Вычислим функцию Гамильтона по формуле (1.25) [c.16]

Теперь по формуле (1.25) получим функцию Гамильтона. Имеем [c.17]

Матрица коэффициентов С квадратичной формы функции Гамильтона Hi может быть вычислена по формуле [c.111]

Кинематические уравнения для параметров Эйлера (параметров Родрига-Гамильтона) свободны от вырождений. Вращение твердого тела (см. стр. 105) определено формулой [c.136]

Доказательство. Согласно теореме 9.4.1, дифференциал функции действия по Гамильтону выражается формулой [c.659]

Ясно, что если е = О, то величины Qi и Д в силу уравнений движения будут постоянными. Тем самым мы еще раз доказали теорему 9.4.2 Якоби. Закон движения, соответствующий функции Гамильтона Но, имеет вид преобразования координат, в котором изменяется только 1, а величины а,-, Д, г = 1,..., 71 принимаются постоянными. Закон движения с функцией Гамильтона Я дается точно такими же формулами, что и закон движения с функцией Гамильтона Но, но координаты 1,..., о , Д,..., Д заменяются решением системы канонических уравнений с функцией Гамильтона еНх. [c.696]

Уравнения Гамильтона. Полный дифференциал функции Гамильтона вычисляется по формуле [c.242]

Таким образом установлена полная эквивалентность между off-щам уравнением динамики (13) и вариационной формулой Гамильтона, которой теперь уже на законном основании можно приписывать название принциг а. [c.401]

В случае произвольной системы материальных точек простота предыдущей теоремы нисколько не нарушается при условии, что дифференциальным уравнениям динамики дадут ту замечательную форму, в которой их впервые представил Гамильтон и которую отныне следует предпочесть во всех общих исследованиях, относящихя к аналитической механике. Правда, формулы Гамильтона относятся исключительно к случаям, когда составляющие сил являются частными производными одной и той же функции координат однако было нетрудно внести изменения, необходимые для того, чтобы сделать эти формулы применимыми в общем случае, когда силы выражаются любыми функциями координат. [c.296]

Для распределения замкнутых включений ингредиента в сплошной среде основного компонента в случае их различной формы применима приближенная формула Гамильтона — Гроссера [c.101]

Формула Гамильтона — Кэлн для двумерных, то есть принадлежащих поверхности,- тензоров второго ранга приобретает вид , [c.48]

Вследствие всего сказанного формула Гамильтона пртгаи-мает вид [c.189]

Заменив здесь по формуле Гамильтона —Кэли р = = 1[ - /О -о + / / Е, после подстановки в (6) получим [c.372]

Если связи не содержат явно времени, то Т будет квадратичной однородной функцией скоростей, в силу чего 2 (дТ1дд ) д = = 2Т. В этом случае Н — Т — 11. Так как имеет место интеграл живых сил, то Т — и Н, где Н — постоянная, которая представляет энергию системы. Только что выведенная формула Гамильтона принимает теперь более простой вид 1 [c.339]

Движение системы не будет периодическим с периодом i, если опо ие является главным колебанием. Предположим, что движение представляется суммой нескольких главных колебаний или. в более общем случае, пусть движеиие имеет вид, называемый в главе о живой силе в т. I стационарным движением. Если теперь средние берутся для очень большого интервала времени i, то приведенные уравнения еще справедливы. Для того чтобы показать это, вернемся к формуле Гамильтона (1). После деления па t= i последний член правой части становится очень малым, потому что движение таково, что коордннаты q в этом члене не растут бесконечно со временем. Следовательно, имеем 26 (iTm)/i = ЬЕ, и доказательство заканчивается так же, как и ранее. [c.354]

Тензоры, являющиеся функциями тензорных аргументов, рассматривались в случае тензоров второго ранга. В этом случае функциональные связи между тензорами сводятся к функциональным соотношениям между квадратными матрицами. В этой области основные результаты сводятся к формуле Гамильтона — Кэли и к ее обобщению на случай нескольких матричных аргументов [ -г, 26-28] [c.437]

Общий тензорно-инвариантный вид этих соотноиюпин может быть установлен на основании известной формулы Гамильтона—Келп. [c.38]

Первая из формул Френе ( ) с помогцью соотношения ( ) позволяет получить формулу Гамильтона (W.R. Hamilton) для кривизны векторной линии единичного ноля п (см. также [ ], с. 23, 24). Согласно этой формуле, вектор кривизны и векторной линии ноля п вычисляется как [c.23]

Пз формулы Гамильтона следует, что вектор rot п принадлежит спрям-ляюгцей плоскости векторной линии ноля п. Скалярным умножением ( ) на и находится следуюгцее выражение для кривизны линии ноля [c.23]

Условие расслоеппости поля п ( ) наряду с формулой Гамильтона ( ) позволяют однозначно найтн ротор поля п [c.41]

Эта формула устанавливает зависимость между действием по Лагранжу W и действием по Гамильтону S Сопоставим теперь принцип Мопертюи— Лагранжа с принципом Гаммльтона — Остроградского. В принципе Мопертюи — Лагранжа сравниваются движения консервативной системы, oeepuiaejWM с одной и той же энергией, тогда как в принципе Гамильтона —Остроградского сравниваются движения, совершаемые за один и тот же промежуток времени. [c.411]

Записанный так функционал, определенный на пучке (40), носит название действия по Гамильтону и играет важную роль при исследовании движения а потенциэотьных полях. Из сказанного следует, что движение, удовлетворяют, е уравнениям Лагранжа, представляет экстремаль функционала (48). В следующем параграфе мы докажем приведенную выше теорему Эйлера для однопараметрического пучка специального типа, пока же выведем формулу для вариации действия эта формула потребуется нам в дальнейшем. [c.275]

Рассмотрим действие по Гамильтону на этом пучке кривых. Сравнивая возникающую так задачу с задачей, рассмотренной в 4 при выводе общей формулы для приращения действия по Гамильтону, обратим внимание на то, что все кривые введенного сейчас в рассмотрение пучка (рис. VI 1.2) пергсекаются в начальной и в конечной точках А и В. Это значит, что в точках А и В ни значения координат, ни значения времени t не меняются при изменении параметра а, т. е. [c.279]

Непосредственно видно, что преобразование (78) удовлетворяет условиям 1° и 2°. Лагранжиан (так же как и гамильтониан) консервативной системы не зависит явно от времени, а dt = dt, т. е. функция d jdt в данном случае равна единице. Поэтому преобразование (66) заведомо не меняет вид лагранжиана (и, разумеется, гамильтониана) и из теоремы Нётер следует, что консервативная система должна иметь первый интеграл вида (69). Но в данном случае все функции qiy в силу преобразования (78) тождественно равны qj, т. е. не зависят от а, и, следовательно, производные от них по параметру а равны нулю, а д- 1да= и формула (69) принимает вид [c.290]

При составлении уравнений Лагранжа или канонических уравнений Гамильтона выбор обобщенных координат был ироизволен в том смысле, что за такие координаты можно было выбрать любые s независимых между собой величин, однозначно определяющих положение рассматриваемой динамической системы. Формальный вид этих уравнений не зависит от той системы обобщенных координат, которая выбирается. Это значит, что если от каких-либо обобщенных координат Q, Q2,. ... Qs перейти к новым обобщенным координатам q, q i,. . по формулам [c.137]

Как известно из механики, движение материальных частиц может быть определено с помощью уравнения Гамильтона-Якоби, являющегося, как и уравнение (67,3), уравнением в частных производных первого порядка. Аналогичной г 5 ве.1ичииой является гфи этом действие 5 частицы, а производные от действия определяют импульс р и функцию Гамильтона Н (энергию) частицы согласно формулам р = <35/(3г, Н =-—dS/dt, аналогично формулам (67,2). Известно, далее, что уравнение Гамильтона-Якоби эквивалентно уравнениям Гамильтона, имеющим вид р = —dHfdr, v = r = dH/dp. Вследствие указанной аналогии между механикой материальной частицы и геометрической акустикой мы можем непосредственно написать аналогичные уравнения для лучей [c.366]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...