Решение с переменными параметрами Колебания

Глава 1 содержит обозначения, определения и действия над асимптотическими разложениями. Источники неравномерности в разложениях возмущения классифицированы и рассмотрены в главе 2. Глава 3 посвящена методу координатных преобразований, в котором равномерность достигается путем разложения как зависимой, так и независимой переменных в ряды по новым независимым параметрам. В главе 4 описываются метод сращивания асимптотических разложений и метод составных асимптотических разложений. Первый метод позволяет выразить решение с помощью нескольких разложений, пригодных в различных областях и согласованных между собой с помощью процедуры сращивания второй метод представляет решение в виде единственного всюду пригодного разложения. В главе 5 для исследования медленных изменений амплитуд и фаз слабо нелинейных волн и колебаний используются понятия быстрых и медленных переменных в сочетании с методом вариации произвольных постоянных. Методы глав 3, 4 и 5 обобщены в главе 6 и объединены в одну из трех разновидностей метода многих масштабов. В главе 7 рассмотрены существующие методы построения асимптотических решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. [c.8]

Уравнения (2.8.1), связывающие отклонения скорости и давлений на входе участка тракта с отклонениями этих же параметров на выходе, являются уравнениями четырехполюсника (по числу переменных, входящих в систему). Система уравнений (2.8.1) незамкнутая, так как два уравнения связывают четыре параметра. Эти уравнения описывают колебания столба жидкости как системы с распределенными параметрами без учета каких-либо граничных условий на концах (граничные условия 1/1 = 1 2 = 0 были заданы для получения уравнений тракта как четырехполюсника из общего решения. Цель такого приема—исключение влияния граничных условий на решение уравнений гидромеханики). Для замыкания системы к уравнениям (2.8.1) необходимо добавить граничные условия. В этом случае вернемся к исходному решению (2.3.16). [c.123]

При решении задачи совершается следующая последовательность действий. Сначала устанавливается периодическое течение. Для этого некоторое время ведутся расчеты с переменным по пространству временным шагом, а затем в течение 5-6 (в отдельных случаях до 10) периодов - с постоянным и определяется период колебания. После этого на одном периоде рассчитываются средние значения параметров течения давления, температуры, компонент вектора скорости и т.д. Затем на следующем периоде определяются максимальные и средние отклонения данных параметров от их средних значений. Для расчета одного периода колебания требуется около 2 Ю шагов по времени. [c.83]

Анализ представленной экспериментальной осциллограммы показывает, что в системе при разгоне и торможении возникают динамические процессы, вызывающие значительные пиковые давления. Во время открывания в полости между насосом и реверсивным золотником возникает пиковое давление 1, связанное с опережением включения нагрузки насоса по отношению к началу открывания проходного сечения реверсивного золотника, величина этого пика определяется временем опережения и характеристикой предохранительного клапана. В начальный период разгона жидкость попадает в напорную полость цилиндра, через малое проходное сечение закрытого в предыдущем цикле осевого дросселя, что ухудшает условия разгона, а после начала перемещения поршня и до полного открытия проходного сечения дросселя вызывает непроизводительные потери напора. В процессе разгона в напорной магистрали возникают колебания жидкости, проявляющиеся на осциллограмме в колебаниях давлений 7 и 5. При торможении клапана в полости между осевым дросселем и поршнем возникает пиковое тормозное давление 4, почти вдвое превышающее номинальное давление насоса, что объясняется несовершенным конструктивным решением тормозного устройства и неудачным выбором закона изменения его проходного сечения в функции перемещения поршня. Существующий тормозной режим не обеспечивает плавного и точного подхода клапана к конечному положению. Во время торможения масса жидкости в сливной магистрали за осевым дросселем продолжает движение по инерции, что приводит к разрыву сплошности жидкости. Характер изменения исследуемых параметров при разгоне и торможении во время закрывания клапана аналогичен, а изменение их величин определяется переменой активных площадей поршня, на которые воздействует напорное и тормозное давление. [c.138]

Рассмотрим четыре последних уравнения системы (12). Отметим, что в пятое и шестое уравнения переменные 7 и 8, представляющие собой усредненные амплитуды пульсаций пузырьков с частотой собственных свободных колебаний С1, не входят. Поэтому эти два уравнения можно рассматривать отдельно и независимо от двух последних. Величина 1, фигурирующая в коэффициентах шестого уравнения (12), находится из решения первых четырех уравнений (12). Ограничиваясь здесь частным решением (13), получаем, что вместо следует подставить постоянные Таким образом, в рассматриваемом частном случае движение пузырьков вдоль своих прямолинейных траекторий, параллельных оси трубы, описывается пятым и шестым уравнением системы (12), в которых принято 1 = С Значения в коэффициентах шестого уравнения системы (12) рассматриваются в дальнейшем как числовые параметры. [c.755]

Расчет на вынужденные колебания сводится к решению неоднородных дифференциальных уравнений, описывающих упругую систему станка и процесс резания, в которых заданы возмущения со стороны переменного припуска, элементов привода, фундамента и других источников возмущений. Можно эту задачу решать методом передаточных функций и затем, посредством пересчета и соответствующих преобразований, определять амплитуду колебаний между режущим инструментом и заготовкой при резании. Этот способ полезен, если передаточные функции упругой системы станка не меняются, а условия резания и величины возмущений либо переменны, либо еще не известны в момент расчета. С помощью расчетной схемы и матриц коэффициентов уравнений, приведенных выше, можно решать конструкторские и технологические задачи, рассчитывать нормы на неуравновешенность и колебания двигателя и основных валов привода, исходя. из допустимого уровня колебаний холостого хода, подбирать параметры системы виброизоляции и т. п. Некоторым неудобством [c.185]

Выходные переменные. При решении (3.1) и (3.2) на ЭЦВМ на печать целесообразно выводить координаты ЦТ (У ) кромок Кда, 4 2 поверхности скольжения или средние зазоры /13, h , h в их зоне, а иногда в порядке дополнения углы поворота Е и е. Упомянутые параметры в достаточной мере характеризуют точность положения ползуна и соответственно обработки изделия. В условиях наличия колебаний ползуна с учетом (1.3, а, б) средние зазоры связаны с координатами ЦЖ и углами наклона оси направляющих следующими простыми соотношениями [c.281]

В данной главе рассматриваются свободные и вынужденные установившиеся гармонические колебания стержневых систем. Как и в статике, точные дифференциальные уравнения гармонических колебаний стержней являются нелинейными. Упрощая задачи динамики, нелинейные уравнения линеаризуют. Точность решений линейных уравнений удовлетворяют требованиям инженерных расчетов при //г > 10, поэтому они используются в инженерной практике. Линейные дифференциальные уравнения содержат частные производные по координате х и времени t. Методом Фурье разделения переменных уравнения с частными производными сводятся к уравнениям с обычными производными, описывающими перемещения стержня в амплитудном состоянии. Принцип Д Аламбера, используемый при выводе дифференциальных уравнений, позволяет рассматривать задачи динамики как задачи статики. Поэтому ниже применены предложенные правила знаков для амплитудных значений граничных параметров и нагрузки в 1.2, 1.4. [c.91]

Однако возможности айалоговШ электронно-вмчисяитвльных мапшн используются ще недостаточно при решении дифференциальных уравне-нйб с переменными коэффициентами, описывающих колебания систем с переменными и управляемыми параметрами. [c.6]

Предложенный метод определения частот поперечных колебаний стержней с отверстиями приемлем для отверстий любой формы. Исследованию таких заДач посвящена работа [И]. В ней изложен универсальный способ решения подобных задач, основанный на представлении конструкции, ослабленной вырезами, сплошной моделью с тем же наружным контуром, но с физико-механическими параметрами, терпящими. разрывы однородности. Решение такой задачи получено ав- тором совместно с Ж- Ш. Шасалимовым. Поведение стержня с отверстиями авторы изучили на сплошной модели-аналоге с леременными параметрами жесткости и массы. После такой замены все соотношения, описывающие колебания стержня, записывались применительно к используемой модели. Наличие вырезов в исходных соотношениях проявлялось в том, что дифференциальные уравнения движения включают в себя изгиб-ную жесткость и массу как переменные функции координат. [c.288]

Широкое применение для определения собственных частот колебаний кольцевых и круговых пластин переменной толщины находит метод Стодолы. Его отличие от метода Ритца заключается в том, что минимизация проводится по параметру s, входящему в выражение для аппроксимирующих функций. 1 ак, для кольцевой круговой пластины с защемленным внутренним контуром радиуса а решение ищется в классе функций [c.208]

Однако во многих случаях взаимодействие приводит не только к изменению величин сил и амплитуд, но и к качественным отличиям колебаний в системе от колебаний, рассчитанных без учета взаимодействия. В частности, благодаря взаимодействию при одних и тех же значениях параметров могут существовать несколько периодических режимов. Одни (или один) из этих режимов при уменьшении коэффициентов влияния ко, ki,. .. - О переходят в режим, существующий при отсутствии взаимодействия, другие же при этом исчезают, например, за счет того, что корни уравнений (48) обращаются в бесконечность. Существование и свойства режимов второй группы обычно не очевидны и могут быть установлены только после решения задачи о взаимодействии. В то же время эти режимы могут представлять практический интерес. В этих случаях решение задачи о взаимодействии открывает возможности для создания новых вибрационных устройств или использования известных устройств для новых целей Например, режимы с частотой сети в системах с электромагнитами, питающимися только переменным током, возникают за счет взаимодействия (в сочетании с нелинейностью в ферромагните или в колебательной системе), Эти режимы представляют не меньший технический интерес, чем тривиальные" режимы, имеющие удвоенную частоту. [c.211]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

Дика и Карни [16] рассмотрели малые поперечные колебания шарнирно опертых тонких полярно ортотропных кольцевых пластинок переменной толщины, усиленных подкреплениями по внутреннему и наружному контурам. Профиль поперечного сечения пластинок считался изменяющимся пО степенному закону. На пластинки в срединной плоскости действовала равномерно распределенная нагрузка. С помощью преобразования Фурье дифференциальное уравнение движения рассматриваемой пластинки приводится к однородному. Точное решение получено методом Фробениуса. Считалось, что колебания гармонические и осесимметричные. Авто рами дана графическая оценка зависимости частотных параметров от внешних нагрузок, размеров, жесткости и профиля пластинок, а также геометрических параметров подкреплений. [c.290]

Здесь, в пп. 14.30—14.34 приведена линейная теория бесконечно малых стоячих волн. Однако в литературе имеются исследования по теории стоячих волн конечной амплитуды, в которых находятся решения полных уравнений гидродинамики, удовлетворяющие нелинейным граничным условиям. При решении применяются ряды по степеням малого параметра и переменные Лагранжа при этом в качестве первого члена берется данное решение линейной теория. Показано, что, удовлетворяя всем условиям, можно построить любое приближение, однако сходимость рядов не доказана. Установлен ряд свойств стоячей волны конечной амплитуды, отличающих ее от волны линейной теории. Основные результаты в этой теории получены Я. И. Секерж-Зеньковичем в его работах, опубликованных в 1947—1959 гг. первая из них называется К тео]рии стоячих волн конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости , ДАН СССР, 8, № 4 (1947), 551—553. Темы многих последующих работ того же автора и других авторов можно найти в статье Вейхаузена (см. прим. перев. на стр. 409) и в вводной статье к с эрнику переводов (указанных там же). Тот же автор рассмотрел конечные колебания поверхности раздела двух неограниченных жидкостей разных плотностей, расположенных одна над другой (см. ДАН СССР, 136, № 1 (1961), 51—59 Труды Морского гидрофизического института АН СССР, ХХШ (т ), Ъ—43.—Прим. перев. [c.378]

Вывод интегральных уравнений повторяет аналогичный вывод работы [1]. Будем предполагать, что режимы, на которых могут сугцествовать собственные решения, не совпадают с рассматриваемыми режимами. Тогда период колебаний газа определяется периодом колебаний внешней силы и в системе координат, связанной с ь>-ш венцом, равен 2тг/(wyN J) (у = 1,2). Рассмотрим какой-либо параметр течения, например, давление в собственной цилиндрической системе координат ь>-то венца. Начало ь>-оп координатной системы поместим так, чтобы проекция поверхности лонатки на плоскость переменных описывалась множеством точек (жгу,Ггу) —с у/2 < < Су 12, Н <Гу < 1 . Кинематика данного нестацпонарного течения такова, что имеет место обобгценная пространственно-временная периодичность, выражаемая равенством [c.685]

Таким образом, рассматриваемая система с течением времени продолжает находиться в состоянии, близком к геострофическому балансу, а влияние агеострофичности проявляется в возникновении высокочастотных колебаний малой амплитуды, которые накладываются на стационарные значения зависимых переменных. Заметим, что такое состояние является устойчивым по отношению к малым возмущениям, поскольку формулы (10) остаются справедливыми при незначительном изменении параметров т , и I, например в случае, если 2т]/ = 1+о(е), = = —1+о(е), 2(0)=о(б) . Переходя к размерным переменным, приходим к выводу, что квазигеострофические решения невязких модельных уравнений при К 1 характеризуются медленными изменениями с частотой порядка относительной завихренности жидкости и быстрыми колебаниями с частотой порядка угловой скорости вращения системы в целом. Поэтому геофизический триплет можно рассматривать как результат осреднения системы (1), (2) по периоду быстрых колебаний. Другими словами, взаимоотношение между динамическими системами (1), (2) и (4) носит такой же характер, как между уравнениями гидродинамики и квазигеострофическими моделями геофизических течений. [c.166]

До сих пор мы рассматривали качественные изменения времен" ного поведения систем возбуждение колебаний, колебания с несколькими частотами, субгармонические колебания и т. д. Однако во многих физических, химических и биологических системах не следует пренебрегать пространственной зависимостью переменных системы. Например, в разд. 1.2.1 было показано, что пространственные структуры могут возникать в жидкости. В простейшем случае исходное состояние пространственно однородно. При некотором значении параметра управления однородное решение, как показывает анализ устойчивости по линейному приближению, может стать неустойчивым. Итак, требуется рассмотреть линейные уравнения вида [c.75]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...