Интегралы плоской задачи

Интегралы плоской задачи. Полученная система (35.2) не эквивалентна, вообще говоря, исходным уравнениям (34.2), так как при обращении теряются решения, для которых якобиан Д( , т]) тождественно равен нулю. Однако эти решения ( интегралы плоской задачи ), часто встречающиеся в приложениях и обнаруженные ранее ( 34) другим путем, легко определяются непосредственно. [c.144]

Иное отображение производят интегралы плоской задачи. Так, в первом случае S = — 0 равномерное напряженное состояние ) некоторая область D в плоскости х, у отображается в точку на плоскости yj (фиг. 61, а). [c.145]

Если в некоторой области оба семейства линий скольжения прямолинейны, то в этой области напряжения распределены равномерно, а параметры 5 и т) постоянны. Приведенные простые случаи полей скольжения отвечают интегралам плоской задачи. [c.77]

Иное отображение производят интегралы плоской задачи. Так, в первом случае П = По (равномерное напряженное состояние) [c.146]

Интегралы плоской задачи 145 Интенсивность деформации сдвига 24 [c.417]

Идею применения интегралов Коши к решению плоской задачи теории упругости мы проиллюстрируем на примере первой краевой задачи для круговой области. Пусть радиус круга равен единице, условие (10.5.1) выполняется при z = о = е . Умножим [c.339]

В работе 10 содержится вывод выражений для упругих констант в случае плоской задачи для малых искривлений арматуры. За основной прием при решении задачи принято усреднение тензора податливости неоднородного материала по углу, характеризующему поворот площадки при движении точки по линии искривления волокон. Сложные интегралы для вычисления коэффициентов матрицы податливости представлены разложениями в ряды. Выражение для модуля упругости при удержании первого члена в ряду соответствует (3.14). При этом погрешность вследствие неучета остальных членов ряда не превышает 9 % при ф 0,5. В этом же диапазоне параметра ф расчетные значения модуля упругости [по (3.13)1 удовлетворительно согласуются со значениями, вычисленными по формуле [c.64]

В случае плоской задачи на растяжение, а также задачи на изгиб пластины [78] известные аналитические решения являют- ся уравновешенными. С другой стороны, в трехмерном случае пластины со сквозной трещиной, подвергнутой растяжению, когда коэффициент К изменяется вдоль фронта трещины, выбранное аналитическое решение [77] не будет уравновешенным в результате появляется необходимость численного расчета громоздких объемных интегралов, содержащих сингулярные подынтегральные выражения. [c.211]

В случае плоских задач при комбинированном типе нагружения / -интегралы преобразовывают с помощью (5.5а) к После этого, пользуясь (5.6) и (5.7), можно рассчитать К и /Си следующим образом [c.296]

Как показано в [65], подход, основанный на применении интегралов типа Коши, может быть использован также при решении краевых задач линеаризованной плоской теории упругости для многосвязных областей. Для таких задач может быть применен метод, известный в литературе [41, 63, 65, 135] как метод последовательных приближений Шварца. Этот метод представляет собой итерационный процесс, на каждом шаге которого решается граничная задача для односвязной области, ограниченной одним из контуров, составляющих границу Г данной многосвязной области, причем от шага к шагу номер контура меняется. В более общем виде (без привязки к методу Колосова-Мусхелишвили) метод Шварца рассмотрен в приложении IV. Сходимость этого метода для плоских задач теории упругости доказана [85. [c.80]

Таким образом, если параметрическая точка Р принадлежит участкам интегрирования, которые представляют собой отрезки прямых, вычисление интегралов Тц в случае плоской задачи можно не проводить. Достаточно использовать выражения (III. 19) и (III.20) на аналитическом уровне. [c.62]

Интегралы (14) носят название интегралы Генки. Он же исследовал уравнения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности и дал приближенное решение задачи о вдавливании жесткого штампа с гладким плоским круговым основанием в пластическое полупространство в предположении, что сетка линий скольжения в осесимметричном случае совпадает с сеткой характеристик Прандтля для плоской задачи. [c.16]

Укажем еще статью [36], в которой тем же методом установлено отсутствие голоморфных однозначных интегралов в задаче о плоских колебаниях спутника на эллиптической орбите. [c.334]

Обратимся теперь к тому направлению теории газовых струй, которое берет свое начало от приближенного метода Чаплыгина. В случае произ-вольного баротропного процесса можно, пользуясь интегралом Бернулли, выразить К через/7 и р (сМ., например, монографию Л. И. Седова Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики , 1950 и 1966). При этом, если задать К как функцию от р, то соответствующее выражение будет представлять собой уравнение состояния, связывающее р и р. Идея приближенного метода Чаплыгина и его видоизменений состоит в том, что К задается таким образом, чтобы уравнение Чаплыгина можно было заменить каким-нибудь более простым, а уравнение состояния р = / (р) мало отличалось в исследуемом диапазоне скоростей от уравнения [c.34]

Плоская задача для бесконечной полосы. Решение строится при помош,и интегралов Фурье. Функцию Эри разыскивают в форме [c.41]

При помощи обобщенных интегралов типа Коши первую и вторую основные граничные задачи удается свести к интегральным уравнениям второго рода, ядро которых имеет особенность логарифмического типа. Основная смешанная задача приводится к сингулярному интегральному уравнению. Все эти уравнения являются аналогами соответствующих уравнений Д. И. Шермана плоской задачи [164-166]. [c.290]

Можно показать, что при любых ф(г) и 11 (г) определяемые нз (1.5) функции Ох, Оу, Тет, и и у удовлетворяют основным уравнениям (1.1). Другими словами, (1.5) есть общее решение плоской задачи (1.Г) теории упругости. Однако при решении практически важных задач приходится налагать некоторые дополнительные условия на рассматриваемые величины на границе области, что приводит к краевым задачам, а соотношения (1.5), несмотря иа свою общность, не являются конкретным решением этих краевых задач. Прежде чем перейти к постановке интересующих нас краевых задач, отметим некоторые свойства интегралов типа Коши [c.6]

Модельная задача с силовой функцией U имеет [20] плоские и пространственные периодические решения вида (10.1.17) — (10.. 20), для нахождения которых используется теорема Ляпунова о голоморфном интеграле. Полная задача может иметь периодические решения только в том случае, если период обращения Сатурна вокруг Солнца и период периодического решения модельной задачи для спутника, зависящего от постоянной с, соизмеримы. [c.796]

Общую теорию плоской задачи подобного рода дал Филон ). Среди решенных им частных задач имеется задача о балке бесконечной длины, которая на одной стороне нагружена в какой-нибудь точке, сосредоточенной силой. Компоненты напряжения и смещения в этом решении выражаются при помощи определенных интегралов, и исследование результатов представляет значительные трудности. Ясно, что если бы решение этой специальной задачи было получено в удобной легко обозримой форме, то и решение того вопроса, которым занимался Стокс, могло бы быть получено путем синтеза соответствующих решений Филона. Последний выводит из своей работы заключение, что значение, данное Стоксом для горизонтального растягивающего напряжения, требует поправки главным образом в нижней половине балки и что данное Стоксом значение вертикального давления является хорошим приближением. [c.385]

Изложенный путь решения охватывает все задачи рассматриваемого класса, весьма прост по идее и несложен по характеру выкладок. Существенным недостатком считается, однако, то, что этим путем (в отличие от метода интегралов типа Коши) нельзя получить фо(С) в замкнутом виде (если х(С) аппроксимирована конечным отрезком степенного ряда). Ввиду этого последний метод обычно предпочитается при решении плоской задачи для односвязных областей произвольного виДа, включая бесконечные области с отверстием. ([20], стр. 237). Однако, как было показано К. Ф. Черных в его дипломной работе (1951 г.), изложенный выше метод неопределенных коэффициентов может быть усовершенствован. [c.340]

Формулы (20. 30) 2 3 решают плоскую задачу для полуплоскости, при заданных на ее границе внешних силах (при условии, что функции р (х), д (х) таковы, что все входящие в (20.30) интегралы сходятся и допускают дифференцирование под знаком интеграла . [c.356]

Первые интегралы в выражениях для иии представляют собой смещения в плоской задаче. Имеем [c.199]

Применим эти довольно скромные результаты к плоской задаче трех тел. В качестве исходных выберем решения Лагранжа, которые, согласно 16, во вращающейся системе координат являются равновесными решениями. Возьмем в качестве системы Гамильтона шесть дифференциальных уравнений (16 27), которые представляют собой результат исключения из уравнений движения интегралов центра инерции и интегралов площадей. Тогда если в случае равностороннего треугольника [c.282]

Для двухмерных течений в плоскости (ж,, Ж ) единственной отличной от нуля компонентой вектора завихренности будет ш,. Предыдущие соотношения для трехмерного случая предполагали ограниченность или достаточно быстрое убывание на бесконечности вектора ш. Для плоской задачи компонента П, не зависит от ж, и, следовательно. все формулы нужно выводить отдельно, основываясь на известной [8] методике перехода от трех- к двухмерным интегралам. В результате получаются простые соотношения [c.42]

Если на всей поверхности тела заданы усилия, граничные условия задают на поверхности линейные комбинации искомых функций, т. е. напряжения. Но если заданы перемещения точек поверхности, то сформулировать граничные условия в напряжениях в общем виде невозможно эти условия будут содержать некоторые интегралы от напряжений и их производных, которые получатся, если в формулы Чезаро внести выражения деформаций через напряжения по закону Гука. Иногда, например, в плоской задаче теории упругости соответствующие преобразования удается довести до конца. [c.251]

Если функция (О(5), отображающая окружность единичного радиуса на контур Г границы упругого тела, рациональна, ме-тод остается по существу тем же самым и регаение задачи всегда может быть доведено до конца и представлено в замкнутом виде. Выражения, фигурирующие в равенствах (10.5.3) и (10.5.4), при этом всегда могут быть представлены как контурные значения рациональных аналитических функций переменной и интегралы типа Коши вычисляются как интегралы Коши. Метод комплексной переменной применительно к плоским задачам очень хороша представлен в ряде монографий и учебной литературе (Мусхели-швили, Савин, Новожилов, Амен-Заде и др.), поэтому здесь он не будет развиваться более подробно и иллюстрироваться другими примерами. [c.342]

М. п. введено Р. Я. Меллинои (R. Н. МеШн, 1896) и сводится к Лапласа преобразованию подстановкой х = = ехр(—г). М. п. применяют для решения плоских задач теории упругости, теплопроводности, электростатики II др., а также для анализа интегралов, связанных с Фейнмана диаграммами, в теории перенормировок. [c.96]

До сих пор прямой метод граничных интегралов мы привлекали только для вычисления неизвестных смещений или усилий на границе С произвольной области R. Если же мы хотим найти решение внутри рассматриваемой области R, можно воспользоваться интегральными тождествами, известными как формулы Сомильяны [30, стр. 245—247]. Для плоской задачи эти ( р-мулы дают смещения внутренней точки р области R в виде [c.124]

Причина несоответствия заключалась в малой скорости выполнения арифметических операций, используемых при численном интегрировании и при решении систем линейных алгебраических уравнений. Поэтому были оправданы попытки обойти эти затруднения. Так, представлялось целесообразным для повышения скорости вычисления интегралов использовать в плоских задачах графомеханические приборы типа интеграторов. Если, кроме того, не приводить ГИУ к системе алгебраических уравнений, а использовать последовательные приближения, то можно исключить и арифметические операции, необходимые для решения системы. Такой способ предложен и реализован в 1948 г. Ш. Массоне, который подробно описал его в своей работе [161, вышедшей в 1949 г. Это был первый конкретный шаг в постановке расчетов по теории упругости на поток . Однако начавшееся примерно в то же время триумфальное наступление электронных вычислительных машин, естественно, переключило внимание на эти гораздо более совершенные счетные устройства. [c.268]

Л. Н. Сретенский) и проанализированы вопросы волнового сопротивления М. В. Келдыш предложил эффективный для плоских задач теории волн метод решения с использованием функции dwidz -1- i w (ш — Комплексный потенциал, v = g/v ). Метод Келдыша в сочетании с методом интегралов Коши Н. Е. Кочина считался наиболее удобным для решения задач о плоских установившихся волнах бесконечно малой амплитуды. [c.287]

Одними из первых исследований в этом направлении были работы Д. Г. Натрошвили [16, 17], где изучены свойства фундаментальных решений в виде кратных интегралов Фурье и обобщенных потенциалов. Однако, возможно построение интегральных представлений в виде однократных интегралов по контуру в комплексной плоскости или по конечному отрезку [9]. Они могут быть эффективно использованы при численной реализации этих интегральных уравнений на основе метода граничных элементов [5]. Так, например, для ортотропной среды в плоской задаче представление фундаментальных решений имеет вид [c.305]

Таким образом, получается приближённое решение плоской задачи при заданных усилиях на контуре и при отсутствии объёмных сил. Это решение приближённо удовлетворяет тождественному условию Бельтрами, которым является бигармоническое уравнение, причём удовлетворяет, вообще говоря, тем точнее, чем больше членов взято в (16.63) и чем удачнее сделан выбор функций (16.64). В случае бесконечного ряда возникает вопрос о сходимости его к истинному интегралу. Вопрос этот пока ещё не исследован. [c.456]

Кривые 1/ = onst представляют собой изобары a = onst. Добавим, что решение плоской задачи в интегралах Фурье ( 5.4) точно соответствует формулам (6.11) и (6.17). [c.267]

Весьма обилий подход к решению плоских задач теории движения грунтовых вод был развит в цикле работ С. Н. Нумерова (1939 и сл.), который сводил гидродинамические задачи к соответствующ.им смешанным краевым задачам для полуплоскости и строил их решения с помош,ьн> интегралов типа Коши. Этот метод прило5ййм к задачам, область движения для которых заранее известна на плоскости комплексного потенциала f или функции Жуковского G. Впоследствии (1953, 1954) Нумеров обобщил свой подход применительно к задачам, область движения для которых заранее не известна ни на одной из этих плоскостей. При этом задачи сводятся к фредгольмовым интегральным уравнениям второго рода (вооб-ш,е говоря, сингулярным). [c.610]

Естественное распространение линейной механики разрушения на нелинейно упругие материалы основано на методе инвариантных интегралов. Интенсивность высвобождения энергии связана с потоком энергии через поверхность, окружающую фронт трещины. В условиях плоской задачи этот поток выражается через У-инте-грал Райса [c.161]

Вопросам применения обобщенных аналитических функций в осесимметричной теории упругости посвящен второй раздел книги. Там приведены основные сведения об этих функциях, рассмотрены свойства обобщенных ин-тех ралов типа Коши и аналогов комплексного логарифма. Далее проводится исследование осесимметричной задачи аналогично тому, как исследуется плоская задача при помощи аналитических функций. Найдено решение некоторых задач путем разложения обобщенных аналитических функций в ряды и интегралы. [c.8]

Плоские задачи теории упругости эффективно приводятся к интегральным уравнениям типа Фредгольма второго рода при помощи предсгавления аналитических функций интегралами типа Коши. Аналогичный метод позволяет получить интегральные уравнения и для решения осесимметричных задач. Однако интегральные уравнения в этом случае принадлежат к типу уравнений первого рода. Приведение осесимметричных задач к интегральным уравнениям второго рода будет рассмотрено ниже, в 36—39. [c.106]

Решение плоской задачи теории упругости зависит от двух координат и может быть выражено через две произвольные (с точки зрения выполнения уравнений равновесия и условий неразрывности) двухмерные гармонические функции, определяющиеся путем подчинения решения двум краевым условиям на плоском граничном контуре. То обстоятельство, что ортогональные преобразования координат на плоскости и теория двухмерных гармонических функций тесно связаны с теорией функций комплексного переменного, позволило разработать общий метод решения плоской задачи, основанный на аппарате теории аналитических функций (Г. В. Колосов [10], Н. И. Мусхелишвили [20] и его школа). Этот путь в принципе позволяет подойти к решению любой плоской задачи, но наиболее эффективен для односвязных и (в меньшей мере) для двухсвязных областей. Основная идея, которой при этом руководствуются, состоит в отображении рассматриваемой области на одну из канонических областей (на полуплоскость, круг единичного радиуса или круговое кольцо) с последующим использованием аппарата интегралов типа Коши для нахождения двух неизвестных функций по заданному краевому условию. Если ограничиться только односвязными областями (каковые по существу главным образом и рассматриваются [20], [27]), то можно обойтись и без аппарата интегралов типа Коши, оперируя лишь самыми элементарными представлениями теории аналитических фунщий. В нашей книге, носящей общий характер, мы даем только этот наиболее простой и в то же время достаточно эффективный способ, отсылая читателя за более полным и общим изло- [c.292]

Рассмотрим сначала плоскую задачу. В этом случае характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет две пары чисто мнимых корней i ui, i u2- Чтобы сделать заключения о суш ествовании периодических движений, надо проверить только выполнимость условия а) теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле, т. е. требования отсутствия резонансных соотношений вида [c.208]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...